Я увидел, что выяснение способа записи пока можно отложить на потом, поскольку тождество

для множества с единственным элементом дает возможность сформулировать вот такой аргумент:
В Вашем определении функции для конкретного случая

, я сделаю подстановку вида

. То есть, множество

состоящее из одного элемента

заменю во всех высказываниях этим элементом

, и получится для этого конкретного случая

.
Да почему

-то равно

? Это

можно заменить на

, т.е. на полный прообраз. А

у нас обычно

, и если мы меняем его на

, мы теряем, например, тот факт, что

.
Цитата:
Функцией называется соответствие

, которое данному элементу <

> сопоставляет некоторый элемент

множества

. <

> при этом называется областью определения, а

— (формальной) областью значений функции

. Запись

означает, что

есть функция, определенная на <

> и принимающая значения в

.
Цитата:
Из этого определения следует, что единственному элементу соответствует единственный элемент. В пространстве это точка. Безотносительно формы записи, она вторична, и безотносительно указания размерности пространства.
Дайте более фрмальное определение того, что уравнение задает кривую.
Цитата:
Если множество из одной точки — это алгебраическая кривая, и множество из одного элемента в высказываниях можно заменить на этот элемент, то точка есть алгебраическая кривая. Я утверждаю: символьное равенство вида

, где

— число, это способ задания нового класса алгебраических кривых, точек. Новизна в том, что до сих пор этим символьным равенством, считалось, задается плоская линия прямая.
Множество из одной точки - это алгебраическая кривая, а вот замена "множество из одной точки" на "точка" - это уже некоторая вольность речи, об этом нужно помнить.