Дискретная математика (производящая функция с числами Белла)

[maxmatem]

Надо найти производящую функцию в явной формуле в экспоненциальном виде для $\[ P(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{B_n \cdot z^n }} {{n!}}} \]$, $где \[ \left\{ \begin{gathered} B_0 = 1 \hfill \\ B_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k \cdot B_k } \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $,это числа Белла. Мои соображения:
Известно, что
$\[ \begin{gathered} B_n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k \cdot B_k } \cdot \frac{{(n - k)}} {n} \hfill \\ \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n }} {{n!}} \cdot x^n } } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{b_n }} {{n!}} \cdot x^n } } \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{d_n }} {{n!}} \cdot x^n } ,\,\,d_n = \sum\limits_{k = 0}^\infty {C_n^k \cdot a_k \cdot b_{n - k} } \hfill \\ \end{gathered} \]$
и тогда имеем, что $\[ P(z) = \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{B_n \cdot z^n }} {{n!}}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{z^n }} {{n!}}} } \right) \]$,
то есть$ \[ P(z) = \,0 \]$ в чём ошибка?

[Xaositect]

maxmatem в сообщении #319781 писал(а):

Надо найти производящую функцию в явной формуле в экспоненциальном виде для $\[ P(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{B_n \cdot z^n }} {{n!}}} \]$, $где \[ \left\{ \begin{gathered} B_0 = 1 \hfill \\ B_n = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k \cdot B_k } \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $,это числа Белла. Мои соображения:
Известно, что
$\[ \begin{gathered} B_n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k \cdot B_k } \cdot \frac{{(n - k)}} {n} \hfill \\ \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n }} {{n!}} \cdot x^n } } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{b_n }} {{n!}} \cdot x^n } } \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{d_n }} {{n!}} \cdot x^n } ,\,\,d_n = \sum\limits_{k = 0}^\infty {C_n^k \cdot a_k \cdot b_{n - k} } \hfill \\ \end{gathered} \]$
и тогда имеем, что $\[ P(z) = \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{B_n \cdot z^n }} {{n!}}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{z^n }} {{n!}}} } \right) \]$,
то есть$ \[ P(z) = \,0 \]$ в чём ошибка?

$B_n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k \cdot B_k } \cdot \frac{n - k}{n}$
Здесь $\frac{1}{n}$ нужно вынести за сумму, потому что ни в $a_k$, ни в $b_{n-k}$ его так просто упихать не получится:
$n B_n = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k \cdot B_k } \cdot (n - k)$
Т.е. $P'(x) = P(x)e^x$

[maxmatem]

получилось следующее:$ \[ P(z) = e^{e^z - 1} \]$

[ИСН]

Ну да, это в общем довольно известная штука.