Задача по эргодической теории.

[NB52]

Задача. Доказать, что гомоклиническое отношение эквивалентности для алгебраического автоморфизма двумерного тора, задаваемого гиперболической матрицей, эргодично относительно меры Лебега.

В задаче автоморфизм, насколько я понимаю формулировку, задается целочисленной матрицей 2х2 с определителем 1 или -1, при этом собственные значения по модулю не равны 1 (значит одно больше 1, другое меньше)

Что такое эргодичность отношения эквивалентности, как я это понимаю:
отношение эквивалентности даёт разбиение на слои (классы эквивалентности), рассмотрим сигма-алгебру измеримых, составленных из целых слоев, рассмотрим меру, ограниченную на этой сигма-алгебре; в итоге, если любое множество оттуда имеет меру 0 или 1, то отношение эквивалентности эргодично.

Про гомоклиническое отношение эквивалентности:
есть динамическая система: пространство Х, преобразование Т:Х->Х
$x=(.....,x_{-1}, x_0, x_1, x_2, .....)$, где $x_1=T x_0, x_2= T x_1=T^2 x_0$, и т.д., а если Т обратимо, то и в обратную сторону может пойти: $x_{-1}=T^{-1} x_0$ и т.д.
У меня целочисленная матрица, с определителем 1 или -1, значит обратима.
Точно не знаю какое определение=( Варианта два
гомоклиническое отношение эквивалентности это:
1)х~y, если $x_k=y_k$ при $|k| \ge n(x,y)$
или
2)$d(T^{n} x,T^{n} y) \mapsto 0$ при $n \mapsto +-\infty$
Первое определение кажется бредом, т.к. обратимость и взаимооднозначность отображения дадут то, что при одинаковом левом конце(прошлое) или правом(будущее) (а тем более на обоих) в середине тоже будет одно и тоже, а значит класс эквивалентности состоит из одного единственного элемента.
Второе определение уже интереснее, только теперь не понятно, как выглядит класс эквивалентности какого-нибудь элемента(((
Думаю, надо перейти к координатам, связанным с собственными векторами и тогда станет лучше;)

В итоге такая куча вопросов:
Правильно ли я понимаю определения?
Верны ли мои доводы насчет первого определения гомоклинического отношения эквивалентности и как будет со вторым?
Как решается задача?

Пожалуйста, помогите разобраться!
Заранее большое спасибо!