Делимость чисел

[Marina]

Подскажите, пожалуйста, как доказать, что при любом значении выражение $2n^6-n^4-n^2$ делится на $36$. Разложила исходное выражение на множители: $(n^2-1)n^2(2n^2+1)$. А что дальше?

[ewert]

Marina в сообщении #319517 писал(а):

А что дальше?

У Вас уже есть жизненный опыт, показывающий, что либо первый, либо второй (в зависимости от чётности) сомножитель делится на четыре. Остаётся разобраться с девяткой. Аналогично. Рассмотрите случаи $n=3m$ и $n=3m\pm1$ -- в каждом из них две тройки наберётся (или обе в центральном сомножителе, или по одной в крайних).

[Marina]

Т.е. рассмотреть:
1) $((3m)^2-1)(3m)^2((3m)^2+1)$
2) $((3m\pm 1)^2-1)(3m\pm 1)^2((3m\pm 1)^2+1)$.
Я правильноВас поняла?

[ewert]

Правильно. Рассмотрите.

(только сперва добавьте потерянную двойку в последнем)

[Батороев]

Marina в сообщении #319517 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как доказать, что при любом значении выражение $2n^6-n^4-n^2$ делится на $36$. Разложила исходное выражение на множители: $(n^2-1)n^2(2n^2+1)$. А что дальше?

Если Вы изучали остатки, то можно по ним:
При нечетном $n$:
$n^2 \equiv 1 \pmod 4$.

При $n$, взаимнопростом числу $3$:
$n^2\equiv 1 \pmod 3$.

[Marina]

Вот что у меня получилось:$((3m)^2-1)(3m)^2(2(3m)^2+1)=9m^2(9m^2-1)(18m^2+1)$
$((3m+1)^2-1)(3m+ 1)^2(2(3m+1)^2+1) = 9(3m^2+2m)(9m^2+6m+1)(6m^2+4m+1)$
$((3m-1)^2-1)(3m-1)^2(2(3m- 1)^2+1) = 9(3m^2+2m)(9m^2-6m+1)(6m^2-4m+1)$.
Из это следует, что исходное выражение делится на 9?

[Maslov]

Marina в сообщении #319679 писал(а):

Из это следует, что исходное выражение делится на 9?

А сами-то как думаете? :)
(ответ аргументировать)

[Marina]

Цитата:

А сами-то как думаете?

Если один из 3-х сомножителей (в зависимости от чётности) делится на 4 или 3, то всё выражение делится на 36.

[Maslov]

Я не очень понимаю эти обрывочные фразы.
Напишите, пожалуйста, всё решение целиком.

[Marina]

Если $n$- чётное, тогда множитель $n^2$ - делится на 4; если $n$ - нечётное, тогда на 4 делится множитель - $n^2-1$. При любом $n$ либо два множителя из трёх будут делится на 3 (а их произведение следовательно делится на 9); либо один из множителей будет делиться на 9.

[Maslov]

Теперь понятно :)

[Marina]

Спасибо.