А Вы не обижайтесь. Ведь когда Вы написали ответ (правильный), то не было понятно, то ли Вы просто не привели очевидные преобразования, то ли на самом деле заблуждаетесь и эта правильность случайна. Откуда в ответе
? Как она получилась? У Вас не прописано. На экзамене могут придраться. Вот задача
ewerta:
Решаем. Интегрируем первое по
:
То есть
это не константа, а функция, не зависящая от
. Чтобы не путаться, я её обозначил через
Дифференцируем получившееся по
и приравниваем ко второму уравнению:
Отсюда
И
И окончательно
14.05.2010, 16:22 
![\[\frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{{({x_0} - a)}^2} + y_0^2} \right)\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/d/38d8838c5814252c80cd601d731900e482.png "\[\frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{{({x_0} - a)}^2} + y_0^2} \right)\]")
![\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{{ (x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/4/d54dc87091ecd923bd43554a9c793cb682.png "\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{{ (x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\]")
![\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{ y}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/b/e3bb5e03eed3e66bcf5102c4232c770e82.png "\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{ y}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\]")
![\[f = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) + C(y)\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/a/14a3072042a3e0ac5edf9c67e995fd4d82.png "\[f = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) + C(y)\]")
![\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{ y}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}+C'_y= \frac{{ y}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/e/1bef2bc69e47dd26ae2eb24419be146b82.png "\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{ y}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}+C'_y= \frac{{ y}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\]")
![\[C'_y= 0\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/f/05f2d5551fdd6cd6b76145de8977e9cf82.png "\[C'_y= 0\]")
![\[C= C\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/4/5146a879be2baa5296bd972ba045e3de82.png "\[C= C\]")
![\[f = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) + C\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/3/413ed489146458f4928f85f3df4eaf6782.png "\[f = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) + C\]")
![\[f = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) + C(x)\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/b/abbfaae5f2a2cfd7b73ede4f7efebf5582.png "\[f = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) + C(x)\]")
![\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{ (x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}+C'_x= \frac{{ (x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/f/feff6e61e730d90691d1fad02a0eda6e82.png "\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{ (x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}+C'_x= \frac{{ (x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\]")
![\[C'_x= 0\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/b/43b5b82bf48b76690d7ece30f5cef0f282.png "\[C'_x= 0\]")
хотел написать, но потом решил, что и так понятно.![\[\int\limits_{({x_0},{y_0})}^{(x,y)} {\frac{{(x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dx + \frac{y}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dy} = \]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/7/cd77704d906e42deb128a46c677e7e9282.png "\[\int\limits_{({x_0},{y_0})}^{(x,y)} {\frac{{(x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dx + \frac{y}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dy} = \]")
![\[ = \int\limits_{t_0}^t {\left( {\frac{{(x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\frac{{dx(t)}}{{dt}}dt + \frac{y}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\frac{{dy(t)}}{{dt}}dt} \right)} = \]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/1/7b18c316d347a63bc0e45eb437fefcfc82.png "\[ = \int\limits_{t_0}^t {\left( {\frac{{(x - a)}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\frac{{dx(t)}}{{dt}}dt + \frac{y}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\frac{{dy(t)}}{{dt}}dt} \right)} = \]")
![\[ = \int\limits_{{t_0}}^t {\frac{{(x - a)x' + y \cdot y'}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_{{t_0}}^t {\frac{1}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\frac{{d\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}{{dt}}dt} = \]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/8/f08f080ed33ad9d159bb7afab826e25882.png "\[ = \int\limits_{{t_0}}^t {\frac{{(x - a)x' + y \cdot y'}}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_{{t_0}}^t {\frac{1}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}\frac{{d\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}{{dt}}dt} = \]")
![\[ = \frac{1}{2}\int\limits_{{x_0},{y_0}}^{x,y} {\frac{1}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}d\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)} = \]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/0/c101abeda6ca4108a13d4e5f760a371882.png "\[ = \frac{1}{2}\int\limits_{{x_0},{y_0}}^{x,y} {\frac{1}{{\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)}}d\left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right)} = \]")
![\[ = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{{({x_0} - a)}^2} + y_0^2} \right)\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/b/50b705ede5c3b70aa6670abbe267085a82.png "\[ = \frac{1}{2}\ln \left( {{{(x - a)}^2} + {y^2}} \right) - \frac{1}{2}\ln \left( {{{({x_0} - a)}^2} + y_0^2} \right)\]")
.