дифф. уравнение с радикалом

[obsydian_games]

Требуется найти частное решение диффура $xy'-y=\sqrt{x^2+y^2}$, $y(0)=0$.
Надеюсь, я решил верно в общей форме (см. ниже). Но я не могу определить коэффициент $c$. Возможно, проблема в том, что я разделил на $x$, который согласно условию может равняться нулю? Хотя мое решение включает данное условие.
Итак.
Если $x \neq 0$, то:
$y' - (y / x) = \sqrt{1 + (y / x)^2}$
$y / x=u$
$y=ux$
$y'=u'x+u$
$u'x+u-u=\sqrt{1+u^2}$
$u'x=\sqrt{1+u^2}$
$du / \sqrt{1+u^2}=dx / x$
$\ln{(u+\sqrt{1+u^2})}=\ln{|x|} + \ln{c}$
$y / x+\sqrt{1+(y / x)^2}=c|x|$
Умножаем на $x$:
$y+\sqrt{x^2+y^2}=cx|x|$
Теперь, если $x=0$, то и $y=0$, т.е. как в условии. Но как тогда определить $c$?

[paha]

Вам же нужно задачу Коши решить, а не какой-то там коэффициент искать:)

obsydian_games в сообщении #319222 писал(а):

Итак.
Если $x \neq 0$, то:

Зачем предполагать невозможное?

[ИСН]

Уравнение несёт на себе явные следы происхождения от полярных координат.

[paha]

ИСН в сообщении #319230 писал(а):

Уравнение несёт на себе явные следы происхождения от полярных координат.

не облегчает решения именно этой задачи ($y(0)=0$), т.к. там обе части кратны $r$.

[obsydian_games]

paha в сообщении #319224 писал(а):

obsydian_games в сообщении #319222 писал(а):

Итак.
Если $x \neq 0$, то:

Зачем предполагать невозможное?

Я надеялся, что можно найти решение на различных промежутках области определения функции, а затем их "собрать" (хотя здесь я могу ошибаться). Поэтому сначала я решил уравнение для функции, которая не определена в точке $x=0$, но так оказалось, что аналитическое выражение функции позволяет легко "доопределить" ее в этой точке.

[paha]

если Ваше уравнение удовлетворяет "условиям существования и единственности решения задачи Коши", то $y=0$ -- решение