Вариационные методы в геометрии. Геодезические.

[Lucianna]

У нас есть поверхность, полученная склейкой двух поверхностей. Необходимо найти геодезическую для двух заданных краевых точек.
Отдельно находим геодезическую для обеих частей поверхности, подставляя соответствующие начальные данные и получаем два уравнения вида x=f(y,x*), где x* - неизвестная координата по иксу на стыке двух частей поверхности и, соответственно, на стыке двух геодезических.
Получается, нужно минимизировать длину относительно x* для обеих геодезических сразу. а?
Дана поверхность: $ x=x, y=y, x \in [0,1], y \in [0,2] $, при $ y \in [0,1] , z = \sqrt {y}$, при $ y \in [1,2] , z = \sqrt {2-y}$.
Точки на поверхности, между которыми нужно найти геодезическую: $ (a,0.1); (b,2) $, точка $ (x^*,1) $ находится на стыке поверхностей и геодезических, координата по иксу неизвестна.
Для каждой поверхности в отдельности выписали уравнение Эйлера и нашли геодезические:
$x= \left ( \dfrac {a-x^*}{1.3} \right ) \left [- \ln{ \left ( \sqrt { \dfrac{4y+1}{y} } +2 \right ) } + \dfrac{1}{8} \ln{ \left ( \sqrt { \dfrac{4y+1}{y} } -2 \right ) } - \dfrac{ \sqrt { \dfrac{4y+1}{y} } }{\dfrac{2(4y+1)}{y} -8} \right ] + 2.4a-1.4x^*$
$x= \left ( \dfrac {x^*-b}{1-i ^{3/2}} 0.4 \right ) \left ( \dfrac {9-4y}{2} -y \right ) ^ {3/2} + b - \dfrac {i^{3/2} (x^*-b)}{1-i^{3/2}}$
Соответственно, для первого куска поверхности и для второго. Здесь уже константы при игтенрировании выражены и подставленны из начальных условий. Если брать общую длинну этой кривой - получится сумма интегралов, в каждом из которых можно будет отделить терминант, не зависящий от $y$ и проинтегрировать. Но как минимизировать сумму интегралов с разными пределами, где $x^*$, в сущности, константа - я не знаю.
Единственная мысль - приравнять функции и подставить $y=1$ - тогда можно будет найти $x*$ - с той точки зрения, что длинна всей кривой - суммы интегралов - будет минимальна, когда длинна каждого куска геодезической - каждого интеграла - будет минимальной, а экстремум здесь, по идее, достигается если приравнять производную к 0 - т.е. саму функцию ( и первую и вторую). Координата по $y$, по идее, должна сохраниться. Но если по-отдельности приравнивать к 0 каждую из геодезических, могут получится разные $x*$ - да они и получатся разными, поэтому, возможно, стоит просто приравнять их друг к другу и выразить $x*$ при $y=1$?
И еще одна мысль: куски поверхности - симметричные, геодезические, соответственно, тоже будут симметричными, а в координатах точек, между которыми нужно найти геодезическую, идет сдвиг на $b-a$ - так может быть искомый минимум $x*$ будет просто-напросто серединой отрезка $[a,b]$? Т.е.$x*= \frac{a+b}{2}$
А если найти $x*$ при развертке как пересечение прямой, соединяющей a и b, и прямой $y=1$? Найденная $x*$ будет удовлетворять уравнениям геодезических? Т.е. это точка, конечно, обеспечивает по логике вещей кратчайшее расстояние между a и b, но будет ли она минимизировать геодезические? И как проверить, есть ли там минимум?

[мат-ламер]

Lucianna в сообщении #318641 писал(а):

У нас есть поверхность, полученная склейкой двух поверхностей. Необходимо найти геодезическую для двух заданных краевых точек.

Дана поверхность: $ x=x, y=y, x \in [0,1], y \in [0,2] $, при $ y \in [0,1] , z = \sqrt {y}$, при $ y \in [1,2] , z = \sqrt {2-y}$.

Где тут первая поверхность, а где вторая?

-- Чт май 13, 2010 20:32:30 --

А, понял. Это два состыкованные парабалоида.

-- Чт май 13, 2010 20:38:47 --

Ввиду симметрии интуитивно кажется, что точка $x^*$ на ходится на пересечении отрезка, проведённому через две исходные точки и ребра, по которому стыкуются параболоиды.

-- Чт май 13, 2010 20:46:39 --

Но это надо доказать. Что-то у Вас сложнве формулы получаются. Это из-за корня. Может представить поверхность в параметрическом виде? Там вроде попроще будет.

-- Чт май 13, 2010 20:49:49 --

Так, поверхности развёртывающиеся. Может их развернуть и провести на развёртке геодезическую?

[paha]

ну, Вам нужно кратчайшую провести. "Стыковка" двух поверхностей -- вдоль линии (выбирайте параметр на этой линии... например $t$). Теперь ищите длину $l_1(t)$ геодезической на первой поверхности от заданной точки до точки $A(t)$ и длину $l_2(t)$ на второй поверхности.

Потом минимизируйте $l_1(t)+l_2(t)$
геодезическая -- локально кратчайшая, так что все законно

[Lucianna]

мат-ламер, paha спасибо большое - разобралась.

[paha]

(Оффтоп)

Lucianna в сообщении #319194 писал(а):

paha спасибо большо

пожалуйста, пеши исчо