Уравнение или тождество?

[errnough]

Встретилось вот такое:

Цитата:

Вот, допустим, приходит человек в магазин, берёт жевачку за 2 рубля, даёт кассиру пятёрку и спокойно ждёт, когда ему дадут три рубля сдачи. Но если того же самого человека посадить за парту, вручить в руки тетрадь и дать задание: "решить уравнение $2+x=5$", то он, с большой вероятностью, начнёт вопить, что математика --- не для него, что он в ней ничерта не понимает и т. п.

И подумалось мне, что такого человек можно понять. Он мог бы подумать:

В общем случае, я вижу равенство. Когда мы с одной стороны оставим голую переменную, то другой стороны окажется численное выражение, соответствующее числу. Это не похоже на уравнение. Далее, равенство в общем случае может быть составлено из символов переменных, и тогда тождеством такое равенство называют, если для любых подстановок (из допустимой области) в символьные переменные равенство истинно. Тогда что же я вижу? Никакая подстановка для $x$ недопустима. Это похоже на тождество.

Так что же на самом деле за задачку мне подкинули? Думается мне, это задача с равенством, название которой «упростить выражение», после чего объявить тождеством. А мне предлагают «решить уравнение...». Нет, ни черта я не понимаю в логике этой математики...

[AD]

errnough в сообщении #318841 писал(а):

Нет, ни черта я не понимаю в логике этой математики...

Читайте про языки предикатов.
Например, Верещагин, Шень, "Языки и исчисления" - отсюда №15.

[errnough]

Я совсем не о той логике, которая символьная, и т.д., про которую написано в учебниках... Я про житейскую логику. Ту, по которой релюшки хлопают и компьютеры работают. Вопрос вот в чем:

• $2+x=5$ это уравнение или тождество?
• $x=3$ это уравнение или тождество?

------------И.М. Виноградов, Математическая энциклопедия, 1977. том5, стр. 539--------------
УРАВНЕНИЕ — аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при к-рых значения двух данных функций равны. Аргументы, от к-рых зависят эти функции, наз. обычно неизвестными, а значения неизвестных, при к-рых значения функций равны,— решениями, или корнями, У.; о таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному У. Совокупность решений данного У. зависит от области $M$ значений, допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в $M$, тогда оно наз. неразрешимым в области $M$. Если У. разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. [...] Если У. имеет решениями все числа области $M$, то оно наз. тождеством в области $M$.
[...]
В общем случае У. является записью задачи о разыскании таких элементов $a$ нек-рого множества $A$, что $F (a) = \Phi(a)$, где $F$ и $\Phi$ — заданные отображения множества $A$ во множество $B$. Если $A$ и $B$ — множества чисел, то возникают У. рассмотренного выше вида. Если $A$ и $B$ — множества точек в многомерных пространствах, то получаются системы У. Если $A$ и $B$ — множества функций, то в зависимости от характера отображения могут получаться дифференциальные уравнения обыкновенные, дифференциальные уравнения с частными производными, интегральные уравнения и др. виды У.

-----------------------------------

Равенство $2+x=5$ сводится к равносильному $x=3$.

Если определение Виноградова истинно и равенство $x=3$ есть уравнение, то по обоим сторонам от знака равенства стоят функции. Число $3$ — функция?

[AKM]

errnough в сообщении #319085 писал(а):

...то по обоим сторонам от знака равенства...

По обеим сторонам.
(Ну, поскольку Вы ставите роскошное тире (типа "Число 3 — функция?"), подобные мелкие ляпы становятся кричащими.)

[paha]

errnough в сообщении #319085 писал(а):

Число $3$ — функция?

правая часть данного уравнения является постоянной функцией


я тут уже цитировал лекцию В. А. Рохлина "О преподавании математике нематематикам". В этой лекции автор приводит интересный пример (экзаменационного вопроса! в некий ВУЗ)... не помню дословно, но смысл в том, что $ax+b=0$ и $ax=b$ -- уравнения, которые должны решаться разными(!!!) способами

(Оффтоп)

$\sin{x}$ не функция и не морфема, а четыре совершенно разные буквы

[Circiter]

2errnough
Но ведь обычно под тождеством понимают всегда верное (всегда являющееся равенством) уравнение... То есть, если написано $f(x)\equiv 0$, значит эта функция равна нулю для всех $x$; а если эту формулу рассматривать именно как уравнение $f(x)=0$, то есть ещё шанс найти конкретные значения $x$ при которых уравнение становится равенством... Какая-то у вас проблема чисто философская...

[errnough]

2 AKM

Большое спасибо за замеченную опечатку. А по сути вопроса, число три — функция?

В благодарность возвращаю:
В буквально предыдущем этому сообщению, буквально 15 минут назад, Вы написали:

AKM в сообщении #319097 писал(а):

По-моему, даже вшивая парабола не предоставляет исключения.

Исправляйте, я уже своё не могу, время правки сообщения закончилось... А кстати, нормальную тире набрать несложно: Alt+0151 — это типографически правильное тире, Alt+0150 — это типографически правильный минус, а та коротенька черточка, что на цифровой клавиатуре, это дефис и знак переноса.

[AKM]

errnough в сообщении #319120 писал(а):

А по сути вопроса, число три — функция?

Да я в этой вашей математике особо не рулю.

-- Пт май 14, 2010 01:31:46 --

"Предоставляет" --- высокопарное от "типа даёт", "даёт нам в руки". Я просто отвысокопарился малость. Исправлять нечего.

[ewert]

errnough в сообщении #319120 писал(а):

А по сути вопроса, число три — функция?

Число -- не есть функция. Однако же функция -- вполне может быть числом. Это отношение не симметрично. Зараза оно, да.

[Circiter]

2ewert

Цитата:

Число -- не есть функция

Зато число можно воспринимать как оператор, т.е., почти функцию... :)

[errnough]

errnough в сообщении #319085 писал(а):

Число $3$ — функция?

paha в сообщении #319117 писал(а):

правая часть данного уравнения является постоянной функцией

paha, а Вы можете это высказывание записать математически? Желательно в терминах определения Виноградова. Общий вид уравнения это

$$F(a) = \Phi(a)$$

тогда, Вы хотите сказать, что а) число «три» это функция (неважно, постоянная или еще какая); и б) эта функция вида $\Phi(a)$ для нашего подопытного уравнения $x=3$. При этом нужно разыскать такие $a$, которые дадут верное равенство $x=3$. Не понимаю, где в числе три помещается функция с переменной $a$?

2 Circiter:

Здесь существенна запись равенства: $x=3$. Вы же предложили совсем другую, обозначение функции $f$ аргумента $x$. Вот этот переход мне непонятен. В Ваших обозначениях, общий вид $f(x)=\phi(x)$. Запись «3» это математически верная запись функции $\phi(x)=3$? Эти записи тождественны? Но если записи тождественны, то не следует ли из этого, что число есть одновременно функция?

ewert в сообщении #319128 писал(а):

Число -- не есть функция. Однако же функция -- вполне может быть числом. Это отношение не симметрично.

Хм. А как это записать математически?
$F(a)=3\;\;\; \not\equiv \;\;\;3=F(a)$?

[Maslov]

errnough в сообщении #319120 писал(а):

А по сути вопроса, число три — функция?

"число три" -- это 9 типографских значков, которые могут означать совершенно разные вещи.

(Оффтоп)

Спасибо, paha :)

В данном случае:

$2 + x = 5$ -- это уравнение, являющее записью задачи о разыскании таких элементов $x$ нек-рого множества $X$, что $F (x) = \Phi(x)$, где $F(x) = 2 + x, \Phi(x) = 5$

$x = 3$, в зависимости от контекста, может являться

1) уравнением, являющимся записью задачи о разыскании таких элементов $x$ нек-рого множества $X$, что $F (x) = \Phi(x)$, где $F(x) = x, \Phi(x) = 3$
2) результатом решения этого уравнения; в этом случае более корректной является запись $x \in \{3\}$ или $X = \{3\}$, но обычно проблем с неоднозначностью не возникает.

[paha]

errnough в сообщении #319138 писал(а):

paha, а Вы можете это высказывание записать математически? Желательно в терминах определения Виноградова.

Цитата:

="Виноградов в своей инциклопии писал" ФУНКЦИЯ — одно из основных понятий матема-
тики. Пусть заданы два множества $X$ и $Y$ и каждому
элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент
$y\in Y$, к-рый обозначен через $f(x)$. В этом случае гово-
рят, что на множестве $X$ задана функция $f$ (а также —
что переменная $y$ есть функция переменной $x$, или что
$y$ зависит от $x$) и пишут $f:X\to Y$.

Так вот в Вашем случае $X=Y=\mathbb{R}$ и каждому элементу $x$ поставлен в соответствие элемент $3\in\mathbb{R}$... вот такая функция $f(x)=3\,\,\forall x\in\mathbb{R}$









а теперь я скажу Вам, что Вы - тролль. Это моя награда за копание в Виноградове

-- Пт май 14, 2010 01:23:34 --

(Оффтоп)

Maslov Спасибо, что оценили

[AD]

errnough в сообщении #319085 писал(а):

Я совсем не о той логике, которая символьная, и т.д., про которую написано в учебниках... Я про житейскую логику.

А, ну вот и замечательно. Переезжаем в "флейм".
(с учётом наблюдения paha, а также того, что темы автора уже закрывали за троллинг)

-- Пт май 14, 2010 07:28:30 --

errnough в сообщении #319085 писал(а):

Если определение Виноградова истинно и равенство $x=3$ есть уравнение, то по обоим сторонам от знака равенства стоят функции. Число $3$ — функция?

Если $x=3$ - уравнение, то $3$ - функция: $3(x)\equiv 3$. Но тогда оно - не число (и даже не "оно").

Понятие "решить уравнение" определяется через подстановку вместо переменных некоторых числовых значений. При этом число $3$ подставляется как в левую, так и в правую часть: $\left.x\right|_{x=3}=3$, $\left.3\right|_{x=3}=3$, то есть получаем верное числовое равенство $3=3$.

Можно и по-другому рассматривать: уравнение - это когда слева функция, справа число. Тогда уравнение - это лишь формальная запись ("бумага всё стерпит"), а при определении решения уравнения подставлять будем только в левую часть, и снова вся содержательная часть будет корректной.

[errnough]

2 Maslov
Вы утверждали, что $x = 3$ есть уравнение, и в соответствии с определением термина уравнение из Виноградова, это выглядит так:

$$\xymatrix@=5pt{& x\ar[ddl] & = & 3\ar[ddr] &\\& & & & &\\F(x)& & & & \Phi(x) &}$$

Поскольку знак $3$ Вы считаете записью функции (здесь правда, отвечающие разошлись во мнениях и привели противоречивые записи), и определение термина функция из Виноградова считается истинным, то значение функции обозначается записью $f(x)$ и это всё изобразим диаграммой:

$$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y\in R} & \leftarrow & X\ar[ddr]^{x\in X} &\\&\\f(x)& & = & & 3 & &}$$

Теперь сведем всё вместе и посмотрим на Ваше объяснение:

$$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y} & & \leftarrow & X\ar[ddr]^{x} & & & & & &\\&\\f(x)& & & = & & 3\ar[dd] & & & & & &\\&\\& & & & &g(x)=&3\ar[dd] & & & &\\& & & & & & & & & &\\& & & & & & h(x)=& 3\ar[dd]& & & &\\&\\& & & & & & &\dots\\}$$

Красиво, правда? Только красота эта называется порочный круг. Ваше объяснение, очевидно, несостоятельно.