8=6 школьный пазл (площадь треугольника и т. косинусов)

[Yu_K]

Такой вот пазл придумался. Куда-нибудь в школьную математику его перенести лучше. Может кому-то пригодится в школе.
Рассмотрим два треугольника со сторонами $(5,5,6) $и $(5,5,8)$. Они имеют одинаковую площадь $12$ кв. ед. - можно проверить, используя ф-лу Герона. Из определения площади, как половины произведения сторон и синуса угла между ними, и равенства площадей получаем равенство углов
$12=\frac {1}{2} 5^2\sin\alpha=\frac {1}{2} 5^2\sin\beta=12$
$\alpha=\beta$
Далее записав теорему косинусов для двух треугольников с учетом равенства углов получаем
$8^2=2 (5^2-5^2\cos\alpha)=2 (5^2- 5^2\cos\beta)=6^2$
$8=6$

[Sasha2]

А $180-\alpha$ - это уже как бы и не считается?

[gris]

Очень изящно! Для какого-нить математического боя или капустника самое оно. А можно и восьмиклассников озадачить. Главное побольше с Героном повозиться и с теоремой косинусов, а про синусы вскользь так.
А ведь можно и ферматикам продать. Вдруг клюнут?

[TOTAL]

А почему не задать вопрос прямо, типа:
$\sin(179^{\circ})=\sin(1^{\circ})$, откуда $179^{\circ}=1^{\circ}$ -- где ошибка?

[gris]

Ну в таких же приколах и смысл в том, чтобы максимально отвлечь человека от того места, где спрятан некорректный переход. Какое-нибудь неравносильное преобразование. Автор же это для школьников придумал, задачка из серии "Что не так?"
А вы всерьёз как-то...

[Yu_K]

Ну да задача с ограничениями - до 16 лет.

Sasha2 в сообщении #318776 писал(а):

А $180-\alpha$ - это уже как бы и не считается?

А что такое $180-\alpha$?

[TOTAL]

gris в сообщении #318784 писал(а):

Ну в таких же приколах и смысл в том, чтобы максимально отвлечь человека от того места, где спрятан некорректный переход. Какое-нибудь неравносильное преобразование. Автор же это для школьников придумал, задачка из серии "Что не так?"
А вы всерьёз как-то...

Написанное автором может ввести в заблуждение с ещё большим трудом, чем написанное мной. Добавленное им сверху и снизу в качестве маскировки и отвлечения сложнее для понимания, чем то, что он маскирует, поэтому школьник, осиливший маскировку, сразу заметит и неравносильное преобразование. Правильная маскировка должна быть лёгкой для чтения, почти очевидной, она должна расслабить читателя, притупить его бдительность. Небдительный и притуплённы школьник скорее не заметит неверный переход.

[gris]

TOTAL,
А почему не задать вопрос прямо, типа:$5\cdot 0=0$ и $6\cdot 0=0$, откуда $5=6$- где ошибка?

[TOTAL]

gris в сообщении #318853 писал(а):

А почему не задать вопрос прямо, типа:$5\cdot 0=0$ и $6\cdot 0=0$, откуда $5=6$- где ошибка?

Правильно, нечего ходить вокруг да около, пусть сразу признается во всём!

[Yu_K]

Небрежный немного пазл, но какой получился...

Цитата:

Небдительный и притуплённый школьник скорее не заметит неверный переход

Отрицание так будет - "Бдительный и непритуплённый школьник медленнее заметит верный переход"?

Вопрос про треугольники Герона
http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html
Что-то не пойму при каких $k,m,n$ в формулах (3)-(5) получаются эти два треугольника $(5,5,6)$ и $(5,5,8)$? В каком смысле эти формулы генерируют полный набор треугольников Герона. Или $(5,5,6)$ и $(5,5,8)$ нужно составлять из двух треугольников $(3,4,5)$ - в таком смысле генерация?