Критерий независимости двух случайных признаков (бинарных)

[Dims]

Вопрос, параллельный viewtopic.php?t=3860

Пусть есть два случайных признака A и B, которые могут быть, а могут не быть, причём вероятности их появления равны p_A, p_B (или, что тоже самое, есть две величины, могущие принимать значения 0 и 1 с соответствующими вероятностями).

Ясно, что информации о распределении признаков недостаточно: неизвестно, как они коррелируют.

Можно ли считать, что всю оставшуюся информацию даёт величина "ковариации"

c = p_{AB} - p_Ap_b?

Можно ли сказать, что если c = 0, то признаки независимы (для произвольных случайных величин, равенство нулю ковариации, вообще говоря, не влечёт их независимость)? Но в этом случаи, когда величины дискретны и имеют всего два возможных значения, кажется, этого достаточно?

[PAV]

Достаточно. В этом случае множество элементарных исходов состоит из четырех элементов и из указанных условий можно записать четыре равенства, которые однозначно зададут вероятности этих исходов.

[Dan_Te]

Да, это верно. Величина АВ также является бернуллиевской (т.е. принимает значения 0 или 1), причем из с=0 следует $\mathbf P\{A=1,B=1\}=\mathbf P\{AB=1\}=\mathbf P\{A=1\}\mathbf P\{B=1\}$. Отсюда получаем
$\mathbf P\{A=0,B=1\}=\mathbf P\{B=1\}-\mathbf P\{A=1,B=1\}=\mathbf P\{B=1\}-$
$-\mathbf P\{A=1\}\mathbf P\{B=1\}= \mathbf P\{B=1\}(1-\mathbf P\{A=1\})=\mathbf P\{B=1\}\mathbf P\{A=0\}$.
Аналогично
$\mathbf P\{A=1,B=0\}=\ldots=\mathbf P\{B=0\}\mathbf P\{A=1\}$
$\mathbf P\{A=0,B=0\}=\mathbf P\{B=0\}\mathbf P\{A=0\}$.
Это и означает независимость.

upd: не успел =))

[Dims]

Блииин! Стал выяснять, а какие значения может принимать эта ковариация? Ясно, что не любые.

Оказалось, что, в зависимости от значений вероятностей она может принимать вот какие значения:



Синим обозначено минимальное значение, а красным -- максимальное.

Интересно, а есть ли какая-то величина, которая характеризует тоже самое, но произвольна?

[Руст]

Dims писал(а):

Можно ли сказать, что если c = 0, то признаки независимы (для произвольных случайных величин, равенство нулю ковариации, вообще говоря, не влечёт их независимость)? Но в этом случаи, когда величины дискретны и имеют всего два возможных значения, кажется, этого достаточно?

Вообще независимость двух случайных величин есть условие, при котором распределение значений одной из них такое же при любом фиксированном значении другой. Когда обе случайные величины принимают только два значения это эквивалентно равенству нулю ковариации (легко доказывается).