Двумерные случайные величины. непонятно условие

[ewert]

Тета -- это функция Хэвисайда. И с этой точки зрения всё вроде нормально. Крайне подозрительно лишь, что товарищ очень долго, на протяжении уже многих постов тщательно избегает хоть какого-то конкретного интегрирования. И вообще хоть чего-то конкретного. Это подозрительно.

[shur]

Спасибо, Aleksey1

$f_{\xi}(x)=C\int\limits_{0}^{{-0,5x+1}}(2x+2y)dy\cdot \mathb1_{[0;2]}$

Я избегаю интегрирования, тк понимаю - как это делать, но не знаю - как нормально рисовать подстановку пределов интегрирования!

[Alexey1]

ewert в сообщении #318498 писал(а):

Тета -- это функция Хэвисайда.

Теперь понятно, просто я её как $H(x)$ знаю.

[shur]

Ок, сейчас сделаю все конкретно и по порядку!!!

-- Ср май 12, 2010 19:28:37 --

$1=C\int\limits_{0}^{2}dx\int\limits_{0}^{-0,5x+1}(2x+2y)dy$ =>

$$1=C\int\limits_{0}^{2}\left.(2xy+y^2)|\right. _{y=0}^{y=-0,5x+1}=C\int\limits_{0}^{2}(2x(-0,5x+1)+(-0,5x+1)^2)dx=$$

$$=C\int\limits_{0}^{2}(-x^2+2x+\dfrac{1}{4}x^2-x+1)dx=C(-\dfrac{x^3}{3}+x^2+\dfrac{1}{12}x^3-\dfrac{x^2}{2}+x)dx=C(-\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{x^2}{2}+x)=C(-\dfrac{8}{4}+\dfrac{4}{2}+2)=2C=1$$

=> $C=\dfrac{1}{2}$

Вот такая корявая подстановка пределов во второй строчке!

$f_{\xi\eta}=C(2x+2y)I_{\Delta ABC}(x,y)=(x+y)I_{\Delta ABC}(x,y)$

-- Ср май 12, 2010 19:33:09 --

$$f_{\xi}(x)=\dfrac{\mathb1_{[0;2]}}{2}\int\limits_{0}^{{-0,5x+1}}(2x+2y)dy=\dfrac{\mathb1_{[0;2]}}{2}\left.(2xy+y^2)|\right. _{y=0}^{y=-0,5x+1}=\dfrac{\mathb1_{[0;2]}}{2}(-\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{x^2}{2}+x)$$

-- Ср май 12, 2010 19:53:16 --

$M\xi =\int\limits_{0}^{2}xf_{\xi}(x)dx=\int\limits_{0}^{2}x\dfrac{\mathb1_{[0;2]}}{2}(-\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{x^2}{2}+x)dx=\dfrac{\mathb1_{[0;2]}}{2}\int\limits_{0}^{2}(-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+x^2)dx=\dfrac{\mathb1_{[0;2]}}{2}(-\dfrac{2^5}{20}+\dfrac{2^4}{12}+\dfrac{2^3}{3})=\dfrac{\mathb1_{[0;2]}}{2}(\dfrac{-8}{5}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}=1,2\cdot \mathb1_{[0;2]}$

На каком этапе в математическом ожидании должен исчезнуть индикатор, подскажите, пожалуйста!

[ewert]

shur в сообщении #318506 писал(а):

$$f_{\xi}(x)=\dfrac{\mathb1_{[0;2]}}{2}\int\limits_{0}^{{-0,5x+1}}(2x+2y)dy=\dfrac{\mathb1_{[0;2]}}{2}\left.(2xy+y^2)|\right. _{y=0}^{y=-0,5x+1}=\dfrac{\mathb1_{[0;2]}}{2}(-\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{x^2}{2}+x)$$

Ну это выглядит вполне правдоподобным, хоть вникать в нюансы мне и по-прежнему лень.

shur в сообщении #318506 писал(а):

На каком этапе в математическом ожидании должен исчезнуть индикатор, подскажите, пожалуйста!

А вот ровно на том и исчезнул, когда Вы ограничили область интегрирования вполне конкретным промежутком. Именно индикатор тот промежуток и задал.

[Alexey1]

Ошибка при подсчёте $M\xi$. Откуда взялось $\frac{x^3}{3}$?
И как Вам уже правильно указали $M\xi=\int_{-\infty}^{\infty}xf_{\xi}(x)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} \Big(-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{2}+x^2 \Big)dx$, то есть с учётом индикатора поменялись пределы интегрирования.

[shur]

Alexey1 в сообщении #318591 писал(а):

Ошибка при подсчёте $M\xi$. Откуда взялось $\frac{x^3}{3}$?
И как Вам уже правильно указали $M\xi=\int_{-\infty}^{\infty}xf_{\xi}(x)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} \Big(-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{2}+x^2 \Big)dx$, то есть с учётом индикатора поменялись пределы интегрирования.

Спасибо, понял свою ошибку!

$$M\xi=\int_{-\infty}^{\infty}xf_{\xi}(x)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{2} \Big(-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{2}+x^2 \Big)dx=\frac{1}{2}\left.(-\frac{x^5}{4\cdot 5}+\frac{x^4}{2\cdot 4}+\frac{x^3}{3})\right |_{0}^2=\dfrac{1}{2}(-\dfrac{2^5}{20}+\dfrac{2^4}{8}+\dfrac{2^3}{3})=$$

$$=\dfrac{1}{2}(-\dfrac{8}{5}+2+\dfrac{8}{3})=\dfrac{1}{2}(\dfrac{40-24}{15}+\dfrac{30}{15})=\dfrac{23}{15}$$

-- Ср май 12, 2010 22:24:21 --

Теперь остался вопрос с $K_{\xi\eta}$. Для этого нужно найти $M_{\xi \eta}$
По правильной ли я формуле собираюсь считать?)

$M\xi \eta=C\int\limits_{0}^{2}dx\int\limits_{0}^{-0,5x+1}xy(2x+2y)dy$

[Alexey1]

Да, прямо по определению.

[shur]

Спасибо большое Alexei1 и ewert! Разобрался и понял с вашей помощью!!!