Ричард Фейнман: алгебра в школе дается неправильно

[2w_ink]

http://www.youtube.com/watch?v=FvYhNetTeB0

Благодарность freetonik за перевод.

[Профессор Снэйп]

Ага. Понравилась фраза Фейнмана оттуда:

Цитата:

Ты не совсем понимаешь, что ты пытаешься сделать.

Вот, допустим, приходит человек в магазин, берёт жевачку за 2 рубля, даёт кассиру пятёрку и спокойно ждёт, когда ему дадут три рубля сдачи. Но если того же самого человека посадить за парту, вручить в руки тетрадь и дать задание: "решить уравнение $2+x=5$", то он, с большой вероятностью, начнёт вопить, что математика --- не для него, что он в ней ничерта не понимает и т. п.

[--mS--]

Совершенно справедливо :) Я тоже часто студентам говорю, что "если сейчас на улице спросить первого встречного, какое будет среднее положение точки, наудачу брошенной на отрезок, он ответит. А вы, тупари, на вопрос - каково матожидание равномерного распределения на $[a,\,b]$, ответить не можете" :)
В этом месте помогает. Но нельзя же из таких трюков составить весь тервер.

[ewert]

--mS-- в сообщении #316640 писал(а):

Я тоже часто студентам говорю, что "если сейчас на улице спросить первого встречного, какое будет среднее положение точки, наудачу брошенной на отрезок, он ответит. А вы, тупари, на вопрос - каково матожидание равномерного распределения на $[a,\,b]$, ответить не можете" :)

--mS-- в сообщении #316639 писал(а):

У распределения Коши математическое ожидание не существует, как не считай.

В этом ей-богу есть некое внутреннее противоречие, ей-богу...

--------------------------------------------------------------------------
А если серьёзней. Мы и впрямь глушим студентов избыточными формализмами. И я тоже не без греха. Я, конечно, стараюсь с собой бороться, но получается -- с переменным успехом...

[bot]

ewert в сообщении #316693 писал(а):

В этом ей-богу есть некое внутреннее противоречие, ей-богу...

А где противоречие? В первом случае, хоть у прохожего спроси, хоть по формуле посчитай - в середину отрезка угодишь, а во втором формальная формула даёт расходящийся интеграл. Principal value существует - это за матожидание считать?

[ewert]

bot в сообщении #317282 писал(а):

А где противоречие?

В том, что если у первого попавшегося прохожего студента спросить, чему будет равно среднее значение распределения Коши (нарисовав для наглядности график) -- он, скорее всего, тоже с уверенностью ответит, что в нуле. И его логика ровно ничем не будет отличаться от логики того прохожего насчёт отрезка. Всего лишь логика симметрии (что почтенно, конечно, но не имеет отношения к корректности постановки вопроса).

bot в сообщении #317282 писал(а):

Principal value существует - это за матожидание считать?

Неизвестно. Неизвестно, зачем конкретно это дальше понадобится и адекватно ли для дальнейших целей использование именно главного значения.

[Kitozavr]

На себе это замечаю: когда в школе проходили квадратные уравнения я пропустил урок, где учительница рассказывала про дискриминант, и хотя я знаю формулу, при решении квадратных уравнений меня не покидает мысль откуда этот дискриминант взялся.Может расскажете?

Полезно в задачи по математике добавлять элементы физики, а то после уроков математики остаются мысли типа: "Это всё интересно, но где же оно используется?"

[ewert]

Kitozavr в сообщении #317327 писал(а):

Полезно в задачи по математике добавлять элементы физики, а то после уроков математики остаются мысли типа: "Это всё интересно, но где же оно используется?"

Да, полезно. Это и недорого стоит, кстати -- всего несколько минут на урок. Но для этого нужно, чтоб учитель математики был ещё и хоть сколько-то физиком. Не знаю, насколько это в педвузах культивируется. Судя по всему (судя по общению с некоторыми моими дамами-коллегами, педагогинями по образованию, вполне во всех прочих отношениях уважаемыми) -- ни на сколько.

Kitozavr в сообщении #317327 писал(а):

Может расскажете?

Расскажу. Там надо просто выделить полный квадрат: $x^2+bx+c=(x+{b\over2})^2+\ldots$. А дальше -- сами.

А почему расскажу. А потому, что этот чисто технический (и вполне деццкий) приём -- во многих других темах используется, помимо собственно квадратного уравнения.

[--mS--]

ewert в сообщении #317298 писал(а):

В том, что если у первого попавшегося прохожего студента спросить, чему будет равно среднее значение распределения Коши (нарисовав для наглядности график) -- он, скорее всего, тоже с уверенностью ответит, что в нуле. И его логика ровно ничем не будет отличаться от логики того прохожего насчёт отрезка. Всего лишь логика симметрии (что почтенно, конечно, но не имеет отношения к корректности постановки вопроса).

Уж и не знаю, где Вы таких студентов берете :) Первый попавшийся студент должен использовать ту же логику прохожего, но у него в сравнении с прохожим больше возможностей свой ответ проконтролировать. Ответ о матожидании ограниченного равномерного распределения в таком контроле не нуждается, а про Коши студент уже должен подумать.

ewert в сообщении #317298 писал(а):

bot в сообщении #317282 писал(а):

Principal value существует - это за матожидание считать?

Неизвестно. Неизвестно, зачем конкретно это дальше понадобится и адекватно ли для дальнейших целей использование именно главного значения.

Замечательно, только при чем тут матожидание? Давайте ещё придумаем для распределения без первого момента ещё парочку характеристик и обе математическим ожиданием обзовём?

[ewert]

--mS-- в сообщении #317441 писал(а):

Ответ о матожидании ограниченного равномерного распределения в таком контроле не нуждается, а про Коши студент уже должен подумать.

Вы ж предлагали студентам брать пример с прохожих и опираться исключительно на интуицию. (Впрочем, я ж сказал с самого начала, что выступил не вполне всерьёз.)

--mS-- в сообщении #317441 писал(а):

Давайте ещё придумаем для распределения без первого момента ещё парочку характеристик и обе математическим ожиданием обзовём?

Т.е. матожидание в смысле главного значения нигде, никогда и ни при каких условиях пригодится не сможет?... Боюсь, что это смелая мысль.

[--mS--]

ewert в сообщении #317527 писал(а):

Вы ж предлагали студентам брать пример с прохожих и опираться исключительно на интуицию. (Впрочем, я ж сказал с самого начала, что выступил не вполне всерьёз.)

Понимаю, что не вполне всерьёз, однако указание на отсутствие у студентов интуиции весьма трудно воспринять как призыв опираться исключительно на интуицию :)

ewert в сообщении #317527 писал(а):

--mS-- в сообщении #317441 писал(а):

Давайте ещё придумаем для распределения без первого момента ещё парочку характеристик и обе математическим ожиданием обзовём?

Т.е. матожидание в смысле главного значения нигде, никогда и ни при каких условиях пригодится не сможет?... Боюсь, что это смелая мысль.

Смелая мысль тут пока одна: называть матожиданием объект, который никто так не называет и который им не является.

[Профессор Снэйп]

Kitozavr в сообщении #317327 писал(а):

хотя я знаю формулу, при решении квадратных уравнений меня не покидает мысль откуда этот дискриминант взялся.Может расскажете?

При $a \neq 0$ и $D = b^2 - 4ac$ справедливы равенства

$$ ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a} = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{D}{4a}, $$

так что при $ax^2 + bx + c = 0$ и $a \neq 0$ имеем

$$ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{D}{4a^2}} $$

и

$$ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{D}}{2|a|} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$

Вот откуда взялся этот дискриминант

Вообще-то до этого можно было и самостоятельно додуматься

[Парджеттер]

Вообще здесь уместно было бы вспомнить о взглядах Л.Д. Ландау на преподавание математики. Это к вопросу о формализме.

[Ales]

Kitozavr в сообщении #317327 писал(а):

откуда этот дискриминант взялся

Дискриминант - произведение квадратов разностей всех корней многочлена $a_nx^n+...+a_1x+a_0$.
$D=a_n^{2n-2}\Pi (x_i-x_j)^2, i < j$

Имеет смысл в продвинутой алгебре,
но излишен для решения квадратных уравнений в радикалах.

Дискриминант в школьной программе - пример того, как не надо учить математике (алгебре).

Термин "дискриминант" ввел Дж. Сильвестр.

[Kitozavr]

Как учить неправильно тут, видимо, все знают. А как правильно?