Алгебраическая кривая

[Asalex]

Пусть $\beta\in(0,1)$ произвольное положительное число, меньшее единицы.
Рассмотрим множество M=\left\{(x,\alpha):\alpha^4+(4x^3+2\beta x^3-6\beta x^5)\alpha^3+(3\beta x^4+6x^6-14\beta x^6+3\beta x^8)\alpha^2+(-6\beta x^7+4x^9+2\beta x^9)\alpha+x^{12}\leq0\right\}
Докажите пожалуйста, что для любой пары $(x,\alpha)$ из множества $M\cap\left\{(x,\alpha):x>1\&\alpha>1\right\}$ выполняется неравенство

$$\alpha\geq\alpha_0$$

, где $\alpha_0=\frac{27-18\beta-\beta^2+(9-\beta)\sqrt{(1-\beta)(9-\beta)}}{8\beta\sqrt{\beta}}$
Причем равенство достигается в единственной точке $(x_0,\alpha_0)$, где $x_0=\frac{3+\beta+\sqrt{(1-\beta)(9-\beta)}}{4\sqrt{\beta}}$

[Руст]

Если $\beta$ равна нулю или достаточно мала множество $M$ определяемое неравенством относительно полинома четвертой степени, имеющей все положительные коэффициенты при $x>0$, соответственно не имеющей положительных корней. Поэтому пересечение с множеством $x>1,\alpha >1$ пусто.

[Asalex]

Руст, при ненулевом $\beta$ коєффициент при $\alpha^3$ не является положительным при всех $x>1$. Поэтому о положительности полинома, определяющего множество М, так сразу ничего сказать нельзя.

[Руст]

Да такую проверку проходит. Соответственно представим это в виде:

$$M: (\alpha^4+4x^3\alpha^3+6x^6\alpha^2+4x^9\alpha+x^{12})\le \beta \alpha x^3[\alpha^2(6x^2-2)-\alpha x(3x^4-14x^2+3)-x^4(2x^2-6)].$$

Можно перейти к однородным координатам:
$z=\frac{\alpha}{x^3},y=x^2+\frac{1}{x^2}$ и записать:

$$(z+1)^4\le \beta z[z^2(6x^2-2)-z(3y-14)-(2-6x^{-2})].$$

Тогда легче оценить края множества.
Можно переписать в виде:

$$\frac{z^2+z^{-2}+4(z+z^{-1})+6}{\beta}\le [(3x^2-1)+\frac{2}{z}][2z-1+3x^{-2}].$$

Отсюда явно можно выразить критические значения для $x^2$

$$\frac{y+\frac{(y+2)^2}{2\beta}-7\pm\sqrt{4+4y-7\frac{(y+2)^2}{\beta}+(y+\frac{(y+2)^2}{2\beta})^2}}{3(2z-1)},$$

где $y=z+\frac 1z$.
Если $z<1/2$ то $x^2<x_2<1$ (корня со знаком минус).Когда $z>frac 12$ нижний корень меньше 1, и поэтому получается $x^2>x_1$ (корня со знаком плюс). Тогда получается неравенство для $\alpha$:

$$\alpha\ge zx_1^3=f(z,\beta), z>\frac 12$$

.
Можно найти минимум этой функции от z и неравенство переписать в виде $\alpha\ge \phi(\beta).$

[Asalex]

Извините, что я долго не отвечал. Не было доступа к интернету.

Руст, я вами восхищаюсь!!! Как вы сумели это выкрутить!!! Я хочу быть таким же умным как вы!!!

Мне осталось только найти минимум по z $zx_1^3$.