Производная и неопределённый интеграл.

[Mitrius_Math]

Имеется функция $f(x) = \ln \left(3x + \sqrt[]{9x^4+1} \right)$. Нахожу её производную: $f'(x) = \frac{\left(3x + \sqrt[]{9x^4+1} \right)'}{3x + \sqrt[]{9x^4+1} }=\frac{3+ \frac{\left(9x^4+1 \right)'}{2 \sqrt[]{9x^4+1} }}{3x + \sqrt[]{9x^4+1} }=\frac{1+\frac{2x^3}{\sqrt[]{x^4+\frac{1}{9}}}}{x+\sqrt[]{x^4+\frac{1}{9}}}$. В правильности вычислений не сомневаюсь, но всё-таки интересно было бы сделать проверку, то есть

(Оффтоп)

решить

вычислить интеграл $\int \frac{1+\frac{2x^3}{\sqrt[]{x^4+\frac{1}{9}}}}{x+\sqrt[]{x^4+\frac{1}{9}}} dx$. Но идей по этому поводу практически нет, кроме подстановки $y=\sqrt[]{x^4+\frac{1}{9}}$, которая ни к чему хорошему не приводит. С другой стороны, первообразная известна с точностью до константы, значит, есть какой-то способ её вычислить. Подскажите, идею пожалуйста.

-- Пн май 10, 2010 19:10:37 --

Похоже, что задача простая. Но... Cделал подстановку $t= x+ \sqrt[]{x^4+\frac{1}{9}}$, и у меня получилось $\ln \left| x+ \sqrt[]{x^4+\frac{1}{9}}\right|+C$. Не пойму, где ошибка.

[ShMaxG]

Да все верно, вы находите интеграл производной некой функции. Интеграл же - неопределенный, никаких доп условий нет, значит константа - произвольная. Всмотритесь, вы получили ответ, на константу отличающийся от $f(x)$.

[Mitrius_Math]

Всё. Я понял! Это та самая константа: $\ln \left| x+ \sqrt[]{x^4+\frac{1}{9}}\right|+C=\ln \left| \frac{3x+ \sqrt[]{9x^4+1}}{3}\right|+C=\ln \left| 3x+ \sqrt[]{9x^4+1}}\right| - \ln 3+C=\ln \left| 3x+ \sqrt[]{9x^4+1}}\right| +C' ,\ C' \in \mathbb R$

[ShMaxG]

Вот, теперь все верно.

[Mitrius_Math]

ShMaxG, понятно. Спасибо.