Интеграл

[vonkurt]

Помогите, пожалуйста, разобраться . Беру такой интеграл:

$$\int \frac{\cos\left( x\right) \,\sin\left( x\right) }{{\left( x+3\right) }^{2}}dx$$

,далее $\sin x=d(\cos x), t=-\cos x$
Получаю

$$-\int\dfrac{t\cdot dt}{(3+t)^2}$$

А что дальше делать?

[ИСН]

Что случилось со знаменателем, когда заменили переменную?

[vonkurt]

Это wolfram переставляет, но решает неправильно.

$$-\int\dfrac{t\cdot dt}{(t+3)^2}$$

[Alexey1]

Перепишите интеграл как $\int\frac{\sin(2x)}{2(x+3)^2}dx$ и интегрируйте по частям.

[vonkurt]

Alexey1 в сообщении #317381 писал(а):

Перепишите интеграл как $\int\frac{\sin(2x)}{2(x+3)^2}dx$ и интегрируйте по частям.

Да я так и сделал, В тааааааакиииииееееее дебри залез, что тетрадку изорвал .
Да, кстати, понял про знаменатель. Откуда я там, собственно, взял t ?

$$\int \frac{\cos\left( x\right) \,\sin\left( x\right) }{{\left( \cos x+3\right) }^{2}}dx$$

Вот такой интеграл, прошу прощения.

[Alexey1]

На некотором шаге вычисления используйте следующее $\cos(2x-6)=\cos(2x)\cos(6)+\sin(2x)\sin(6)$. Ответ будет включать $\int\frac{\sin(x)}{x}dx$ и $\int\frac{\cos(x)}{x}dx$.

[ИСН]

Alexey1, уже не будет - условие скорректировалось.
vonkurt, если Вы знаете слово wolfram, то какого чёрта ещё хотите?

[Alexey1]

Тогда ещё проще, так как это табличный интеграл $\int\frac{x}{(a+bx)^2}dx=\frac{a}{b^2(a+bx)}+\frac{1}{b^2}\ln|a+bx|+C$.

[vonkurt]

ИСН в сообщении #317394 писал(а):

vonkurt, если Вы знаете слово wolfram, то какого чёрта ещё хотите?

Я хотел понять по какому правилу можно так разложить:

$$\int\left(\dfrac{1}{u+3}-\dfrac{3}{(u+3)^2}\right) du$$

И дальнейшее решение незатруднительно.
So it goes.