2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Термодинамика, теплоемкость
Сообщение09.05.2010, 02:51 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Оценить, во сколько раз изменится теплоёмкость при постоянном давлении $C_p$ моля молекул брома $Br_2$ при увеличении его температуры от $T_1$ до $T_2$. Характеристическая вращательная температура брома $T_0$, собственная частота колебаний атомов $\nu$ . Разность энергий между основным и первым возбуждённым электронными состояниями равна $E$, другие возбуждённые состояния не учитывать.

Что такое характеристическая вращательная температура? Подскажите, как начать решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение09.05.2010, 19:31 
Модератор
Аватара пользователя


13/08/09
2396
Это температура при которой вы уже не можeте рассматривать газ как идеальный одноатомный...

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение09.05.2010, 19:57 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Угу, по условию $T_0 \gg T_1, T_2$
Я не пойму, как связать и частоту колебаний, и энергию на возбужденном состоянии.

Я пытался использовать формулу Эйнштейна: $$ C_v=R\left(\frac{\hbar \omega}{2kT}\right)^2 \frac{1}{\sh^2{\frac{\hbar \omega}{2kT}}} $$ она ведь для двухатомных молекул справедлива.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение09.05.2010, 21:48 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Упс, не много больше, а много меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 00:45 
Заслуженный участник


20/04/10
1972
Вы бы уж выкладывали всё условие полностью, не пренебрегая мелочами. Иначе решение может быть объёмным и неоднозначным. Что-нибудь конкретное об интервале температур говорится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 00:58 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
$ E=0,45 эВ ,T_1=230K, T_2=460K, T_0=0,23K, \nu=9,7*10^{12} c^{−1}$
0,45 эВ
Не пойму, как в ТеХ вставить русский текст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 01:47 
Заслуженный участник


20/04/10
1972
Ну вот, другое дело. Попробуйте решать так: "включены" все три поступательные степени свободы, учтите их вклад во внутреннюю энергию, плюс энергия вращательного движения двухатомной молекулы - тут ещё две степени свободы, это всё степени рабочие, т.к. соответствующий интервал температур много выше температур вырождения соответствующих движений. Далее разберитесь с колебательным движением. Для него температура вырождения $T_{\text{кол}}=\frac{\hbar \omega}{k}$, если она окажется много выше интервала, что скорее всего и произойдёт, тогда учёт вклада в теплоёмкость можно провести найдя стат сумму по колебательным степеням свободы, а из неё уже колебательную теплоёмкость в нужном пределе. Ну или воспользуйтесь формулой энергии, которая приходится на один осциллятор при температуре $T$: $\epsilon_{\text{кол}}={\hbar \omega\over 2}+{\hbar \omega\over \exp{\frac{\hbar \omega}{kT}}-1}$. Ну и для учёта теплоёмкости из-за переходов электронов в возбуждённое состояние, по-хорошему, нужно записать стат сумму и уже из неё находить теплоёмкость. Но можете воспользоваться этой формулой $c_{\text{эл}}=R{g\over (1+g)^2}\left({E\over kT}\right)^2$, здесь $g={g_1\over g_0}$, $g_{0,1}$ - кратности вырождения основного и первого возбуждённого состояний. Для простоты, если температура вырождения по отношению к колебательному движению окажется слишком большой, то можете его вообще не учитывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 02:18 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
lel0lel в сообщении #317495 писал(а):
Ну или воспользуйтесь формулой энергии, которая приходится на один осциллятор при температуре $T$: $\epsilon_{\text{кол}}={\hbar \omega\over 2}+{\hbar \omega\over \exp{\frac{\hbar \omega}{kT}}-1}$.

А откуда берется эта формула?
Вот стат. сумма: $Z=e^{-\frac{\hbar\omega}{2kT}}\left(1+e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 02:36 
Заслуженный участник


20/04/10
1972
$\epsilon=k T^2 {\partial^2 \ln Z\over\partial T^2}$. Проверьте ещё раз стат сумму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 03:05 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Э-э-э, а это, последнее, оно точно правильно? Размерность k у теплоемкости или я уже ничего не понимаю.
$\langle E\rangle=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$
$c_v=\frac{\partial\langle E\rangle}{\partial T}=k T^2\frac{\partial^2\ln Z}{\partial T^2}$

$Z=\sum_i e^{-\frac {E_i}{kT}}$ - вроде так, в случае двух состояний вроде верно. Нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 03:16 
Заслуженный участник


20/04/10
1972
Это Вы выразили удельную теплоёмкость в расчёте на одну молекулу, чтобы найти молярную теплоемкость домножьте на постоянную Авогадро. Проверьте стат сумму для осциллятора.
Nemiroff в сообщении #317507 писал(а):
$Z=\sum_i e^{-\frac {E_i}{kT}}$ - вроде так, в случае двух состояний вроде верно. Нет?
Вот так: $Z=\sum_{i=0}^1 g_{i}\cdot e^{-\frac {E_i}{kT}}$. Нормируйте так $E_{0}=0$.
Nemiroff в сообщении #317507 писал(а):
Размерность k у теплоемкости или я уже ничего не понимаю.
конечно $k$, а какая же ещё?

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 03:21 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Что такое $g_i$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 09:46 
Заслуженный участник


20/04/10
1972
Правильно, конечно, так: $E=k T^2 {\partial \ln Z\over\partial T}$, а $c_V={\partial E\over\partial T}$
Nemiroff в сообщении #317510 писал(а):
Что такое $g_i$?
это кратность вырождения соответствующего энергетического уровня, в стат сумму ведь $E_i$ войдёт столько раз, сколько различных квантовых состояний с такой же энергией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 12:37 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Если $E_0=0$, то $E_1=E$? Тогда я опять не понимаю, как частота осциллятора связана с этим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Термодинамика, теплоемкость
Сообщение10.05.2010, 13:49 
Заслуженный участник


20/04/10
1972
Ну мы ведь это уже обсуждали.
lel0lel в сообщении #317495 писал(а):
Далее разберитесь с колебательным движением. Для него температура вырождения $T_{\text{кол}}=\frac{\hbar \omega}{k}$, если она окажется много выше интервала, что скорее всего и произойдёт, тогда учёт вклада в теплоёмкость можно провести найдя стат сумму по колебательным степеням свободы, а из неё уже колебательную теплоёмкость в нужном пределе. Ну или воспользуйтесь формулой энергии, которая приходится на один осциллятор при температуре $T$: $\epsilon_{\text{кол}}={\hbar \omega\over 2}+{\hbar \omega\over \exp{\frac{\hbar \omega}{kT}}-1}$.
При расчёте колебательной теплоёмкости вам потребуется $\omega=2\pi \nu$. Суть такова, что вы учитываете вклады от разных движений в теплоёмкость независимо, поскольку логарифм от общей стат суммы распался бы на сумму логарифмов отдельных стат сумм. Вот теперь аккуратно соберите всё и выпишите молярную теплоёмкость при постоянном объёме, она естественно будет зависеть от температуры, эта зависимость сидит в теплоёмкостях колебательной и электронной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group