Как найти интегральчик sin(x)/sqrt(2+sin(2x)) ?

[Koftochka]

Здравствуйте, никак не получается взять этот интеграл

\[\int\frac{\sin{x}}{\sqrt{2+\sin2x}}\,dx.\[

Попробывала свести к котангенсам и сделать подстановку:

\[\int\frac{\sin{x}}{\sqrt {2+\sin2x}}\,dx=\frac{\sqrt2}{2}\int{\frac{\sin{x}}{\sqrt{\sin^2x+\cos^2x+\sin^2x\operatorname{ctg}x}}\,dx=\[

\[=\frac{\sqrt2}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}x+\operatorname{ctg}^2x}}=\left\{\begin{gathered}x=\operatorname{arcctg}t,\hfill\\dx=-\frac{dt}{1+t^2}\hfill\\\end{gathered}\right\}=-\frac{\sqrt2}{2}\int\frac{dt}{(1+t^2)\sqrt{1+t+t^2}}.\[

А что теперь делать с последним интегралом?? Его надо как-то рационализировать?

У друга получился такой ответ (верно?):

\[\int\frac{\sin{x}}{\sqrt{2+\sin2x}}\,dx=\frac{1}{2}\ln\Bigl(\sqrt{2+\sin2x}-\sin{x}-\cos{x}\Bigl)+\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{\sin{x}-\cos{x}}{\sqrt{2+\sin2x}}+C.\[

Но он говорит, что его решение очень нерациональное, и препод это решение обязательно забракует

Пожалуйста, помогите разобраться!

[Полосин]

Во-первых, не забудьте о множителе $\operatorname{sgn}\sin x$ перед интегралом. Во-вторых, последний интеграл берется либо с помощью подстановки Эйлера $s=t+\sqrt{t^2+t+1}$ (очень громоздко), либо так: сначала сделайте дробно-линейную подстановку $t=(\mu s+\nu)/(1+s)$, подобрав $\mu$ и $\nu$ так, чтобы получился интеграл вида $\int\dfrac{(Ms+N)ds}{(s^2+q)\sqrt{as^2+c}}$, затем разбейте этот интеграл на два; первый берется легко, а второй сводится к первому заменой $s=1/u$ (тоже громоздко, но все же попроще).