Не могу ошибку найти

[Sasha2]

Вот дана такая задача:
Нати сумму $\sum\limits_{k=1}^n{(k+1)C_n^k}$
Полагаем $a_k=k+1$ и $b_k=C_n^k$
Пусть $B_k=\sum\limits_{i=1}^k{C_n^k}$.
Тогда согласно тождеству Абеля: $\sum\limits_{k=1}^n{(k+1)C_n^k}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}{(a_k-a_{k+1})B_k}+a_nB_n$

Или $(n+1)(2^n-1)-\sum\limits_{k=1}^{n-1}{(2^k-1)}$
Преобразуя последнее выражение получаем:
$(n+1)2^n - (n+1)+(n-1)-\sum\limits_{k=1}^{n-1}{2^k}=(n+1)2^n-2-\sum\limits_{k=1}^{n-1}{2^k}$

И окончательно получаем
$(n+1)2^n-2-(2^n-2)=n2^n$.
В ответе приводится $(n+2)2^{n-1}$.

Как мой ответ, так и ответ автора неверны при $n=2$. Где же ошибка. Все же преобразования правильные.

[Alexey1]

Не на вопрос отвечу, но такие суммы обычно считаются с использованием биномиального ряда.

[TOTAL]

$\sum\limits_{k=0}^n{(k+1)C_n^k}=(n+2)2^{n-1}$

[Sasha2]

Нашел!!!

Все дело вот в такой сумме
$\sum\limits_{k=1}^n{kC_n^k}$, Остальное считается тривиально.
Имеем следующее равенство: $(1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n^kx^k}$.
Дифференцируем его и домножаем на $x$. Получаем
$nx(1+x)^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^n{kC_n^kx^k}$.
Подставляя $x=1$, получаем, что $\sum\limits_{k=1}^n{kC_n^k}=n\cdot2^{n-1}$.
А теперь используем этот результат.
Итак
$\sum\limits_{k=1}^n{(k+1)C_n^k}=\sum\limits_{k=1}^n{kC_n^k}+\sum\limits_{k=1}^n{C_n^k}=n\cdot2^{n-1}+(2^n-1)=n\cdot2^{n-1}+2\cdot2^{n-1}-1=(n+2)2^{n-1}-1$

Единичку потеряли уважаемый TOTAL, да там легко видеть, что числа нечетные получсаются. Проверьте, например при $n=2$.

Нашел, но все равно не нравится, а есть ли способ просуммировать без дифференцирования по школьному.

[ewert]

$$\sum\limits_{k=1}^nk\,C_n^k=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n\cdot\sum\limits_{l=0}^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{l!(n-1-l)!}=n\cdot\sum\limits_{l=0}^{n-1}C_{n-1}^l=n\cdot2^{n-1}$$

Sasha2 в сообщении #316762 писал(а):

Единичку потеряли уважаемый TOTAL,

Он не терял, у него суммирование от нуля.

[Sasha2]

Тогда понял, извиняюсь.

Спасибо, уважаемый ewert.
Ваше решение действительно самое лучшее.