Молекулярная физика. Два баллона.

[PIRO11]

Два баллона с воздухом объемами $0,5 M^3$ и $1 M^3$ соединены трубкой с краном. В первом баллоне находится 3кг воздуха при температуре $27^o С $ , во втором - 5кг при температуре $57^o С$ . Найти изменения энтропии системы после открытия крана и достижения равномерного состояния. Стенки баллонов и трубка обеспечивают полную теплоизоляцию воздуха от окружающей среды.
Кол-во теплоты

$$Q = \triangle U + A (1)$$

$$A = p \cdot \triangle V (2)$$

Подставляем (2) в (1)

$$Q = \triangle U + p \cdot \triangle V (3)$$

Записываем формулу энтропии

$$\triangle S = \frac { \triangle Q } { T } (4)$$

(3) в (4)

$$\triangle S = \frac { \triangle U + p \cdot \triangle V } { T } (5)$$

Запишим уравнения Менделеева-Клапейрона для каждого из газов до открытия крана

$$p_1V_1 = \frac { m_1 } { M } \cdot R \cdot T_1 $$

$$p_2V_2 = \frac { m_2 } { M } \cdot R \cdot T_2$$

Прошу совета. Правильно ли я действую? Как действовать дальше?

[lel0lel]

Выразите энтропию как функцию температуры и объема из уравнения $(5)$. Привычнее правда оно смотрится в полных дифференциалах. Для этого вам потребуется выразить полную энергию двухатомного газа через температуру, думаю в условии считается, что газ идеальный, т.е. для него ${\partial U\over\partial V}=0$, тем паче, что вы используете уравнение состояния идеального газа. Ну и если речь идет о воздухе, то можно явно найти константу молярной теплоемкости, тогда рассуждения о том, что воздух из двухатомных молекул можно опустить.

[PIRO11]

Приближение одноатомного идеального газа

$$U = \frac { 3 } { 2 } \nu RT$$

$$\int pd \frac { V } { T } = \nu R ln ( \frac { V_2 } { V_1 } )$$

[lel0lel]

PIRO11 в сообщении #316127 писал(а):

Приближение одноатомного идеального газа

Тогда уж берите приближение двухатомного идеального газа.

PIRO11 в сообщении #316127 писал(а):

$$\int pd \frac { V } { T } = \nu R ln ( \frac { V_2 } { V_1 } )$$

Здесь вы проинтегрировали одно из слагаемых правой части уравнения $5$, правда $T$ вы почему-то решили затащить под дифференциал, что не верно. Правильно так:
$\int \frac { p} { T }d V = \nu R \ln \left( \frac { V_2 } { V_1 } \right)$. Теперь продолжайте бороться с уравнением $5$, в конечном итоге вам нужна функция $S(V,T)$, ну или если вы интегрируете в определенных пределах, то $S(V_2,T_2)-S(V_1,T_1)$

[PIRO11]

Мой запас справочных материалов исчерпался. Не могли бы вы более конкретно указать что мне нужно получить. Зашиваюсь уже.

[PIRO11]

Начал заново
Всёже предположим,что газ идеальный. Т.К. условия у нас любят писать с большими огрехами. Тогда:
Найдём всё для одного сосуда(а нет у нас давления)

$$p_1= \frac { m_1 R_1 T_1 } { M V_1 }$$

то же для второго

$$p_2= \frac { m_2 R_2 T_2 } { M V_2 }$$

Далее находим температуру и давление после открытия крана

$$T_ { ok } = \frac { P_1 V_1 + P_2 V_2 } { \frac { P_1 V_1 } { T_1 } + \frac { P_2 V_2 } { T_2 } }$$

$$P_ { ok } = \frac { P_1 V_1 + P_2 V_2 } { V_1 + V_2 }$$

Энтропия

$$\triangle S = \triangle S_1 + \triangle S_2$$

где $$\triangle S_1, \triangle S_2$$ - энтропия первого и второго сосудов

[lel0lel]

Давайте начистоту, найти требуется изменение энтропии, для этого нужно знать как выражается энтропия для идеального газа с молярной теплоёмкостью $c_{\nu}$.

PIRO11 в сообщении #316446 писал(а):

Найдём всё для одного сосуда(а нет у нас давления)

Вот прежде чем это делать, нужно разобраться с энтропией, а уж затем находить то, что потребуется.

$\operatorname{d}S = \frac { \operatorname{d} U } { T } + \frac { p\operatorname{d}V } { T }$
Чтобы не рыться в справочниках в поисках молярной теплоёмкости воздуха, будем считать, что $c_{\nu}={5\over 2}R$, что соответствует модели двухатомного газа в силу теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы идеального газа. Тогда: $\operatorname{d} U = c_{\nu} \nu \operatorname{d} T$ и $\operatorname{d}S = c_{\nu} \nu \frac { \operatorname{d} T } { T } + \frac { p\operatorname{d}V } { T }$. Вот теперь проинтегрируйте последнее уравнение и получите энтропию как функцию температуры и объема, константу интегрирования можете опустить, в любом случае, нам потребуется изменение энтропии. В правой части вы должны получить два логарифма, один из которых вы уже получали.
Да, и ещё никакой процесс не изохорный, это вообще не квазистатический процесс.

[PIRO11]

Вероятно вот так
$\triangle S=C_v \cdot \nu lnT+ \int \frac { p } { T } dV$

[PIRO11]

Итак, чтобы добить завершить данную тему опишу путь по которому я в итоге пошёл.
Начну с начала ещё раз.
Запишем газовый закон :
$p \cdot V = \frac { m } { M } \cdot R \cdot T$
После открытия крана и достижения равномерного состояния :
$T = \frac { V_1 + V_2 } { 2 \cdot (m_1 + m_2)} \cdot \left( \left \frac { m_1 \cdot T_1 } { V_1 } + \frac { m_2 \cdot T_2 } { V_2 } \right)$
Энтропия:
$\triangle S = c \cdot m_1 \cdot ln \frac { T } { T_1 } + c \cdot m_2 \cdot ln \frac { T } { T_2 }$
Далее арифметика...