Бесконечные радикалы. Упрощение.

[Xaositect]

мат-ламер в сообщении #315969 писал(а):

Например, Васильев "Теорема Абеля в задачах".

Не Васильев, а Алексеев

[RIP]

Vvp_57 в сообщении #315932 писал(а):

Можно взяться за числа $\frac{17}{2}$,$\frac{41}{2}$.

$a=3n^2+3n+5/2$, $s=12n^2+12n+8$, $v=12n^2+12n+9-(4n+2)\sqrt3$, $n\ge-1/2$,

$$x^3-\frac{1+(2n+1)\sqrt3}2\,x^2-\frac{6n^2+6n+6-(2n+1)\sqrt3}2\,x-\frac{6n^2+6n+1-(12n^3+18n^2+16n+5)\sqrt3}4=0.$$

Vvp_57 в сообщении #315932 почти писал(а):

$E=\sqrt{22+\sqrt{22-\sqrt{22-\sqrt{22+\sqrt{22-\sqrt{22-\sqrt{22+...}}}}}}}$
$D=\sqrt{86+2\sqrt{69+2\sqrt{86+2\sqrt{69+...}}}}$
$C=\sqrt{69+2\sqrt{86-2\sqrt{69+2\sqrt{86-...}}}}$
$2E=D=C+1$

(поправил очевидную опечатку)

$$E=\sqrt{n^2+n+2+\sqrt{n^2+n+2-\sqrt{n^2+n+2-\sqrt{n^2+n+2+\ldots}}}}\,,$$

$$D=\sqrt{4n^2+4n+6+2\sqrt{4n^2+5+2\sqrt{4n^2+4n+6+\ldots}}}\,,$$

$$C=\sqrt{4n^2+5+2\sqrt{4n^2+4n+6-2\sqrt{4n^2+5+\ldots}}}\,,$$

$$x^3-2(n+1)x^2-4(n^2+2)x+8(n^3+n^2+2n+1)=0.$$

(Оффтоп)

Как же Вы придумываете все эти равенства?

[Vvp_57]

мат-ламер в сообщении #315969 писал(а):

Цитата:

У меня и образования то нет(математического).

Был такой математик - Рамануджан. Он такие примеры щёлкал как орешки без всякого образования - чисто интуитивно.

Так с него у меня все и началось. Как увидел формулу:
$\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+...}}}...}}}}}=1+2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{9} \right)$
Так сразу и понял, все, пропал. Интуиция У Раманyджана была просто жуткая! Что то он для себя в числах то открыл, а вот что? А радикалы трехтактные теперь для себя называю рамануджановскими.

-- Ср май 05, 2010 23:25:18 --

мат-ламер в сообщении #315969 писал(а):

Цитата:

У меня и образования то нет(математического). Хотя очень бы хотелось узнать побольше про все эти группы, кольца, поля. Только в книгах так пишут что, совершенно ничего непонятно. Особенно потому что реальных примеров то и нет.

Есть книги с примерами и упражнениями не слишком нудно написанные. Например, Васильев "Теорема Абеля в задачах".

Спасибо за информацию. Но мне нужно еще будет съездить в областной центр. Тут и время нужно, и не факт что такая книга найдется.

[Xaositect]

Vvp_57 в сообщении #315994 писал(а):

Спасибо за информацию. Но мне нужно еще будет съездить в областной центр. Тут и время нужно, и не факт что такая книга найдется.

Если электронная устроит - есть тут: http://www.mccme.ru/free-books/ , первая в списке.

[Vvp_57]

RIP в сообщении #315986 писал(а):

$a=3n^2+3n+5/2$, $s=12n^2+12n+8$, $v=12n^2+12n+9-(4n+2)\sqrt3$, $n\ge-1/2$,

$$x^3-\frac{1+(2n+1)\sqrt3}2\,x^2-\frac{6n^2+6n+6-(2n+1)\sqrt3}2\,x-\frac{6n^2+6n+1-(12n^3+18n^2+16n+5)\sqrt3}4=0.$$

$$E=\sqrt{n^2+n+2+\sqrt{n^2+n+2-\sqrt{n^2+n+2-\sqrt{n^2+n+2+\ldots}}}}\,,$$

$$D=\sqrt{4n^2+4n+6+2\sqrt{4n^2+5+2\sqrt{4n^2+4n+6+\ldots}}}\,,$$

$$x^3-2(n+1)x^2-4(n^2+2)x+8(n^3+n^2+2n+1)=0.$$

Сдаюсь...Вы открыли все тайны. От моего "форпоста" ничего неосталось.Примите мои поздравления!
И чтоб хоть как то реабилитироваться, спрошу на засыпку, а что будет если поменять знаки в формуле:
$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-....}}}}}}=?$
где $a$, как Вы совершенно точно нашли равно $n^2+n+2$

(Оффтоп)

Теперь и Вы можете придумывать, сколько угодно таких
равенств. Постараюсь в следующем вопросе чуть приоткрыть
маленькую тайну этих веселых упрощений. Прямо расписать
все не могу. Тут много причин. Ведь Рамануджан, тоже
многое скрыл в своих радикалах. Поскольку загадка, есть
движущая сила. Удачи Вам. Ваши ответы ОЧЕНЬ порадовали
меня. Спасибо.|

[RIP]

Кстати, все написанные выше формулы на самом деле совпадают , их можно переписать в более простой форме: $a=d+7/4$, $s=4d+5$, $v=4d+6-4\sqrt d$. Все три выражения

$$2\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a+\ldots}}}}}}}=\sqrt{s+2\sqrt{v+2\sqrt{s+2\sqrt{v+\ldots}}}}=\sqrt{v+2\sqrt{s-2\sqrt{v+2\sqrt{s-\ldots}}}}+1$$

равны наибольшему корню уравнения

$$x^3-\bigl(1+2\sqrt d\,\bigr)x^2-\bigl(4d+9-4\sqrt d\,\bigr)x-4d+1+(8d+14)\sqrt d=0.$$

Надо только аккуратно определить радикалы с минусами при малых значениях $d$. Первый радикал можно определить как предел посл-ти $r_0=0$, $r_{n+1}=\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a-r_n}}}$ (при любых $d\ge0$). С последним радикалом ситуация немного сложнее. Его логично определить как $\sqrt{v+2r}$, где $r$ --- предел посл-ти $r_0=0$, $r_{n+1}=\sqrt{s-2\sqrt{v+2r_n}}$. Чтобы обеспечить сущ-вование предела, потребуем, чтобы $s>2\sqrt{v+2\sqrt{s-2\sqrt{v}}}$, т.е. $d>0.061601734441661\ldots$ (последнее число есть квадрат корня многочлена 12-й степени, который мне не хочется выписывать).

[RIP]

А если поменять знаки, то, очевидно, формулы примут вид: $a=d+7/4$, $s=4d+5$, $v=4d+6+4\sqrt d$,

$$2\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\ldots}}}}}}}=\sqrt{s+2\sqrt{v+2\sqrt{s+2\sqrt{v+\ldots}}}}=\sqrt{v-2\sqrt{s-2\sqrt{v-2\sqrt{s-\ldots}}}}+1,$$

$$x^3-\bigl(1-2\sqrt d\,\bigr)x^2-\bigl(4d+9+4\sqrt d\,\bigr)x-4d+1-(8d+14)\sqrt d=0.$$

Первый радикал определяем как $\sqrt{a+\sqrt{a+r}}$, где $r$ --- предел посл-ти $r_0=0$, $r_{n+1}=\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a+r_n}}}$. Условие на $d$ довольно мрачное:

$$a>\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt{a}}}}},$$

т.е. $d>0.0228929\ldots$ (последнее число есть корень многочлена страшного многочлена 27-й степени).

Третий радикал определяем как предел посл-ти $r_0=0$, $r_{n+1}=\sqrt{v-2\sqrt{s-2r_n}}$. Тогда он определён при любом $d\ge0$, но равенство будет выполнено лишь при $d\ge\frac{3-\sqrt5}8$, поскольку при меньших значениях $d$ предел равен $2+2\sqrt d$.

Самое смешное, что при этом будет выполнено

$$\sqrt{v+2\sqrt{s-2\sqrt{v+2\sqrt{s-\ldots}}}}=2+2\sqrt d\qquad(d>0.46767328\ldots)$$

(радикал определяем, как раньше).

[Vvp_57]

Уважаемый RIP, мне нечего добавить, потому что Вы ответили гораздо больше чем ожидалось. А про анализ областей сходимости и пределов последовательностей, это мне мало доступно. Очень порадовало число $7/4$, мне с ним тоже пришлось встретиться. Жалко что Вы не выписали уравнения 12-й и 27-й степени(хотя бы самым малюсеньким шрифтом). Уравнения меня пугают несильно(насмотрелся).
Сам хочу вот решить уравнение:
$x^{128}+x^{127}-127x^{126}-126x^{125}+7875x^{124}+7750x^{123}-317750x^{122}-.....+1=0$
Спасибо еще раз за Ваши весьма интересные находки.
Разрешите только добавить что при $d=1/4$ мы получаем интересную формулу(ее часто спрашивают на форумах, когда дело касается угла в 20градусов):
$4\cos \left(\frac{\pi }{9} \right)=\sqrt{6+2\sqrt{9+2\sqrt{6+2\sqrt{9+....}}}}$

-- Чт май 06, 2010 20:40:05 --

Xaositect в сообщении #316002 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #315994 писал(а):

Спасибо за информацию. Но мне нужно еще будет съездить в областной центр. Тут и время нужно, и не факт что такая книга найдется.

Если электронная устроит - есть тут: http://www.mccme.ru/free-books/ , первая в списке.

Спасибо за адрес, правда у меня нескачалось, но я друзей попрошу, если у них получиться, то обязательно познакомлюсь с этой книжкой.

-- Чт май 06, 2010 20:43:06 --

AKM в сообщении #315516 писал(а):

(Оффтоп)

Vvp_57 в сообщении #315416 писал(а):

Только и Вы ответьте, зачем Гаусс нашел формулу числа: ...

Странно: мат-ламер никак не мог быть научным руководителем или хотя бы корешем Гаусса...

(Оффтоп)

Извините, я незнал, что такое оффтоп. Юмор ценю. Действительно, лучше б спросить зачем математики нашли больше 400 миллиардов знаков Pi?

[Vvp_57]

Vvp_57 в сообщении #316306 писал(а):

Уважаемый RIP, мне нечего добавить, потому что Вы ответили гораздо больше чем ожидалось. А про анализ областей сходимости и пределов последовательностей, это мне мало доступно. Очень порадовало число $7/4$, мне с ним тоже пришлось встретиться. Жалко что Вы не выписали уравнения 12-й и 27-й степени(хотя бы самым малюсеньким шрифтом). Уравнения меня пугают несильно(насмотрелся).
Сам хочу вот решить уравнение:
$x^{128}+x^{127}-127x^{126}-126x^{125}+7875x^{124}+7750x^{123}-317750x^{122}-.....+1=0$
Спасибо еще раз за Ваши весьма интересные находки.
Разрешите только добавить что при $d=1/4$ мы получаем интересную формулу(ее часто спрашивают на форумах, когда дело касается угла в 20градусов):
$4\cos \left(\frac{\pi }{9} \right)=\sqrt{6+2\sqrt{9+2\sqrt{6+2\sqrt{9+....}}}}$

-- Чт май 06, 2010 20:40:05 --

Xaositect в сообщении #316002 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #315994 писал(а):

Спасибо за информацию. Но мне нужно еще будет съездить в областной центр. Тут и время нужно, и не факт что такая книга найдется.

Если электронная устроит - есть тут: http://www.mccme.ru/free-books/ , первая в списке.

Спасибо за адрес, правда у меня нескачалось, но я друзей попрошу, если у них получиться, то обязательно познакомлюсь с этой книжкой.
P.S. Спасибо! Книжку получил. Читаю.
-- Чт май 06, 2010 20:43:06 --

AKM в сообщении #315516 писал(а):

(Оффтоп)

Vvp_57 в сообщении #315416 писал(а):

Только и Вы ответьте, зачем Гаусс нашел формулу числа: ...

Странно: мат-ламер никак не мог быть научным руководителем или хотя бы корешем Гаусса...

(Оффтоп)

Извините, я незнал, что такое оффтоп. Юмор ценю. Действительно, лучше б спросить зачем математики нашли больше 400 миллиардов знаков Pi?

[RIP]

(Многочлены)

4096*z^12 + 18432*z^10 + 12288*z^9 + 28416*z^8 + 36864*z^7 + 20224*z^6 + 29184*z^5 - 2320*z^4 - 1792*z^3 - 15032*z^2 - 10192*z + 3457
(d = z^2 = 0.06160173444166105999540091969, 0.4676732805083891316340280152)

18014398509481984*d^27 + 616993148949757952*d^26 + 10113958863167291392*d^25 + 105503295195618213888*d^24 + 785453529973783527424*d^23 + 4436182957564201271296*d^22 + 19722827461262657454080*d^21 + 70682542608203131125760*d^20 + 207389842666551758553088*d^19 + 503118869592306419236864*d^18 + 1014679565918442482565120*d^17 + 1704038902035870405099520*d^16 + 2378013790339641871695872*d^15 + 2740152841029943505715200*d^14 + 2575930961095977456369664*d^13 + 1934460743139972907794432*d^12 + 1116758190991155287556096*d^11 + 456146585028492851675136*d^10 + 100149777267680625295360*d^9 - 12759475800172704759808*d^8 - 18060623864675880173568*d^7 - 5378912525353910738944*d^6 - 127310650930406152192*d^5 + 305761202631017925120*d^4 + 54642638527414571840*d^3 - 4215631371682687664*d^2 - 1248186216482127028*d + 30046015909012739
(d = 0.02289290338162379943412823087)

(Просьба)

Я был бы Вам очень признателен, если б Вы перестали обзывать меня уважаемым. Меня от этого обращения коробит. Лучше просто RIP (без слова "просто").