Равенство для линейного ограниченного оператора

[fish-ka]

$(\overline{Im A^*})^{\perp}=Ker A$.

Вначале пытаюсь показать такое равенство (верно ли оно?) :

$(\overline{Im A^*})^{\perp}=(Im A^*)^{\perp}$

Для этого рассматриваю$x\in (\overline{Im A^*})^{\perp}$, тогда
$\forall y\in \overline{Im A^*} \quad (x,y)=0, \quad y=\lim y_n, y_n\in Im A^*$(верно?)$y_n=A^* f_n, f_n\in H$

а надо показать, что $\forall z\in Im A^* \quad (x,z)=(x,A^*g)=0.$
Как показать последнее равенство?

$A$ - линейный ограниченный оператор в пространстве со скалярныйм произведением $H$, $A^*$- сопряженный ему оператор.

Если не считать этого равенства, то все остальное получается.

[ewert]

$x\in\mathop{\mathrm{Ker}}A\ \Leftrightarrow\ Ax=0\ \Leftrightarrow\ (\forall y)\ (Ax,y)=0\ \Leftrightarrow\ (\forall y)\ (x,A^*y)=0 \Leftrightarrow$

$ \Leftrightarrow\ (\forall z\in\mathop{\mathrm{Im}}A^*)\ x\perp z \Leftrightarrow\ x\in(\mathop{\mathrm{Im}}A^*)^{{}^\perp}}.$

А чёрточка в исходном утверждении -- не более чем пижонство: ортогональное дополнение в любом случае не меняется при замыкании (ввиду непрерывности скалярного произведения).

(Кстати, для неограниченных, но замыкаемых операторов это утверждение тоже верно и доказывается ровно так же, только придётся вклинить несколько допзаклинаний.)

[fish-ka]

Спасибо!