Существование идемпотента в полугруппе.

[Mathusic]

Здравствуйте.
Встретил задачу. Покрутил соотношения - невышло.
Доказать, что в полугруппе (мн-во с заданной на нем ассоциативной биноперацией) всегда найдётся идемпотент $a$, т.е. т.ч. $a^2=a$.
От противного, используя соотношения
$a_1^2=a_{i_1}$
$...$
$a_n^2=a_{i_n}$

$a_{i_k}\not=a_k$. Не получилось.

[Xaositect]

Так это же неправда. Натуральные числа (без нуля) образуют полугруппу относительно сложения, а идемпотента в ней нет.

[Mathusic]

Понятно, где опечатка - полугруппа конечная. Вы же догадались.

[Xaositect]

А, у Вас конечная полугруппа.
Возьмем подполугруппу всех элементов вида $a^k$. Она конечная, значит последовательность $a, a^2, a^3\dots$ периодическая (возможно, с предпериодом). Дальше просто.

[Mathusic]

Xaositect в сообщении #315706 писал(а):

А, у Вас конечная полугруппа.
Возьмем подполугруппу всех элементов вида $a^k$. Она конечная, значит последовательность $a, a^2, a^3\dots$ периодическая (возможно, с предпериодом). Дальше просто.

Тогда для некоторого $p$ $a^p=a^p\cdot a^{Tn}(\forall n \in \mathbb{N})$.
С этим пошаманить?

[Xaositect]

Mathusic в сообщении #315709 писал(а):

С этим пошаманить?

Ну да.
$a^{2(p + t)} = a^{p + t}\Rightarrow t = ?$

[Mathusic]

Для большого $n$ $a^p=a^p a^p \cdot a^{Tn-p}$, зн. $a^p\cdot a^{Tn-p}=a^p a^p \cdot a^{Tn-p} \cdot a^{Tn-p}$.