Помогите преобразовать экспоненциальное распределение

[AVed]

Помогите пожалуйста преобразовать экспоненциальное распределение к нормальному, если это возможно?

Дело в том, что создана математическая модель для оценки параметров, подчиненных нормальному закону распределения, но существует необходимость к применению подобной модели и для параметров, подчиненных экспоненциальному закону распределения.

[мат-ламер]

В случае нормального распределения оценивание по методу максимального правдоподобия приводит к задаче минимизации суммы квадратов отклонений. Если у Вас ошибки распределены по другому закону и Вы его знаете, то метод максимального правдоподобия приводит к задаче минимизации других функций (отличных от квадратичных).

[AVed]

Если ближе к теме, то мне необходимо оценить нижнюю границу вероятности безотказной работы аппаратуры однократного применения (т.е. без восстановления) в течении заданного времени по результатам испытаний. Вероятность наработки аппаратуры до отказа подчиняется показательному закону рампределения.

[мат-ламер]

Я не специалист, и не совсем понял, что такое "нижняя граница вероятности". Задачу я понял так. Вы в результате испытаний оцениваете вероятность безотказной работы. Теперь Вам нужно оценить, насколько это оценка точна, т.е. найти дисперсию этой оценки. Таким образом, вероятность безотказной работы будет лежать в каких-то границах. Но может я не так понял?

[AVed]

В результате испытания я получаю значения параметра, распределенные по показательному закону. Изделие является работоспособным, если значение параметра не превышает заданного (в более сложной постановке заданное значение параметра тоже подчиняется показательному закону распределения). Мне нужно по результатам испытаний оценить нижнюю границу вероятности безотказной работы.

[мат-ламер]

Сдаётся мне, что это обыкновенная задача оценивания. Задана случайная величина, распределённая по показательному закону. Надо определить его параметр. (Давно не сталкивался с этим. Так ли, что показательное и экспоненциальное распределение - это одно и тоже, и там всего один параметр, и равен он матожиданию этого распределения?) Зная его, мы сможем определить вероятность того, что эта случайная величина меньше Вашего заранее заданного параметра. А если мы найдем не только оценку матожидания, но и дисперсию этой оценки, то и вычислим искомую нижнюю границу вероятности безотказной работы. А как лучше оценить матожидание - это вопрос. Но лучше, чтобы Вы не сильно доверяли моим советам, и в эту ветку заглянул кто-нибудь, понимающий в статистике.

[AVed]

мат-ламер в сообщении #316365 писал(а):

Сдаётся мне, что это обыкновенная задача оценивания. Задана случайная величина, распределённая по показательному закону. Надо определить его параметр. (Давно не сталкивался с этим. Так ли, что показательное и экспоненциальное распределение - это одно и тоже, и там всего один параметр, и равен он матожиданию этого распределения?) Зная его, мы сможем определить вероятность того, что эта случайная величина меньше Вашего заранее заданного параметра. А если мы найдем не только оценку матожидания, но и дисперсию этой оценки, то и вычислим искомую нижнюю границу вероятности безотказной работы. А как лучше оценить матожидание - это вопрос. Но лучше, чтобы Вы не сильно доверяли моим советам, и в эту ветку заглянул кто-нибудь, понимающий в статистике.

Показательное распределение это частный случай экспоненциального, которому, как принято сччитать, подчиняется вероятность наработки аппаратуры до отказа.

Попробую объяснить смысл
1.Наработка до отказа некоторого изделия подчиняется показательному закону распределения. По результатам испытаний некоторого количества изделий мы с некоторой, заранее заданной, доверительной вероятностью можем утверждать, что надежность изделия не хуже некоторого значения - нижней границы значения параметра полученного по результатам испытаний.
2.Задано значение доверительной вероятности оценки показателя надежности изделия - вероятности безотказной работы. Необходимо с заданной доверительной вероятностью оценить вероятность того, что значение параметра будет не меньше заданного

[GAA]

На тот случай, если тема еще актуальна.

Если рассматривается нижняя доверительная граница (н.д.г.), а не асимптотическая нижняя доверительная граница, то «преобразовать» к нормальному распределению не получится, но выражение для нижней доверительной границы широко известно и элементарно выводится.

Пусть показательное распределение имеет плотность

$f(x) = \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x \ge 0, \\ 0, \quad x < 0. \end{array} \right$

Далее, пусть элементы выборки независимые и одинаково показательно распределенные случайные величины, объем выборки равен $n$. Обозначим $\sum_{i=1}^n X_i$ через $ T_n $, доверительную вероятность через $\gamma$, а н.д.г. через $\underline{\theta}(X)$ т.е.

$\mathsf P \{\underline{\theta}(X) < \theta\} = \gamma$.

Тогда

$\underline{\theta}(X) = 2 T_n /\chi^2_{\gamma}[2n]$,

где $\chi^2_{\gamma} [2n]$ — $\gamma$-квантиль распределения $\chi^2$ c $2n$ степенями свободы.

(Модераторам CS)

В теме рассматривается стандартный материал по курсу МС. Может перенести из CS в «Помогите решить / разобраться (М)»?