Рисс - Фишер, ортонормальный базис и пр-во Гильберта

[Таня Тайс]

В одной умной книге (Steven Krantz, Geometric Function Theory) встретилась такая строчка

$$\sup_{z \in E}\sqrt{\sum_{j}| \psi_{j}(z)|^2}=\sup_{z \in E} ||\{\psi_{j}(z)\}_{j=1}^{\infty}||_{l^2}=\sup_{||\{a_j\}||_{l^2}=1} |\sum a_j \psi_{j}(z)|=\sup_{||f||_{L^2}=1}|f(z)|$$

Дано: $\{\psi_{j}\} _{j=1}^{\infty}$ - ортонормированный базис сепарабельного гильбертова пространства $H \subset L^2$.
$f \in L^2$
Первое равенство - это просто определение нормы в пространстве $l_2$.
Последнее равенство тривиально $f=\sum a_j \psi_{j} $.
Середину никак не могу понять

Если верить автору, это следует из теоремы Рисса - Фишера. Но как?

Кручусь около формулировки этой теоремы из книги Колмогорова и Фомина:
$\sum_j a_j ^2< \infty \Rightarrow \exists f \in H, \; a_j=(f, \psi_{j}), \; \sum a_j^2=(f,f)=||f||^2 $

Я уже так долго об этом думаю, что совсем ничего не понимаю. Подскажите, в чём тут соль? Спасибо!

[paha]

стесняюсь спросить, что такое $z$ и из какого оно $E$?

-- Вт май 04, 2010 00:32:45 --

во второй формулировке просто $f=\sum a_j\psi_j$

[Таня Тайс]

$E\subset \mathbb{C}$ -компактум. Надо бы везде вместо $L^2 $ писать $L^2(E)$
$z\in E$ комплексное число.

[paha]

квадратично-интегрируемая функция может иметь оооооооооооооооооооооооочень большой сюпремум

-- Вт май 04, 2010 00:49:46 --

даже если она из базиса

[Таня Тайс]

А почему в середине знак равно -то?

[paha]

четыре бесконечности... вот и равны)

[Полосин]

Все это выглядит как-то странно (возьмите систему функций $\{e^{int}/\sqrt{2\pi}\}$ на отрезке длины $2\pi$). Подозреваю, что на самом деле имеется в виду задача о наилучшем приближении в гильбертовом пространстве (неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, etc.).

[Таня Тайс]

Полосин в сообщении #315387 писал(а):

Подозреваю, что на самом деле имеется в виду задача о наилучшем приближении в гильбертовом пространстве

Задача, которая на самом деле имеется в виду: Доказать,что ядро Бергмана $K(z,t) =\sum_{j} \psi_j(z)\overline{\psi_j(t)}$,
где это ядро определяется из равенства
$f(z)=\int K(z,t)f(t)dt$

[Полосин]

Телепатии не обучен. Какова полная постановка задачи?

[paha]

Таня Тайс в сообщении #315389 писал(а):

Доказать,что ядро Бергмана

ядро Бергмана что?

[Таня Тайс]

paha

Таня Тайс в сообщении #315389 писал(а):

ядро Бергмана $K(z,t) $ равно $\sum_{j} \psi_j(z)\overline{\psi_j(t)}$,

-- Вт май 04, 2010 00:17:23 --

Полосин
Я просто читаю книжку, там сформулировано утверждение

Таня Тайс в сообщении #315389 писал(а):

$K(z,t) =\sum_{j} \psi_j(z)\overline{\psi_j(t)}$,

которое доказывается, как написано в 1-м сообщении, я не понимаю это доказательство

[id]

Видимо, что оно равно $K(z,t) =\sum_{j} \psi_j(z)\overline{\psi_j(t)}$, при том условии, что определяется он из равенства (тождества?) $f(z)=\int K(z,t)f(t)dt$.

Я лично понял то равенство так:
Вектор $y:=\{ \psi_j(z) \}_{j=1}^{\infty} \in l^2$ есть ко всему прочему функционал, определенный на том же самом пространстве. При этом $\|y\|_{l_2}$ равна норме его как функционала (т.е. $\sup \limits_{\|x\| \leqslant 1} \frac {|f(x)|} {\|x\|}$ значений по единичному шарику ). Осталось заметить, что норму $x$ можно внести под функционал, получив супремум по единичной сфере. А это и нужно.

[Таня Тайс]

id в сообщении #315397 писал(а):

Вектор $y:=\{ \psi_j(z) \}_{j=1}^{\infty} \in l^2$ есть ко всему прочему функционал, определенный на том же самом пространстве.

О, а почему? Это вроде ортонормированный базис... Или Вы используете Рисса-Фишера в варианте $L^2(E) \approx l^2(\mathbb{N})$

Всё равно неясно, что за функционал такой.

-- Вт май 04, 2010 01:01:20 --

id в сообщении #315397 писал(а):

определяется он из равенства (тождества?) $f(z)=\int K(z,t)f(t)dt$

определяется из равенства

[id]

Таня Тайс
$z$ же вроде как фиксируется (в первом выражении с корнем).
Если первое выражение конечно, то $y:=\{ \psi_j(z) \}_{j=1}^{\infty}$ есть вектор из $l^2$.

В последних двух он как-то непонятно исчезает (может быть, должен быть еще внешний супремум по $z$)?

[Таня Тайс]

id в сообщении #315405 писал(а):

В последних двух он как-то непонятно исчезает

Я поленилась написать, но он конечно же никуда не исчезает: $z \in E$.

-- Вт май 04, 2010 01:22:09 --

id в сообщении #315405 писал(а):

$z$ же вроде как фиксируется (в первом выражении с корнем)

Ну да, фиксируется, а где функционал? То есть что этот вектор $\{\psi_j\}$ делает с функциями, мне непонятно...