Найти сумму ряда

[Ёж]

Не могли ли проверить

$$ \sum\limits_{n=3}^{\infty}(n+5)x^{n-3}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+8)x^{n}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}nx^{n}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}8x^{n}= x\sum\limits_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}+8\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}= x\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}\right)'+8\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}= x\left(\frac{1}{1-x}\right)'+\frac{8}{1-x}= \frac{x}{(1-x)^2}+\frac{8}{1-x}= \frac{8-7x}{(1-x)^2}. $$

$$ \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+6)x^{7n}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}nx^{7n}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}6x^{7n}= \frac{x}{7}\sum\limits_{n=0}^{\infty}7nx^{7n-1}+6\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{7n}= \frac{x}{7}\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{7n}\right)'+6\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{7n}= \frac{x}{7}\left(\frac{1}{1-x^7}\right)'+\frac{6}{1-x^7}= \frac{x}{7}\frac{7x^6}{(1-x^7)^2}+\frac{6}{1-x^7}= \frac{6-5x^7}{(1-x^7)^2}. $$

[meduza]

Всё верно. (Только в дальнейшем всегда дописывайте $|x|<1$.)

[Ёж]

meduza в сообщении #315289 писал(а):

Всё верно. (Только в дальнейшем всегда дописывайте $|x|<1$.)

спасибо!