Сходимость несобственного интеграла.

[Hitp]

Каким образом исследовать этот интеграл?

$$\int\limits_0^1 {\frac{{e^x dx}}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} $$

[ИСН]

Задайтесь вопросами: где особенность? и главное, на какой более простой случай похож Ваш пациент вблизи оной?

[Hitp]

особенность в единице

-- Вс май 02, 2010 12:48:05 --

более простой случай не придумывается

[ИСН]

Он похож на $1\over\sqrt x$ в нуле, а дальше как хотите.

[Hitp]

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % WGLbWaaWbaaSqabeaacaWG4baaaOGaamizaiaadIhaaeaadaGcaaqa % aiaaigdacqGHsislcaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqabaaaaO % GaeyisIS7aaSaaaeaacaWGLbWaaWbaaSqabeaacaWG4baaaaGcbaWa % aOaaaeaacaWG4baaleqaaaaakiabgIKi7oaalaaabaGaamiEaiabgU % caRiaaigdaaeaadaGcaaqaaiaadIhaaSqabaaaaaaa!481D! \[ \frac{{e^x dx}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \approx \frac{{e^x }}{{\sqrt x }} \approx \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} \] $
можно ли так преобразовать?

[ИСН]

Теперь думаете в правильную сторону. Но неправильно. Шагов с $\approx$ несколько больше, и сами шаги не совсем такие. Даже совсем не такие. И потом, Вы забываете, где особенность. Она не в нуле. Где она? Только что же её видели.
(Под "похож на что-то там в нуле" имелось в виду: у Вашей функции в некоторой точке имеется особенность такого же типа, как у вот этой простой функции в нуле.)

[ewert]

Hitp в сообщении #314896 писал(а):

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % WGLbWaaWbaaSqabeaacaWG4baaaOGaamizaiaadIhaaeaadaGcaaqa % aiaaigdacqGHsislcaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaqabaaaaO % GaeyisIS7aaSaaaeaacaWGLbWaaWbaaSqabeaacaWG4baaaaGcbaWa % aOaaaeaacaWG4baaleqaaaaakiabgIKi7oaalaaabaGaamiEaiabgU % caRiaaigdaaeaadaGcaaqaaiaadIhaaSqabaaaaaaa!481D! \[ \frac{{e^x dx}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \approx \frac{{e^x }}{{\sqrt x }} \approx \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} \] $
можно ли так преобразовать?

Да господь с Вами. Нельзя, конечно. Знаменатель во втором выражении никак не связан со знаменателем в первом. Вас же просили -- обнаружьте особую точку подынтегральной функции, т.е. точку, где та функция уходит в бесконечность (благо она лишь одна). Почему Вы этого не сделали?...

И даже не думайте как-то раскладывать числитель, это бессмысленно. С точки зрения сходимости достаточно того, что числитель нигде не приближается ни к нулю, ни к бесконечности. После чего на него вообще не следует обращать внимания (хотя в окончательном решении -- после того, как всё станет ясным -- конечно, следует формально обосновать корректность такого игнорирования).

----------------------------------------
упс, пропустил пару постов. Единственную особую точку Вы обнаружили-таки. Теперь стандартный шаг: сделайте линейную замену переменной, переводящую эту особую точку в ноль.

[Hitp]

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca % WGLbWaaWbaaSqabeaacaWG4baaaaGcbaGaamiEamaakaaabaWaaSaa % aeaacaaIXaaabaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaGccqGHsi % slcaaIXaaaleqaaaaaaaa!3D96! \[ \frac{{e^x }}{{x\sqrt {\frac{1}{{x^2 }} - 1} }} \] $
так можно?

[ИСН]

А толку-то.

[Alexey1]

Воспользуйтесь данным Вам советом. Так как $e^x$ ограничена на $[0,1]$, то рассмотрите сначала сходимость $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$, для чего сделайте замену переменных и переведите особую точку в 0. После этого, можно будет воспользоваться признаком сравнения.

[Hitp]

замена - siny
в последнем примере получается арксинус от 0 до 1, то есть pi/2

-- Вс май 02, 2010 18:56:55 --

получается надо рассматривать $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyzamaaCa % aaleqabaGaci4CaiaacMgacaGGUbGaamyEaaaaaaa!3ADA! \[ e^{\sin y} \] $ от 0 до pi/2?

[Alexey1]

Зачем такие замены. Вам же сказали линейную замену.

[lel0lel]

Alexey1 в сообщении #314973 писал(а):

Зачем такие замены. Вам же сказали линейную замену.

Ну почему же, можно и так оценить, что исходный интеграл меньше интеграла $e \cdot \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - x^2 } }}}=\frac{e \pi\over 2}$.
Разве что для общего понимания было бы полезно сделать другим путём.

[Hitp]

$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaOaaaeaaca % aIXaGaeyOeI0IaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaeqaaOGaeyyp % a0JaamOEaaaa!3B9A! \[ \sqrt {1 - x^2 } = z \] $ или$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGymaiabgk % HiTiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpcaWG6baaaa!3B8A! \[ 1 - x^2 = z \] $?

[Alexey1]

lel0lel в сообщении #314974 писал(а):

Ну почему же, можно и так оценить, что исходный интеграл меньше интеграла $e \cdot \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - x^2 } }}}=\frac{e \pi\over 2}$

Можно и так, тогда здесь замены вообще никакой не надо. Это табличный интеграл. Но если уж замена, так проще линейную $x=1-y$.