Диффуры. Уравнения Риккати.

[C0rWin]

Насколько я понимаю уравнения вида: $y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x)$ называются уравнениями Риккати. Мне известен один способ решения, тогда когда известно одно из частных решений уравнения $(y_{p1})$ и с помощью замены переменой на $y = y_{p1} + z$ можно получить уравнение Бернулли. Так вот существуют ли другие способы решения подобных уравнений. Ведь не всегда одно из частных решений тривиально.

[Brukvalub]

В частном случае, когда урвнение Риккати имеет вид $y' + ay^2 = bx^t $
, где $t = \frac{{ - 4k}}{{2k - 1}}\;,k \in Z$
, имеется формула решения, при остальных значениях t Лиувилль доказал. что даже такой частный случай не интегрируется в квадратурах.

[Аурелиано Буэндиа]

Brukvalub писал(а):

В частном случае, когда урвнение Риккати имеет вид $y' + ay^2 = bx^t $
, где $t = \frac{{ - 4k}}{{2k - 1}}\;,k \in Z$
, имеется формула решения, при остальных значениях t Лиувилль доказал. что даже такой частный случай не интегрируется в квадратурах.

а можно ссылку на доказательство?

[V.V.]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

а можно ссылку на доказательство?

Довольно подробное изучение Риккати есть в книге Егорова "Обыкновенные дифференциальные уравнения".

[Brukvalub]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

а можно ссылку на доказательство?

Беда в том, что сам этот факт я помню и уверен в его правильности, а вот где я его вычитал - не помню. Если вспомню, то дам ссылку.

[Юрий Косовцов]

C0rWin писал(а):

Насколько я понимаю уравнения вида: y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x) называются уравнениями Риккати. Мне известен один способ решения, тогда когда известно одно из частных решений уравнения (y_{p1}) и с помощью замены переменой на y = y_{p1} + z можно получить уравнение Бернулли. Так вот существуют ли другие способы решения подобных уравнений. Ведь не всегда одно из частных решений тривиально.

Вообще говоря существует несколько различных подходов к решению уравнения Риккати.
-Угадывание одного из частных решений.
-Если для некоторого частного уравнения Риккати известно решние, то семейство обратимых точечных преобразований типа

x=\xi(t),y=\frac{\alpha_1(t)z(t)+\beta_1(t)}{\alpha_2(t)z(t)+\beta_2(t)}

исходного уравнения Риккати приводит к семейству разрешимых уравнений. При этом возникают некие соотношения между a(x),b(x),c(x), при выполнении которых данное уравнение попадает в это семейство разрешимых уравнений (условия разрешимости).
-Преобразованиями

y=\alpha(x)z_1(x)+\beta(x),z_1(x)=\frac{\gamma(x)}{z_2(x)}}

несложно привести любое уравнение Риккати к "нормальному виду"

z_2' + z_2^2 = A(x).

Отметим, что уравнение Риккати с постоянными коэффициентами разрешимо (разделением переменных). Теперь может оказаться, что A(x)=const, следовательно, исходное уравнение разрешимо. Если же A(x) не есть константа, то повторно применяем указанную выше цепочку преобразований и приходим к новому "нормированному" уравнению с новой функцией A_2(x) в надежде в конце концов получить A_n(x)=const

-Наконец, хорошо известно, что уравнение Риккати связано с линейным уравнением второго порядка. Преобразуя уравнение Риккати в уравнение второго порядка можно попытаться идентифицировать Ваше уравнение с уравнением, определяющим ту или иную специальную функцию. Если такая поцедура оказывается успешной, в итоге получим решение уравнения Риккати, выраженное с помощью специальных функций (не Лиувилльево решение).

[1248]

Существует способ перехода от этого д.у. к линейному c большим количеством переменных.
Про это написано например в конце "Стохастические дифф. системы В.С.Пугачев И.Н.Синицын".

[C0rWin]

Думаю, что лучше будет привести конкретный пример уравнения, которое у меня не получается решить, возможно тогда станет понятнее... И так:
x^2 y' + xy + x^2 y^2 = 4
Далее я делаю замену переменной:
\begin{array}{l} t = xy \\ t' = y + xy' \\ xt' = xy + x^2 y' \\ \end{array}
И получаю уравнения вида:
xt' + t^2 = 4
Далее нахожу общее решение для однородного случая и потом с помощью вариации переменной нахожу решение для самого уравнение, только вот беда ответ не сходится.
Теперь в самих ответах я нашел типа подсказку на решение которая выглядит так:
\begin{array}{l} y' = \frac{1}{{x^2 }}\left( {4 - xy - x^2 y^2 } \right) = \frac{1}{{x^2 }}f(xy) \\ f(t) = 4 - t - t^2 \Rightarrow y = \frac{2}{x} + \frac{4}{{Cx^5 - x}} \\ \end{array}
Вот и возник вопрос как это было сделано?

[Brukvalub]

Вы привели уравнение к виду:
xt' = xy + x^2 y'
Теперь из предложенной в указании замены и Ваших преобразований следует, что решаемое уравнение сводится к уравнению
$xt' = t + f(t)$, а последнее уравнение является ур-нием с разделяющимися переменными.

[C0rWin]

Спасибо, ошибку у себя в решения я нашел... Вот только подсказку в ответах я так и не понял. Там явно подразумевается немного другой отличный от моего подход. Может все таки кто знает о чем там речь?

[C0rWin]

Всем спасибо!!! Я разобрался.