Обсуждение признаков сходимости рядов

[caxap]

Три вопросика:

1) Что-то не нахожу в учебнике Зорича подробной главы про ряды, есть только начальные сведения. Просмотрел два тома. Как-то странно, во втором томе такие дебри рассматриваются, а рядам всего несколько станичек посвещено в главе про последовательности (штук вроде признака Раабе, знакочередующихся рядов, признака Лебйница для них и т. д. -- ничего нет). Или я не там искал?

2) В Зориче в признаке Коши используется верхний предел $\varlimsup_{n\to\infty} |\sqrt{a_n}|$, во всех остальных источниках -- обычный предел. Почему такие различия?

3) Оффтоповый вопрос. Я в Фихтенгольце прочитал, что признак Раабе очень сильный (сильней Коши и Даламбера). Почему же ему так мало внимания везде уделяют (нам в универе его вообще не давали, учусь на радиотехническом факультете)?

[ИСН]

3 - коротко - потому что инженерам он, грубо говоря, слишком редко нужен по жизни; а математикам признаки не нужны вообще, они их могут изобретать на ходу, по потребности. Могут взять, к примеру, этот признак Раабе - и построить ряд, который по нему не определяется. Потом сообразить признак посильнее, чтобы всё-таки покрывал тот ряд. И ряд на тот признак. И признак на тот ряд...
...скоро это надоедает.

[caxap]

ИСН в сообщении #314538 писал(а):

Могут взять, к примеру, этот признак Раабе - и построить ряд, который по нему не определяется. Потом сообразить признак посильнее, чтобы всё-таки покрывал тот ряд. И ряд на тот признак. И признак на тот ряд...

Вау, я тоже так хочу! Можете продемонстировать на примере подобные действия или расскажите, пожалуйста, как так делать или направьте на источник, где этому учат. Я тоже обратил внимание, даже по Фихтенгольцу: признаки Даламбера и Коши неявно сравнивают с геом. рядами, если они не справляются, то можно сравнить с рядами Дирихле -- тогда получается более сильный признак Раабе, и т. д. Но я ничего не придумал лучше, чтобы просто заучить эти признаки, а т.к. памть у меня отвратительная, то я забуду все через неделю, хотелось бы понять общий принцип коснтруирования таких признаков.

[meduza]

2) Если существует $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{a_n}$, то он равен $\varlimsup\limits_{n\to\infty}\sqrt{a_n}$.

[Хорхе]

Цитата:

хотелось бы понять общий принцип коснтруирования таких признаков.

Есть такой сборник "Математика сегодня", там чуть ли не в каждом номере (во всяком случае, у меня такое впечатление осталось) статья про признаки сравнения, причем авторы разные, но пишут они об одном. Погуглите "метод Куммера" или "схема Куммера", это то, что Вам нужно.

[caxap]

Хорхе в сообщении #314597 писал(а):

Есть такой сборник "Математика сегодня",

Не могу найти в эл. виде, ссылку не дадите?

[Хорхе]

caxap в сообщении #314599 писал(а):

Хорхе в сообщении #314597 писал(а):

Есть такой сборник "Математика сегодня",

Не могу найти в эл. виде, ссылку не дадите?

В электронном виде никогда не встречал. Только в бумажном.

Вкратце история такая: берем расходящийся положительный ряд $S=\sum_{n\ge 0} 1/a_n$. Считаем $\rho = \lim_{n\to \infty} \Big(a_n\frac{x_n}{x_{n+1}} - a_{n+1}\Big)$. Если $\rho>0$, то ряд $\sum_{n\ge 0} x_n$ сходится. Если $\rho <0$, то ряд расходится. Если $\rho = 0$, то признак не работает и надо его улучшить. Для этого надо улучшить последовательность $a_n$; наиболее мудрым будет взять $a_n'={a_n}\sum_{k=1}^n 1/a_k$.

Иллюстрация: берем сначала $a_n=1$. Получаем признак д'Аламбера. Если не работает, заменяем $a_n$ на $a_n'={a_n}\sum_{k=1}^n 1/a_k = n$. Получаем признак Раабе. Если не работает, заменяем $a_n'$ на $a_n'' = a_n'\sum_{k=1}^n 1/a'_k\approx n\ln n$. Получаем признак Бертрана. И так далее.

Таким образом Вы сами сможете написать более 9000 признаков сходимости, один другого краше.

[caxap]

Хорхе
Вау, круто! Спасибо большое. Красивая идея.

P. S. В Фихтенгольце нашёл тоже "признак Куммера". В Зориче ничего нет. Странно.

[ewert]

caxap в сообщении #314532 писал(а):

2) В Зориче в признаке Коши используется верхний предел $\varlimsup_{n\to\infty} |\sqrt{a_n}|$, во всех остальных источниках -- обычный предел. Почему такие различия?

Потому, что для обычных числовых рядов такое усиление в виде верхнего предела не особо нужно, вот народ и не заморачивается. Оно будет нужно (даже необходимо) дальше, в теореме Абеля про степенные ряды. Видать, к ней Зорич и готовится. Это действительно немножко экономит время, но выглядит не очень эстетично.

[Padawan]

сахар
Вот еще хороший общий признак http://ru.wikipedia.org/wiki/Признак_Ермакова. Вместо экспоненты можно взять любую строго возрастающую функцию.