Предел

[Ylyasha]

Помогите решить предел
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 7x - \cos 3x}}{{\sin ^2 x}}$.
Решаю так
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 7x - \cos 3x}}{{\sin ^2 x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 \cdot \sin 5x \cdot \sin 2x}}{{\sin ^2 x}} = 4 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x \cdot \cos x}}{{\sin x}} = ???$
Пробовала умножать синус на косинус, но ничего хорошего не вышло.

[ИСН]

Оба шага порочные. Пересмотрите свои взгляды на синус и косинус.
А направление (если уж нельзя обоих разложить в ряд Тейлора и не париться) - верное.

[Ylyasha]

$ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 7x - \cos 3x}}{{\sin ^2 x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2 \cdot \sin 5x \cdot \sin 2x}}{{\sin ^2 x}} = - 4 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 5x \cdot \cos x}}{{\sin x}} = \\ = - 4 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\sin x \cdot \cos 4x + \cos x \cdot \sin 4x) \cdot \cos x}}{{\sin x}} = - 4 \cdot (\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos 4x \cdot \cos x + 4 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x \cdot \cos ^3 x}}{{\sin x}}) = \\ = - 4 \cdot (1 + 4 \cdot 1) = - 4 \cdot 5 = - 20; \\ \end{array}$. Я правильно решила?

[Mitrius_Math]

Можно воспользоваться правилом Лопиталя (хотя бы для проверки правильности решения).

[ИСН]

Ответ похож на правду. Как $\sin 4x$ раскрыли, можно чуточку подробнее?

[ozhigin]

воспользоваться эквивалентностями для синусов вроде можно