Многомерные расширения ТФКП

[Scholium]

Time писал(а):

Не подскажите, как бы мне заполучить электронную версию этих томов?

Л.И. Камынин. «Курс математического анализа» :

http://www.vargin.mephi.ru/books/book_m ... ynin_1.rar
http://www.vargin.mephi.ru/books/book_m ... ynin_2.rar

[Руст]

Написал один раз большой ответ, но из-за неполадок всё пропала. Лень была писать ещё раз. Поэтому буду отвечать малыми кусками.

Цитата:

Уже и это хорошо. Осталось только научиться с этими самыми делителями нуля обращаться примерно также как в теории вычетов на комплексной плоскости научились обращаться с нулями аналитических функций. Таким умением в теории функций двойной переменной математики на сегодня обладают?

нули не дают вычетов, наверное имели в ввиду полюса. Функции двойной переменной, более обще аналитические из $H_n$ в $H_m$ являются просто функциями из категорной суммы n экземпляров $R$ в категорную сумму m экземпляров $R$ и тривиально устроены. Поэтому не существует теории таких функций. Это несколько экземпляров функций от одного действительного переменного.

Цитата:

(Для Scholium) Вот видите!? И точно также ответят 99 из 100 физиков или математиков, причем будут искренне уверены, что совершенно правы..
При этом на чрезвычайную разницу в изометрических и конформных группах фундаментальных непрерывных симметрий пространства Минковского и таких как $H_4(R)$ или $H_4(C)$ им будет глубоко наплевать.

Не плевать. Легко доказать, что группа непрерывных симметрий $H_n$ тривиальная группа по умножению диагональных матриц с определителем 1 и не интересная простая (в смысле устройства) коммутативная группа.

Цитата:

Вы, кстати, также пока не чувствуете разницу между группой конформных симметрий различных пространств и группой решений волнового уравнения или уравнения Лапласа. А совпадают в случае квадратичных метрик данные два множества только в случае евклидовой и псевдоевклидовой двумерных плоскостей. В трехмерных и более мерных квадратичных пространствах этого качества уже нет.

В трехмерных и более измерений уравнения более высшего порядка. Тем не менее все равно тривиальны и не представляют интереса как набор функций один из которых постоянная.

Цитата:

В числе измерений три и выше множество конформных симметрий также может совпадать с множеством решений финслеровых аналогов уравнений Лапласа и Даламбера, но последние имеют уже существенно отличный от привычного вид, а что с последними делать, ни физики, ни математики пока не знают. :(

Не и, ф или, обычно использует Лапласа (или Лапласа-Бельтрами). Математики знают решения заранее, как я сказал выше. Они им не интересны ввиду сказанного.

Цитата:

Понятие сечения в существенной степени зависит от метрики и того, чего мы такой процедурой хотим добиться. Давайте возьмем, например, плоскость двойной перемнной. Под одномерным ее сечением можно понимать гиперплоскость ортогональную вещественной оси, а можно - пространство делителей нуля парное к одной из двух изотропных осей. Для той цели, о которой мы с Вами сейчас говорим, то есть для получения из $H_2$ в качестве сечения пространства с метрикой $H_1$ нужно взять второй вариант, что бу его можно було ьез проблем распространить и на редукцию пространства $H_3$ и $H_4$. Для этого в первом (то есть в $H_3$) нужно рассмотерть плоскость делителей нуля, в которую не входит одно из трех главных изотропных направлений. Она хотя в трехмерном смысле и изотропная, то есть, имеет нулевые интервалы для всех принадлежащих ей векторов, однако, можно рассматривать ее "внутреннюю" двумерную метрику, которая в данном случае оказывается именно метрикой $H_2$. Точно также и в $H_4$. От нее аналогичной процедурой можно перейти к "внутренней" метрике $H_3$, а уж от той к двумерной изотропной плоскости с "внутренней" метрикой $H_2$.

Естественно индуцированная метрика с тождественным нулем не интересна, лучше сокращать на множитель, тождественно равный нулю $ds^n=dx_1dx_2...dx_n\to ds^{n-1}=dx_1...dx_n$( в последнем сокращен тождественно нулевой множитель).

Цитата:

Что самое забавное, поскольку h-аналитические функции любого из пространств $H_n$ переводят изотропные прямые, плоскости, ..., гиперплоскости в себя, то на каждом из таких подпространств реализуется свое "внутреннее" конформное преобразование с соответствующей ему h-аналитической функцией того же самого вида, но для меньшего на одну или несколько единиц числа измерений. На мой взгляд, очень красивое и далекоидущее свойство, особенно если вспомнить, что множество гиперплоскостей делителей нуля представляет собой ни что иное, как световые конуса, с помошью которых можно моделировать траектории световых лучей.

Тут не проглядывается красота в связи с вышесказанным.

-- Вт апр 27, 2010 16:52:24 --

Цитата:

Поcмотрите внимательно статью написанную совместно с Кокаревым, которую я выкладывал перед докладом на столы и которую, надеюсь, Вы захватили с собой. Там все необходимые определения даны. Причем для пущей ясности в постоянном сопоставлении с аналогичными определениями обычных элиптических понятий потенциальности и соленоидальности на комплексной плоскости. Разница там, по сути, как и в условиях Коши-Римана на комлексной и двойной плоскостях, только в знаках..
К гиперболически потенциальным и гиперболически соленоидальным векторным полям на плоскости двойной переменной приводят ВСЕ без исключения h-аналитические функции. Точно также как аналогичное свойство имеет место быть для всех векторных полей, соответствующих обычным аналитическим функциям на комплексной плоскости. Разумеется, за исключением тех особых точек, где аналитичность или h-аналитичность теряется. Но это также понятно, в этих точках располагаются источники, вихри, диполи и пр. особенности.

Я начал читать и бросил. Сергей толковый парень, но в математике слабоват. Порою переписывает из учебников механический заменяя на соответствующие вещи не разобравшись в математическом смысле. Здесь он переписывает (кажется из Лавреньева, Шабата) ТФКП при этом не разобравшись некоторыми вещами типа $\frac{\partial}{\partial z}$ и его сопряженная это не частные производные (которые определены с помощью фиксации остальных переменных и зависят существенно от того, какие взяты дополнительные переменные) а дифференциальные операторы определяющие касательные пространства из дифференциальной геометрии. Определен дифференциальный комплекс на дифференциальных формах $A_0\frac{d}{\to}A_1\to ...\to \frac{d}{\to}A_n\to 0$.
(дважды дифференцирование дает 0 и $A_0$ - просто функции)
Чтобы определить понятия потенциальности, соленоидальности и т.д. требуется определит переход из векторов (касательного пространства) в дифференциальные формы (кокасательные пространства в случае $A_1$). Естественным здесь является переход с помощью метрического тензора. Однако, когда метрический тензор имеет более высокий порядок (порядок m) из касательного пространства попадаем в $A_{m-1}$ а не $A_1$, соответственно возникает проблемы в определении потенциальности. Если $m=n$ определение соленоидальности остается в силе как векторное поле являющейся кограницой в дифференциальном комплексе (термины из теории когомологий Дарбу).

Цитата:

Эти направления разделены световым конусом и, естественно, имеют место нюансы типа того, что Вы привели. А Вы попытайтесь тоже самое сказать в отношении векторов одного конуса, например, для векторов конуса прошлого. А ведь только из прошлого к нам, вроде бы как и приходят сигналы в реальном физическом мире, на основании которых мы судим о его изотропности или анизотропности.

Возьмите $a=\{1,-1\},b=\{1,-2\}$.

Цитата:

Это Ваша личная точка зрения на данный аспект. Моя (и я ее выше попытался обосновать), что все финслеровы пространства связанные с пространствами $H_n$ (во всяком случае внутри одногог конуса, в частности, конуса прошлого или будущего) - изотропны. Только это не привычная элиптическая изотропия, а менее ощущаемая гиперболическая. Впрочем, можете оставаться при своей точке зрения, но тоггда Вам пространства типа $H_n$ действительно не нужны и не могут представлять никакого интереса.

Об Евклидовости (локально) соответственно Римановости (глобально) геометрии на сечениях $t=const$ я писал в прошлом году сам. Просто не хочется ещё раз повторяться. Не изотропность Финслерова пространства связаны с различием при переходе к движущейся системе отсчета, зависящего от направления движения, соответственно и с различными скоростями света в разных направлениях.

[Руст]

Цитата:

К гиперболически потенциальным и гиперболически соленоидальным векторным полям на плоскости двойной переменной приводят ВСЕ без исключения h-аналитические функции. Точно также как аналогичное свойство имеет место быть для всех векторных полей, соответствующих обычным аналитическим функциям на комплексной плоскости. Разумеется, за исключением тех особых точек, где аналитичность или h-аналитичность теряется. Но это также понятно, в этих точках располагаются источники, вихри, диполи и пр. особенности.

Я убежден, что когомологии Дарбу h аналитических дифференциальных форм на проколотых областях тривиальны. Соответственно для них не существуют источников, сосредоточенных вихрей и т.д. Возможно ситуация изменится, если рассматривать не проколотые окрестности, а окрестности с удалением одной мировой линии. Но это надо проверить.

Цитата:

Глобальная (но не локальная) гиперболическая анизотропия в пространствах типа $H_n$ появляется сразу, как только в нем задана произвольная нелинейная (а также не дробнолинейная) h-аналитическая функция. Тем более это должно относиться к обобщениям этих функций при замене инвариантности углов на инвариантность тринглов и квадрауглов. Ничего подобного последним функциям и инвариантам в произвольных псевдоримановых пространствах ОТО нет в принципе. Даже с конформными преобразованиями (глобальными) там туговато и последние представляют всего 15-параметрическую группу. Максимум, что дающую - так это переходы от плоского пространства Минковского к плоскому пространству ДеСиттера, в котором роль прямых в качестве геодезических переходит к окружностям и гиперболам. Если Вы отошли от конформности при преобразованиях, и перешли с их помощью в кривое пространство, то потеряли связь с глобальными симметриями исходного плоского пространства, а вместе с ними и те замечательные следствия, которые называются законами глобальными сохранения, в том числе и сохранения энергии-импульса. Последние сохраняются только локально. Кому как, а мне хотелось бы не прощаться с законами сохранения и глобально.

Законы сохранения связаны с дифференцированием тензорных полей вдоль мировых линий и если они всюду выполняются локально, то (вообще говоря в случае интегрируемости точнее конечности) выполняются и глобально.

Цитата:

Скорее всего, Вы правы. Мы общаемся уже порядка года, и в отношении изменения Вашей позиции к поличислам и их физическим перспективам это практически никак не сказалось. Трудно представить, что бы от пятиминутного обсуждения на семинаре что-то серьезно сдвинулось. :) Но ведь высказываться и отстаивать свои убеждения все равно нужно. Иначе сближения позиций никогда не дождаться.

Согласен. Соответственно возможно более продуктивно сближение позиций через форум, или по переписке.

Руст в сообщении #313411 писал(а):

Смотрите выше.

Цитата:

Я по-прежнему утверждаю, что ни доказательств отсутствия гиперболической изотропии пространств вроде $H_n$, (куда относится и псевдоевклидова плоскость), ни доказательств отсутвия анизотропии на глобальных космологических интервалах в нашем реальном пространстве-времени - Вы не привели. То что написали, скорее, отписка. Может попробуете более строго подойти к этим двум принципиальным вопросам?

Дал выше уточнения.

Цитата:

Вы когда ни будь пробовали на основании этой покомпонентной сходимости построить гиперболические аналоги фрактальных множеств Жюлиа на плоскости двойной переменной? Советую попробовать. Уверенность, что это "хорошее" определение для понятия сходимость последовательности на двойных числах, весьма вероятно, исчезнет.

Не пробовал, при покомпонентной сходимости фракталы так же прямые произведения фракталов компонент и не интересны.

Цитата:

Мы с Виктором Панчелюгой провозились с данной проблемой достаточно много, что бы отдавать отчет, что "покомпонентная сходимость" - не то, что нужно для двойных чисел. На ней даже гиперболу (аналог окружности для комплексной плоскости) в качестве простейшего фрактального множества для итераций вида:
$(z_n)^2=(z_{n-1})^2+c$
при $c=0$ не удается построить. А это - вопиющий нонсенс.

При замене топологии появятся другие фракталы. Но для этого должны быть веские основания, почему нужна именно такая замена.

Цитата:

Обычные математики уверены, что вообще все n-арные операции сводятся тем или иным образом к унарным и бинарным.

Нет. Но большинство уверены в отсутствии нормальных приложений n-арных операций к обычной математике как и я. Я встречал некоторые приложения 3-арных операций, но они могут быть получены и без них.

Цитата:

Те же, кто профессионально занимаются именно n-арными операциями и n-группами симметрий уверены в обратном. Среди них те, фамилии кого я приводил Выше.

Я уже сказал, что их (n-групп) приложения к математике с n -арными операциями, а для обычной математики вряд ли они могут дать что то новое.

Цитата:

Но вот то, что до сих пор не исследованы даже группы непрерывных симметрий такого простенького пространства как $H_3$ - неубиенный факт.

Уже сказал, что они представляют группу диагональных матриц с определителем 1 и из-за простого устройства эта коммутативная группа не представляет интереса. Да и группа конформных преобразований есть дискретная коммутативная группа плюс коммутативная группа функций из $R^n$ в $R^n$ по сложению (изоморфизм после логарифмирования) и так же ничего интересного всвязи с коммутативностью и простой устроенностью.
Забыл еще полупрямую сумму с трансляциями. Но от этого интересным они не становятся.

[Time]

Руст в сообщении #313885 писал(а):

Написал один раз большой ответ, но из-за неполадок всё пропала. Лень была писать ещё раз. Поэтому буду отвечать малыми кусками.

Попробуйте перед нажатием клавиши Enter, весь текст, на всякий случай, сохранять. Часто помогает.

Руст в сообщении #313961 писал(а):

нули не дают вычетов, наверное имели в ввиду полюса. Функции двойной переменной, более обще аналитические из в являются просто функциями из категорной суммы n экземпляров в категорную сумму m экземпляров и тривиально устроены. Поэтому не существует теории таких функций. Это несколько экземпляров функций от одного действительного переменного.

Могу только рекомендовать Вам не мысленно (типа, да чего тут пробовать - все тривиально), а в реальности найти аналог формулы Коши на плоскости $H_2$ или построить гиперболический аналог фрактальных множеств Жюлиа. Ваша позиция не конструктивна. Если Вы не откажитесь от нее, поличислами Вам лучше не заниматься вовсе. В математике много и других объектов.. Поинтереснее..
На счет нулей и полюсов - Вы правильно заметили мою оплошность.

Руст в сообщении #313885 писал(а):

Не плевать. Легко доказать, что группа непрерывных симметрий тривиальная группа по умножению диагональных матриц с определителем 1 и не интересная простая (в смысле устройства) коммутативная группа.

Все самые сложные теоремы математики так или иначе базируются на эксплуатации понятия натурального числа. Следуя Вашей логике, коли алгебра последних тривиально устроена, все что получается из натуральных чисел - можно не рассматривать. Ввиду чрезвычайной элементарности исходных объектов..

Руст в сообщении #313885 писал(а):

В трехмерных и более измерений уравнения более высшего порядка. Тем не менее все равно тривиальны и не представляют интереса как набор функций один из которых постоянная.

У Вас прямо пунктик какой-то по отношению к тривиальности. Как только видите хоть малейшие признаки ее, сразу уходите в сторону. Вы бы хоть ради спортивного интереса попробовали посмотреть, что именно за этой простотой и элементарщиной может стоять. А то, вдруг, как с натуральными числами может получиться..

В качестве примера предлагаю хоть немного повозиться с обобщенно аналитической функцией $H_3$ переменной, имеющей в изотропном базисе $e_i$ вид:
$F(H_3)=x_2x_3e_1+x_3x_1e_2+x_1x_2e_3$
Не декларировать, что она тривиальна (даже если так оно и есть), а построить соответствующее ей векторное поле в трехмерном аффинном пространстве (причем не рассматривать его покомпонентно в виде отдельных проекций на три выделенные изотропные оси), найти вид сингулярностей (если они есть) и попробовать подумать над ее (или небольших модификаций этой функции) возможной физической интерпретацией (даже если Вам думать об этом, в виду очевидной бесполезности, совсем не хочется). Короче, попробуйте подойти конструктивно, а не махать рукой.
В принципе, тоже самое я мог бы Вам предложить проделать и с более тривиальной не обобщенно аналитической, а с самой обычной h-аналитической функцией от $H_3$ имеющей вид:
$F(H_3)=ln((h_3-1)/(h_3+1))$
Не раскладывать ее на три вещественные функции от одной переменной каждая, а ПОСТРОИТЬ при помощи любой программы 3D-визуализации, соответствующее ей векторное поле в трехмерном аффинном представлении, особенно выделяя внутреннюю зону куба с главной диагональню [(-1,-1,-1),(1,1,1)]. И попробовать им полюбоваться..
Преодолейте Вы свое нежелание заняться, кажущимися тривиальными и понятными вещами, как знать, может после этого и интерес появится, и красоту увидите..

Руст в сообщении #313885 писал(а):

Не и, ф или, обычно использует Лапласа (или Лапласа-Бельтрами). Математики знают решения заранее, как я сказал выше. Они им не интересны ввиду сказанного.

Простота нахождения решений не отменяет и не запрещает глубины геометрического и физического смысла. Что может быть проще натурального логарифма на комплексных числах с комплексным множителем? Да и найти такое решение двумерного уравнения Лапласа - легче простого. Неужели Вас не восхищает, что с ним, оказывается, естественным образом связываются такие элементарные, но такие важные понятия геометрии и физики как точечный источник и точечный вихрь, а вместе они дают векторное поле точечного вихреисточника? Почему за аналогчиной функцией логарифм от двойного числа Вы отказываетесь видеть гиперболический аналог этим фундаментальным объектам геометрии и физики? А в переходе к трем измерениям пространства $H_3$ логарифм также является h-аналитической функцийей и также задает векторное поле вихреисточника, только уже трехмерного. Какая Вам разница, раскладывается эта функция на три простых одномерных функции или нет? Вас же должен, в первую очередь, интересовать трехмерный объект в комплексе..

Руст в сообщении #313885 писал(а):

Естественно индуцированная метрика с тождественным нулем не интересна, лучше сокращать на множитель, тождественно равный нулю ( в последнем сокращен тождественно нулевой множитель).

Я именно это и сказал, но только другими словами. Однако хорошо, что хоть тут поняли меня..

Руст в сообщении #313885 писал(а):

Тут не проглядывается красота в связи с вышесказанным.

Вы просто не на то и не туда смотрите. Если хватит у Вас мотивации сделать то, о чем я просил Выше, а именно, построить векторное поле в трехмерном пространстве связанное с функцией от $H_3$ вида:
$F(H_3)=ln((h_3-1)/(h_3+1))$
и при этом посмотрите также, во что на двумерных гранях куба с главной диагональю [(-1,-1,-1),(1,1,1)] переходят изотропные прямые связанные с другой функцией:
$F(H_3)=ln(h_3-1)$
и уже после этого скажите, что красота не проглядывает, тогда - соглашусь. Но не с тем, что ее нет, а с тем, что для Вас ее нет. :)

Руст в сообщении #313885 писал(а):

Я начал читать и бросил. Сергей толковый парень, но в математике слабоват. Порою переписывает из учебников механический заменяя на соответствующие вещи не разобравшись в математическом смысле. Здесь он переписывает (кажется из Лавреньева, Шабата) ТФКП при этом не разобравшись некоторыми вещами

Вполне допускаю, что Сергей мог сделать некоторые описки или даже ошибки. Но смысл статьи был вовсе не в переписывании из Лаврентьева и Шабата той части, что посвящена азам ТФКП и связанной с нею теории комплексного потенциала. Эта часть писалась для тех потенциальных читателей, кто уже подзабыл, а то и не знал об этом (хорошо, что Вы помните, но не у всех же такой багаж). Основное содержание - во второй части, которой нет ни у Шабата, ни, полагаю, ни у кого из современных математиков или физиков (если я ошибаюсь - прошу дать ссылки). Попробуйте почитать именно ее, а не бросать на полпути, заметив огрехи (их всегда можно исправить, в отличие от идей).

Руст в сообщении #313885 писал(а):

Чтобы определить понятия потенциальности, соленоидальности и т.д. требуется определит переход из векторов (касательного пространства) в дифференциальные формы

Какое, нафиг, касательное пространство! Что на комплексной плоскости, что на двойной - мы ДО и ПОСЛЕ конформного преобразование находимся в ПЛОСКОСТИ. То есть, в самому себе касательном пространстве в каждой его точке (ну, может, кроме особых). И потенциальность с соленоидальностью в обоих случаях определяем для этих плоскостей. Только в одном случае это двумерное пространство, а в другом - двумерное пространство-время. Попробуйте дочитать статью до конца, прежде чем выносить столь "не в кассу" заявления.

Руст в сообщении #313885 писал(а):

Возьмите $a=(1,-1), b=(1,-2)$.

Такое впечатление, что Вы либо не читаете, о чем я Вам пишу, либо просто защищаете честь мундира.
Во-первых, Вы не сказали, в каком базисе рассматриваете компонентны указанной пары векторов. Приходится гадать в ортонормированном или в изотропном (а то еще в каком).. Если в изотропном, то этот пример ничего не дает в подтверждение Вашего утверждения о неравноправности направлений, так как приведенные вектора именно-что равноправны. Перейдите от вектора $b$ к единичному вектору того же направления и убедитесь в этом.
Если же Вы имели ввиду ортонормированный базис, то первый вектор $a$ лежит на световом конусе, тогда как вектор $b$ - внутри, а я просил Вас обосновать Ваш тезис об отсутствии равноправия для направлений ВНУТРИ одного светового конуса (не важно, прошлого, будущего или одного из двух конусов абсолютно удаленных событий на псевдоевклидовой плоскости).

Руст в сообщении #313885 писал(а):

Об Евклидовости (локально) соответственно Римановости (глобально) геометрии на сечениях я писал в прошлом году сам. Просто не хочется ещё раз повторяться. Не изотропность Финслерова пространства связаны с различием при переходе к движущейся системе отсчета, зависящего от направления движения, соответственно и с различными скоростями света в разных направлениях.

Мне остается лишь повторить также вышесказанное. Прежде чем заниматься собственно кривыми финслеровыми пространствами, на много более рационально до конца разобраться с простейшими частными случаями линейных финслеровых пространств, связанных с алгебрами и анализом над поличислами. Не отмахиваться от них, мол тут и делать нечего, все совершенно тривиально, а разобраться.. С Вашим подходом, что линейные финслеровы пространства годятся лишь в качестве учебных примеров студентам - далеко не уедешь в их понимании..

Руст в сообщении #313961 писал(а):

Я убежден, что когомологии Дарбу h аналитических дифференциальных форм на проколотых областях тривиальны. Соответственно для них не существуют источников, сосредоточенных вихрей и т.д. Возможно ситуация изменится, если рассматривать не проколотые окрестности, а окрестности с удалением одной мировой линии. Но это надо проверить.

Вы просто постройте те векторные поля для h-аналитических функций логарифм от $H_2$ и $H_3$, как я советовал выше и рассмотрите в них особые точки, в которых векторные линии пересекаются, а h-аналитичность теряется. Когомологии Вам при этом без особой нужды, а вот источники, стоки и вихри, полагаю, вполне сможете разглядеть.. Равно как и смысл гиперболической потенциальности и гиперболической соленоидальности..

Руст в сообщении #313961 писал(а):

Законы сохранения связаны с дифференцированием тензорных полей вдоль мировых линий и если они всюду выполняются локально, то (вообще говоря в случае интегрируемости точнее конечности) выполняются и глобально.

Прежде всего, законы сохранения связаны с наличием (отсутствием) непрерывных симметрий рассматриваемого метрического (псевдометрического) пространства. Вспомните теорему Нетер. Полагаю, что можно доказать обобщение этой теормемы, перейдя с групп движений, на группы конформных преобразований, а также таких, что оставляют инвариантными полиуглы. Дифференцирование тензорных полей, на сколько я понимаю, более слабое утверждение.

Руст в сообщении #313961 писал(а):

Дал выше уточнения.

По поводу отсутствия равноправия направлений внутри одного всетового конуса пространств типа $H_2$ и $H_n$ Вы снова ничего не уточнили. (См. выше.) Прошу третьей попытки, или признания, что все такие направления равноправны и в этом смысле соответствующие области гиперболических пространств $H_n$ можно называть h-изотропными (что бы не путать с несколько иным понятием эллиптической изотропии).

Руст в сообщении #313961 писал(а):

Не пробовал, при покомпонентной сходимости фракталы так же прямые произведения фракталов компонент и не интересны.

Да Вы сперва ПОПРОБУЙТЕ построить, причем именно на плоскости, а потом делайте утверждения. Причем еще раз повторяю, при "Вашем" способе определения сходимости последовательности двойных чисел покомпонентно, действительно, ничего интересного, кроме тривиальных квадратиков и прямоугольников не получается. На днях появился 12 номер нашего журнала. В нем есть статья по поводу двойных алгебраических фракталов. Вот там намечены пути нетривиального решения данной проблемы.. Посмотрите, как только номер появится на сайте..

Руст в сообщении #313961 писал(а):

При замене топологии появятся другие фракталы. Но для этого должны быть веские основания, почему нужна именно такая замена.

Об этом веском основании я Вам уже писал раньше. Вы снова не читаете. Таким основанием является очевидная необходимость иметь в качестве гиперболического аналога границы фрактального множества Жюлиа на комплексной плоскости при $c=0$ обычной окружности (кажется, это единственное множество Жюлиа на комплексной плоскости, у которого гладкие границы). На псевдоевклидовой плоскости гиперболическим аналогом окружности является квадратичная гипербола. При "Вашем" определении сходимости последовательности (ну, или топологии, если угодно) на двойных числах эта самая гипербола - не получается! А должна получаться. За это, собственно, и боролись в той статье, которая вышла с 12 номером.

Руст в сообщении #313961 писал(а):

Нет. Но большинство уверены в отсутствии нормальных приложений n-арных операций к обычной математике как и я. Я встречал некоторые приложения 3-арных операций, но они могут быть получены и без них.

Не знаю как Вы, а я по данному вопросу беседовал с десятками математиков. Их мнение именно такое, как я высказал раньше. Значит, Вы - приятное исключение и составляете то меньшинство (к которому отношусь и я), что настоящие n-арные операции не сводятся к бинарным и унарным. Хорошо, что хоть что-то у нас с Вами появилось объединяющее. :)

Руст в сообщении #313961 писал(а):

Я уже сказал, что их (n-групп) приложения к математике с n -арными операциями, а для обычной математики вряд ли они могут дать что то новое.

Правильнее, наверное, сперва попробовать, а уж потом делать выводы..

Руст в сообщении #313961 писал(а):

Уже сказал, что они представляют группу диагональных матриц с определителем 1 и из-за простого устройства эта коммутативная группа не представляет интереса. Да и группа конформных преобразований есть дискретная коммутативная группа плюс коммутативная группа функций из в по сложению (изоморфизм после логарифмирования) и так же ничего интересного всвязи с коммутативностью и простой устроенностью.
Забыл еще полупрямую сумму с трансляциями. Но от этого интересным они не становятся.

Вы понимаете последствия геометрических и физических интерпретаций алгебры $H_2$ для своей позиции, основанной на отношении к тривиальности алгебры? Для них это означает, что геометрия псевдоевклидовой плоскости не интересна по сравнению с геометрией евклидовой плоскости, а сама она - тривиальный геометрический объект, не дающий ровно ничего полезного даже для двумерной специальной теории относительности. Вы можете под ТАКИМИ следствиями своего алгебраического утверждения со спокойной совестью подписаться?

[Руст]

Цитата:

Все самые сложные теоремы математики так или иначе базируются на эксплуатации понятия натурального числа. Следуя Вашей логике, коли алгебра последних тривиально устроена, все что получается из натуральных чисел - можно не рассматривать. Ввиду чрезвычайной элементарности исходных объектов.

Вы неправильно поняли мою логику. Если рассматривать натуральные числа (точнее целые) как абелеву группу, то все истинные предложения легко перечислимы и доказуемы (в этом смысле тривиальность). Если целые числа рассматривать как кольцо с двумя бинарными операциями, то имеются бесконечно много истинных, но не доказуемых предложений и в некотором смысле вся математика сводится к существованию решений соответствующих диофантовых уравнений (диофантовы уравнения не выражаются только через сложения). Под тривиальностью этой теории я как раз понимаю то, что группы симметрии (аналог группы Лоренца) и группа конформных преобразований $H_n$ (без трансляций) просто устроенные абелевы группы, где все вопросы легко решаются.

Цитата:

Простота нахождения решений не отменяет и не запрещает глубины геометрического и физического смысла. Что может быть проще натурального логарифма на комплексных числах с комплексным множителем? Да и найти такое решение двумерного уравнения Лапласа - легче простого. Неужели Вас не восхищает, что с ним, оказывается, естественным образом связываются такие элементарные, но такие важные понятия геометрии и физики как точечный источник и точечный вихрь, а вместе они дают векторное поле точечного вихреисточника? Почему за аналогчиной функцией логарифм от двойного числа Вы отказываетесь видеть гиперболический аналог этим фундаментальным объектам геометрии и физики? А в переходе к трем измерениям пространства $H_3$ логарифм также является h-аналитической функцийей и также задает векторное поле вихреисточника, только уже трехмерного. Какая Вам разница, раскладывается эта функция на три простых одномерных функции или нет? Вас же должен, в первую очередь, интересовать трехмерный объект в комплексе.

Должен признаться, что когда говорил о тривиальности теории когомологий h аналитических функций в проколотой окрестности (соответственно нет источников, сосредоточенных вихрей,..) я представлял обычную топологию поточечной сходимости. Сейчас думаю, что более естественная топология на $H_n$ связана с нормой (или эквивалентно метрикой БМ). Соответственно особенности h аналитических функций будут представлять не только точки а некоторые гиперповерхности. Интегрирование будет не по обычным сферам, а по не замкнутым гиперповерхностям - аналогом псевдосфер. При этом будут выполняться аналоги источников, вихрей.

Цитата:

Какое, нафиг, касательное пространство! Что на комплексной плоскости, что на двойной - мы ДО и ПОСЛЕ конформного преобразование находимся в ПЛОСКОСТИ. То есть, в самому себе касательном пространстве в каждой его точке (ну, может, кроме особых). И потенциальность с соленоидальностью в обоих случаях определяем для этих плоскостей. Только в одном случае это двумерное пространство, а в другом - двумерное пространство-время. Попробуйте дочитать статью до конца, прежде чем выносить столь "не в кассу" заявления.

Попробую, но я и без этого представляю, что там может быть.
Псевдоевклидово пространство так же плоское, тем не менее даже в ортогональном базисе необходимо различать касательное пространство от кокасательного.

Цитата:

Во-первых, Вы не сказали, в каком базисе рассматриваете компонентны указанной пары векторов. Приходится гадать в ортонормированном или в изотропном (а то еще в каком).

Я всегда имею в виду наиболее простой базис, когда умножение представляется как умножение диагональных матриц, а норма есть определитель, соответственно они не равны нулю. Они внутри одного светового конуса.

Цитата:

Да Вы сперва ПОПРОБУЙТЕ построить, причем именно на плоскости, а потом делайте утверждения. Причем еще раз повторяю, при "Вашем" способе определения сходимости последовательности двойных чисел покомпонентно, действительно, ничего интересного, кроме тривиальных квадратиков и прямоугольников не получается. На днях появился 12 номер нашего журнала. В нем есть статья по поводу двойных алгебраических фракталов. Вот там намечены пути нетривиального решения данной проблемы.. Посмотрите, как только номер появится на сайте.

Ответил выше, что лучше менять топологию.

Цитата:

Вы понимаете последствия геометрических и физических интерпретаций алгебры $H_2$ для своей позиции, основанной на отношении к тривиальности алгебры? Для них это означает, что геометрия псевдоевклидовой плоскости не интересна по сравнению с геометрией евклидовой плоскости, а сама она - тривиальный геометрический объект, не дающий ровно ничего полезного даже для двумерной специальной теории относительности. Вы можете под ТАКИМИ следствиями своего алгебраического утверждения со спокойной совестью подписаться?

Я готовь подписаться над тем, что писал.

[Time]

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

К сожалению, я пока «не в теме» относительно «гиперболической соленоидальности реальных физических полей». Надеюсь, со временем «въехать» :)

На самом деле все просто, по крайней мере, для псевдоевклидовой плоскости. Такими свойствами обладают такие области двумерных векторных полей, в которых отсутствуют гиперболические источники и вихри. А последние можно ассоциировать как и на комплексной плоскости с элементарной функцией натурального логарифма. Источники связаны с вещественным множителем перед логарифмом, вихри - с гиперболически мнимым. Весь вопрос в том, есть ли реальные физические поля, обладающие такими или похожими свойствами при двумерном своем упрощении? Я полагаю, что да, такие поля есть.

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

Чего там далеко ходить, похожая ситуация с обычной «старой, доброй» гравитацией, которая, если верить словам одного физика-экспериментатора ( http://newfiz.narod.ru/ ) не позволяет спутникам долететь даже до Марса, да и с гравитацией на Земле тоже не все в порядке.

Возможно, Вы будете долго смеяться, но благодаря двойным и другим поличислам, гравитация снова может стать "старой и доброй". Во всяком случае, именно ее я подозреваю в тех свойствах, какими обладают векторные поля на $H_2$, то есть, гиперболической потенциальностью и соленоидальностью на подобии того, как эллиптической потенциальностью и соленоидальностью в двумерном упрощении обладает старое доброе электромагнитное поле. Сейчас заканчиваю статью для альманаха Ю.С.Владимирова с физфака МГУ. На мой взгляд, получается очень просто, красиво и с далекоидущими последствиями..
В принципе, даже эксперимент может не понадобится, на столько все естественно и логично, но для порядка, можно и провести.. Как минимум один вариант принципиальной схемы такого эксперимента, мне кажется, я вижу.

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

Да, это очень интересно. Надеюсь прочитать подробности, когда Вы их опубликуете. Про ОТО, могу сказать, в бытность моей учебы в МГУ, его ректор Логунов, разрабатывал собственный вариант этой теории. Так вот я помню весьма критическое отношение профессуры к этому проекту. Мол, что позволено великому Эйнштейну, то не позволено. . .

В том ключе, который требуется в связи с поличислами, у Логунова принципиально ничего не могло получиться. Даже плоское псевдориманово пространство с размерностью три и выше не имеет соответствия с коммутативно-ассоциативными алгебрами, но самое печальное, не имеет бесконечных групп непрерывных нелинейных симметрий. А поличисловые многомерные пространства - имеют..

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

Я смотрю, в интернете есть новые издания «Курса математического анализа» Л.И. Камынина. И даже в формате djvu|pdf . В моих четырех выпусках порядка 1000 страниц, поэтому сканировать вручную у меня не хватит никакого терпения. Вечером я гляну найденные ссылки и потом скажу, какие из них получше.

Ссылку увидел - большое спасибо. Постараюсь воспользоваться.

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

Ну, если Вы не желаете использовать квадратичную метрику, то тогда могут быть сложности. Но мне, видимо, придется все-таки рассматривать классическую топологию, прежде чем переходить к ее неклассическим вариантам. Тогда мы сможем предметней обсудить «за» и «против».

В двумерном случае связанном с двойными числами, метрика самая что ни на есть квадратичная, только псевдоевклидова и потому имеет совершенно иную топологию, чем на комплексной и соответствующей той евклидовой плоскости. Сложности возникают уже в этом квадратичном случае. Мне кажется мы потихоньку учимся с ними бороться. Я следом постараюсь Вам выслать вышедший пока только в электронном виде 12 номер нашего журнала "Гиперкомплексные числа в геометрии и физике" - обратите внимание на статью по алгебраическим фракталам на плоскости $H_2$. Любопытно будет Ваше мнение на счет того, какие алгебраические фракталы сложнее и интереснее, те что на комплексной плоскости или те, что на двойной?

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

Вообще, я бы сильно не обращал внимания на официальную науку, ибо они не помогают никому. Есть возможность публиковаться – надо публиковаться, есть возможность осуществить эксперимент – надо осуществлять. Есть возможность выступить на представительной научной конференции – надо выступать. Но не надо ни от кого ждать поддержки ни моральной, ни материальной.

Да, похоже, Вы правы. Пока ничего со стороны, кроме жалкого по сумме (900 тыс.р.) гранта РФФИ на два года исследований мы и не получали. Иногда за неделю уходит больше. :( А уж сколько никому не нужных отчетов требуется при этом написать.. Собственно, именно поэтому и пошли путем учреждения собственного журнала, семинара и конференции. Наверное, также придется поступить и с экспериментом. Правда, придется продать какие-то коммерческие активы. Жаль, что сейчас начало экономического кризиса, с минимальными издержками этого сделать не удастся.. У Вас, случайно, нет знакомых, кому нужна коммерческая недвижимость в ближнем Подмосковье? Отдади недорого. Уж больно сильно я загорелся идеей экспериментальной проверки факта существования реальных гиперболически потенциальных и гиперболически соленоидальных полей. :)

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

Насчет -арных операций. Ну скажите, а разве вопрос классификации трех или четырехмерных поли- и гиперчисел не более актуальная задача? Я имею в виду те, которые не сводятся к «прямой сумме полей», т.е. неполупростые алгебры. Каковы матрицы их независимых единиц? А что с дальнейшей классификацией?

На мой взгляд, сейчас это совсем не актуально. Классификация алгебр поличисел совершенно понятна и связана с уже упоминавшейся теоремой Вейерштрасса. А иные алгебры, как мне представляется, обладают существенно менее богатыми группами непрерывных нелинейных симметрий. Конечно, тут могут в будущем проявиться сюрпризы и некоторые некоммутативные и даже неассоциативные алгебры даже на уровне конформных преобразований будут обладать группами существенно более богатыми, чем это следует из теоремы Лиувиля, поскольку пространства, им соответствующие, оказываются уже не с квадратичной метрической функцией, а с финслеровой n-арной. В частности, такое происходит с комплексными кватернионами (их иногда еще именуют бикватернионами). Но даже здесь, как мне кажется, на много актуальнее задача классификации не самих таких некоммутативных алгебр, а классификация и полное описание содержащихся в них инвариантов и задаваемых ими нелинейных симметрий. Хотя бы для одной алгебры! Что толку иметь перед глазами выводок из нескольких десятков четырех- или восьми- мерных алгебр, если мы не знаем даже их собственных инвариантов и выделяемых ими преобразований? А именно такая фигня на сегодня имеется даже в таких простеньких алгебрах поличисел как прямые суммы : $R+R+R$ и $C+R$, для которых на сегодня известны группы только изометрических и конформных преобразований. А ведь именно симметрии - основа для построения законов сохранения, ведущих к физическим приложениям..

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

Не надо себя ограничивать четырехмерными поличислами. Это контрпродуктивно. Нужно стремиться к полной их классификации (с точностью до изоморфизма), а работать с теми, чьи свойства наиболее подходящие для данного класса задач.

Я себя и не ограничиваю четырехмерием, тем более, что пространство $H_4(C)$ в смысле вещественных координат не четырех, а восьмимерно. Более того, готов согласиться взять на вооружение любую другую размерность. В качестве критерия, какое пространство лучше, я выбираю требование, которое в неявном виде использовал еще Герман Вейль. Для физических приложений наиболее подходящим должна оказаться та алгебра и такое соответствующее ей пространство, которые обладают максимальным разнообразием самых различных содержащихся в них дискретных и непрерывных симметрий. Если таковыми окажутся 13 компонентная алгебра и 13-мерное соответствующее ей пространство, немедленно начну заниматься именно ими. :) Но в глубине души я надеюсь, что выше 4-х комплексных измерений уходить не придется. Чем выше размерность, тем больше становится свободы, а это губительно сказывается на разнообразии симметрий.. Короче, нужно искать при какой размерности имеется тут экстремум..

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

Собираюсь пока вывести комплексный (эллиптический) аналог из этой формулы, затем параболический и гиперболический. По первым двум формулы известны, будет с чем сравнить. Потом можно будет испытать на прочность кватернионы. Если повезет, то это будет круто :)

Мне бы хватило и одного результата для двойных чисел. Если в нем будут фигурировать только действительная и гиперболически мнимая единица, соглашусь, что это круто. :) Но, что-то мне подсказывает, что Вы этого не получите.. :(

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

Могу предположить, что у этих матричных единиц будет максимальное число возможных симметрий, например, относительно контрдиагонали матрицы.

Для физики на много большее значение, чем дискретные симметрии (а именно о них Вы сейчас, по сути, говорите, рассматривая симметрии относительно диагоналей матриц), имеют непрерывные симметрии. Причем важно не ограничиваться одними только группами движений и даже конформных преобразований (симметрий). Ведь в финслеровых пространствах с n-арностью три и выше базовыми метрическими инвариантами являются не только длины и углы, но и полиуглы. Но даже этого, боюсь, для полноценных физических моделей, основанных на примате симметрий, может оказаться мало. Есть еще n-арные обобщения симметрий не только на n-арные метрические формы, но и на n-арные алгебраические операции, не сводящиеся к бинарным и унарным. Но последнее я пока и не предлагаю изучать. Точно шею свернем.. :)

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

К жизни надо относиться философски :) . Лично меня приложения сейчас вообще мало волнуют. Просто интересен сам математический объект, который еще слабо изучен. А будут ли практические результаты? Несомненно! Но чтобы мне пытаться отвечать на этот вопрос конкретней, нужно разобраться с теорией. Пока я ищу то, чего достигли другие, потом придется пробелы заполнять самим. После можно будет поговорить и о практической пользе.

Согласен. Имеет смысл и такая мотивация. Но на то Вы и математик. А у меня прикладной стиль мышления и такие же мотивы. Мне ближе те математичекские, геометрические и физические модели, на основе которых, рано или поздно, можно будет строить инженерные конструкции. Ну, например, нового поколения космические аппараты. :) Не даром же я более 10 лет изучал ракетные двигатели. :)

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

Всему свое время. Однако по поводу последнего замечания, не уверен. В том же «Кватернионом анализе» Э. Садбери сказано, что:

«Если кватернионная функция регулярна и дважды дифференцируема, то она удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е. является гармонической функцией. Причем, регулярная функция с необходимостью является бесконечно дифференцируемой, так что все регулярные функции гармонические».

А метрика у кватернионов обычная квадратичная и размерность тела равна четырем. Не думаю, что некоммутативность лучше делителей нуля. Так что для полной ясности очень важны теоретические выкладки.

Вот именно, что квадратичная. А для всех квадратичных пространств с конечной размерностью выше двух справедлива теорема Лиувилля, согласно которой их группа конформных симметрий конечномерная и включает в себя движения, дилатации и инверсии относительно сфер. Все! А группа всех решений уравнений Лапласа для пространства соответствующего кватернионам - бесконечномерная. Именно это я и сказал выше. Эти две группы не совпадают. А у комплексных, двойных и других поличисел - аналоги этих двух групп совпадают. На мой взгляд, это очень важно для построения на основании геометрических (и алгебраических) принципов уже физических моделей. Это ни в коей мере не означает, что по другому нельзя. Именно по такому "ущербному" (естественно, с моей точки зрения) пути и строится почти вся современная физика. Но поэтому ей и не требуются поличисла, кроме действительных и комплексных. Еще немного используются двойные числ, но только фрагментарно (например, в квантовой теории поля или в теории суперструн). А мне бы хотелось, что бы и многомерные поличисла нашли в физике свое законное место, причем не фрагментами, как сечас двойные, а со всеми своими потрахами.

Scholium в сообщении #313549 писал(а):

ожет быть, но пока я не «попробую» формулы на «зуб», я ни в чем не могу быть уверен :) .

Это логично и правильно. Пробуйте на здоровье! :)

[Time]

Руст в сообщении #314335 писал(а):

Вы неправильно поняли мою логику. Если рассматривать натуральные числа (точнее целые) как абелеву группу, то все истинные предложения легко перечислимы и доказуемы (в этом смысле тривиальность). Если целые числа рассматривать как кольцо с двумя бинарными операциями, то имеются бесконечно много истинных, но не доказуемых предложений и в некотором смысле вся математика сводится к существованию решений соответствующих диофантовых уравнений (диофантовы уравнения не выражаются только через сложения).

Я Вашу логику понял так: раз тривиально устроены двойные числа и все $H_n$, то ловить с ними в нетривиальной геометрии, а тем более в содержательной физике - нечего. Что я тут не правильно понял?

Цитата:

Под тривиальностью этой теории я как раз понимаю то, что группы симметрии (аналог группы Лоренца) и группа конформных преобразований $H_n$ (без трансляций) просто устроенные абелевы группы, где все вопросы легко решаются.

Во-первых, Вы перепутали группу движений $H_n$ (без трансляций) с конформной группой этого же пространства. Первая (n-1)-мерная абелева группа, а вторая - бесконечномерная. Честно говоря, не знаю, применим ли к последней термин абелевости. Наверное, применим, но это не важно. Важно то, что аналог группы Лоренца в трехмерном псевдоевклидовом пространстве является трехпараметрической некоммутативной группой симметрий. А группа движений $H_3$ имеет всего двухпараметрическую абелеву группу вращений. В этом смысле, действительно, группа вращений трехмерного псевдоевклидова пространства устроена более сложно, чем группа вращений трехмерного финслерова пространства. Однако на уровне конформных групп ситуация меняется с точностью до наоборот. Группа конформных симметрий трехмерного псевдоевклида - шестипараметрическая, а группа конформных симметрий трехмерного пространства $H_3$ - бесконечномерна. И как бы просто она не представлялась в изотропном базисе, она гарантированно сложнее не только группы вращений трехмерного псевдоевклида, но и конформной группы последнего. Рассмотрите хотя бы известный Вам факт (доказанный Гарасько и о котором Вы говорили, что это очевидно), что некоммутативная группа вращений трехмерного псевдоевклида содержится в качестве подгруппы конформной группы трехмерного $H_3$. Именно так, а не наоборот! Это каким же образом "тривиальная" группа конформных преобразований $H_3$ может содержать как подгруппу нетривиальную группу некоммутативных вращений трехмерного псевдоевклида? Вы, наверное, не учитываете факт, что в финслеровом случае конформная группа симметрий БЕСКОНЕЧНОМЕРНА, а для таких групп многое иначе устроено, чем для конечномерных, как бы просто они в изотропном базисе не представлялись..

Руст в сообщении #314335 писал(а):

Должен признаться, что когда говорил о тривиальности теории когомологий h аналитических функций в проколотой окрестности (соответственно нет источников, сосредоточенных вихрей,..) я представлял обычную топологию поточечной сходимости. Сейчас думаю, что более естественная топология на связана с нормой (или эквивалентно метрикой БМ). Соответственно особенности h аналитических функций будут представлять не только точки а некоторые гиперповерхности. Интегрирование будет не по обычным сферам, а по не замкнутым гиперповерхностям - аналогом псевдосфер. При этом будут выполняться аналоги источников, вихрей.

И второй Ваш вариант топологии (или определения понятия сходимости последовательности) на плоскости двойной переменной на основании псевдонормы (модуля двойных чисел) не проходит также, как и первый с покомпонентной сходимостью. Этим вторым своим вариантом Вы добиватесь логичности фрактала Жюлиа лишь при единственном значении $c=0$, этого, как, надеюсь, сами понимаете - мало. Я же говорю, надо попробовать, что бы убедиться в этом. Однако, существует и третий вариант. Я не очень представляю как его математически грамотно формализовать, но именно этот третий вариант мы с Панчелюгой и применили при построении гиперболических аналогов фрактальных множеств Жюлиа на плоскости двойной переменной. При этом нетривиальными получаются фракталы при любых значениях константы $c$, причем очевидно, что они нисколько не проще устроены, чем их аналоги на комплексной плоскости, которые Вы и сами тривиальными не считаете. Напомните мне свой адрес, я Вам также пошлю номер последнего нашего журнала, где есть соответствующая статья. Кстати, при $c=0$, для такого подхода получается также именно гипербола (со всеми своими четырьмя ветвями) в качестве границы простейшего множества Жюлиа на двойной плоскости. В полном соответствии с тем, как в анлогичном случае на комплексной плоскости получается обычная окружность.

Руст в сообщении #314335 писал(а):

Попробую, но я и без этого представляю, что там может быть.
Псевдоевклидово пространство так же плоское, тем не менее даже в ортогональном базисе необходимо различать касательное пространство от кокасательного.

Различать эти два пространства, естественно, необходимо. Но выше же Вы писали не об этих двух пространствах, а именно о касательных пространствах к исходному многообразию. А против последнего утверждения у меня нет возражений. К тому же можно просто говорить о ковариантных и контравариантных компонентах вектора одного и того же пространства.

Руст в сообщении #314335 писал(а):

Я всегда имею в виду наиболее простой базис, когда умножение представляется как умножение диагональных матриц, а норма есть определитель, соответственно они не равны нулю. Они внутри одного светового конуса.

А откуда мне знать, что Вы именно такой базис всегда имеете ввиду? Тем более, что когда мы обсуждали "сечения" в пространствах $H_n$ постоянно фигурировал именно изотропный базис, да и Ваши утверждения о "тривиальности" $H_n$ всегда отталкиваются от представлений h-аналитических функций именно в нем.
Ну раз Вы базис уточнили, тогда я прошу Вас также ответить, каким именно качеством отличаются два НАПРАВЛЕНИЯ (то есть луча или единичных вектора) которые связаны с конкретно Вами указанной парой векторов: $a=(1,-1), b=(1,-2)$. Только не путайте пожалуйста величину векторов с их направлениями..

Руст в сообщении #314335 писал(а):

Ответил выше, что лучше менять топологию.

Похоже, что подспудно Вы считаете, что за двойными числами можно подставить чуть ли не ЛЮБУЮ топологию, а уж "что выростет, то и выростет".. Я исхожу из другой позиции. На двойной плоскости, так же как и на комплексной есть единственная ЕСТЕСТВЕННАЯ, для данной алгебры и соответствующей ей геометрии, топология. И именно эту естественную топологию нужно правильно выудить и формализовать. В частности, в математически строгом понятии сходимости последовательности двойных чисел. Именно об этом я с самого начала и говорил. И что бы при этом h-анализ над двойными числами практически ничем не отличался от анализа над комплексными.. Что бы не было заявлений от тривиальности одних и содержательности других. Эти две алгебры (и анализ над ними), равно как и две соответствующие им геометрии одинаково (с точностью до переходов от эллиптических свойств к гиперболическим и обратно) устроены. Эсли этого довольно простого факта не принять, боюсь, что дальше двигаться и что бы то нибыло обсуждать бессмысленно..

Руст в сообщении #314335 писал(а):

Я готовь подписаться над тем, что писал.

[/quote]

Понятно. Тогда выскажите здесь, пожалуйста, Ваше отношение по поводу взаимоотношения геометрий на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях. Какая из них тривиально устроена, а какая содержательно по отношению к первой?

[Руст]

Цитата:

Я Вашу логику понял так: раз тривиально устроены двойные числа и все $H_n$, то ловить с ними в нетривиальной геометрии, а тем более в содержательной физике - нечего. Что я тут не правильно понял?

Выразимость такой геометрии скорее недостаточно для реальной физики.

Цитата:

Во-первых, Вы перепутали группу движений $H_n$ (без трансляций) с конформной группой этого же пространства. Первая (n-1)-мерная абелева группа, а вторая - бесконечномерная.

Где вы видели, что я это не знаю. Об этом я сам несколько раз писал, что группа непрерывных симметрий $H_n$ есть группа диагональных матриц с определителем 1 а группа конформных преобразований (без трансляций) бесконечномерная как группа функций по сложению. Но она коммутативная, соответственно просто устроена, чем конечномерная некоммутативная группа Лоренца.

Цитата:

Честно говоря, не знаю, применим ли к последней термин абелевости. Наверное, применим, но это не важно.

Применим

Цитата:

Однако на уровне конформных групп ситуация меняется с точностью до наоборот.

Не наоборот. Как я говорил выше абелевы группы, даже бесконечномерные обычно устроены проще, чем не абелевы.

Цитата:

Группа конформных симметрий трехмерного псевдоевклида - шестипараметрическая, а группа конформных симметрий трехмерного пространства $H_3$ - бесконечномерна. И как бы просто она не представлялась в изотропном базисе, она гарантированно сложнее не только группы вращений трехмерного псевдоевклида, но и конформной группы последнего. Рассмотрите хотя бы известный Вам факт (доказанный Гарасько и о котором Вы говорили, что это очевидно), что некоммутативная группа вращений трехмерного псевдоевклида содержится в качестве подгруппы конформной группы трехмерного $H_3$. Именно так, а не наоборот!

На самом деле там речь идёт о конформной группе $H_n(C)$ (насколько я помню), группа которой богаче.

Цитата:

И второй Ваш вариант топологии (или определения понятия сходимости последовательности) на плоскости двойной переменной на основании псевдонормы (модуля двойных чисел) не проходит также, как и первый с покомпонентной сходимостью. Этим вторым своим вариантом Вы добиватесь логичности фрактала Жюлиа лишь при единственном значении $c=0$, этого, как, надеюсь, сами понимаете - мало. Я же говорю, надо попробовать, что бы убедиться в этом. Однако, существует и третий вариант. Я не очень представляю как его математически грамотно формализовать, но именно этот третий вариант мы с Панчелюгой и применили при построении гиперболических аналогов фрактальных множеств Жюлиа на плоскости двойной переменной. При этом нетривиальными получаются фракталы при любых значениях константы $c$, причем очевидно, что они нисколько не проще устроены, чем их аналоги на комплексной плоскости, которые Вы и сами тривиальными не считаете. Напомните мне свой адрес, я Вам также пошлю номер последнего нашего журнала, где есть соответствующая статья. Кстати, при $c=0$, для такого подхода получается также именно гипербола (со всеми своими четырьмя ветвями) в качестве границы простейшего множества Жюлиа на двойной плоскости. В полном соответствии с тем, как в анлогичном случае на комплексной плоскости получается обычная окружность.

[e-mail]
Третьей естественной топологии на $H_n$ я не представляю.

Цитата:

Различать эти два пространства, естественно, необходимо. Но выше же Вы писали не об этих двух пространствах, а именно о касательных пространствах к исходному многообразию. А против последнего утверждения у меня нет возражений. К тому же можно просто говорить о ковариантных и контравариантных компонентах вектора одного и того же пространства.

Касательное пространство состоит из ковариантных векторов. Ковариантность в названии взято из того, что функтор Ли сопоставляющий дифф. многообразию касательное расслоение ковариантен. Аналогично с кокасательным расслоением. Однако, при этом всли мы не ограничимся диффеоморфизмами, не удается получить функтор из-за того, что на базе ковариантен, а на слоях он контравариантен.

Цитата:

А откуда мне знать, что Вы именно такой базис всегда имеете ввиду? Тем более, что когда мы обсуждали "сечения" в пространствах $H_n$ постоянно фигурировал именно изотропный базис, да и Ваши утверждения о "тривиальности" $H_n$ всегда отталкиваются от представлений h-аналитических функций именно в нем.

Цитата:

Я боюсь использовать изотропный базис, для не изотропного пространства.

Цитата:

Ну раз Вы базис уточнили, тогда я прошу Вас также ответить, каким именно качеством отличаются два НАПРАВЛЕНИЯ (то есть луча или единичных вектора) которые связаны с конкретно Вами указанной парой векторов: $a=(1,-1), b=(1,-2)$.

У первого вектора инвариант след равен 0, у второго нет. След - реальная часть вектора не зависит от базиса.

Цитата:

Только не путайте пожалуйста величину векторов с их направлениями.

Где я путал?

Цитата:

Похоже, что подспудно Вы считаете, что за двойными числами можно подставить чуть ли не ЛЮБУЮ топологию, а уж "что выростет, то и выростет".

Я уже говорил, о третьей естественной топологии я не знаю. Согласен, что вторая более естественная.

Цитата:

Эти две алгебры (и анализ над ними), равно как и две соответствующие им геометрии одинаково (с точностью до переходов от эллиптических свойств к гиперболическим и обратно) устроены. Эсли этого довольно простого факта не принять, боюсь, что дальше двигаться и что бы то нибыло обсуждать бессмысленно.

Я принял вторую топологию, связанную с нормой (как и метрика). Здесь получается более содержательная геометрия.

Цитата:

Понятно. Тогда выскажите здесь, пожалуйста, Ваше отношение по поводу взаимоотношения геометрий на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях. Какая из них тривиально устроена, а какая содержательно по отношению к первой?

На плоскости примерно одинаковая сложность. В то же время уже группы движений $H_3$ проще группы псевдоевклидового или евклидового трехмерного пространства.

[Time]

Руст в сообщении #314439 писал(а):

Выразимость такой геометрии скорее недостаточно для реальной физики.

Приведите, пожалуйста, более серьезные аргументы, чем просто "тривиально", "слишком просто", "не выразительно" и т.п. Я же Вам привел пример, когда из на много более простых объектов (и тоже, кстати, коммутативных) под названием натуральные числа получается ой как много чего интересного.

Руст в сообщении #314439 писал(а):

Где вы видели, что я это не знаю. Об этом я сам несколько раз писал, что группа непрерывных симметрий $H_n$ есть группа диагональных матриц с определителем 1 а группа конформных преобразований (без трансляций) бесконечномерная как группа функций по сложению. Но она коммутативная, соответственно просто устроена, чем конечномерная некоммутативная группа Лоренца.

Ну вот. Вы снова выражаетесь крайне не строго. Это еще простительно мне. Я не математик.. Непрерывных симметрий в $H_n$ слишком много, что бы все они были представимы группой квадратных диагональных матриц. Вы, вероятно имеете ввиду группу движений, или изометрических преобразований данного пространства. Кроме того, объясните, пожалуйста, более подробно, как это из факта коммутативности бесконечномерной группы конформных преобразований следует, что она устроена более просто чем ее собственная некоммутативная конечномерная подгруппа? На всякий случай, подчеркну, что комплексификация для получения из конформной группы финслерова пространства группы Лоренца требовалась в $H_4$, а в $H_3$ для получения некоммутативной трехпараметрической группы вращений трехмерного псевдоевклида этого не требуется..

Руст в сообщении #314439 писал(а):

Не наоборот. Как я говорил выше абелевы группы, даже бесконечномерные обычно устроены проще, чем не абелевы.

Доказательство этого утверждения можете привести? Или дать ссылку на соответствующий (желательно русскоязычный) источник? На сколько я слышал, с бесконечными группами симметрий и близко не наблюдается того порядка, что достигнут в конечномерных группах. Кто именно доказал данное утверждение?

Руст в сообщении #314439 писал(а):

На самом деле там речь идёт о конформной группе $H_n(C)$ (насколько я помню), группа которой богаче.

Не правильно помните. Тогда на семинаре, равно как и в соответствующей статье, Гарасько говорил о получении группы Лоренца как подгруппы $H_4(C)$. То есть для фиксированной размерности равной четверке. Я специально в качестве примера взял трехмерное пространство, поскольку в нем некоммутативная группа вращений трехмерного псевдоевклидова пространства содержится без всякой комплексификации. Во всяком случае, именно так я понял из разговоров с Гарасько. Если хотите, можно у него уточнить..

Кроме того, любое по размерности пространство $H_n(C)$ также обладает КОММУТАТИВНОЙ группой конформных преобразований, а выше Вы только что писали, что такие группы, даже в случае своей бесконечномерности, чуть ли не априори должны быть устроены проще, чем конечномерные некоммутативные группы вращений. Или если группа комплексифицированная абелева, то уже допускаются исключения в простоте устройства?

На всякий случай, приведу еще раз Ваши собственные слова по данному поводу:

Руст в сообщении #314439 писал(а):

Не наоборот. Как я говорил выше абелевы группы, даже бесконечномерные обычно устроены проще, чем не абелевы.

Руст в сообщении #314439 писал(а):

[e-mail]
Третьей естественной топологии на я не представляю.

Статью вместе со всем журналом выслал по указанному адресу. Там нет четко сформулированного критерия сходимости для двойных чисел, но показывается, как должны строиться "правильные" гиперболические аналоги алгебраических фрактальных множеств Жюлиа на плоскости двойной переменной. По сути, это означает, что третье (естественное) определение понятия сходимости на двойных числах должно быть таким, что бы при его использовании получались именно показанные фракталы Жюлиа. Отсюда определится и топология.. Готов выслушать обоснованную критику или возражения..

Руст в сообщении #314439 писал(а):

Касательное пространство состоит из ковариантных векторов. Ковариантность в названии взято из того, что функтор Ли сопоставляющий дифф. многообразию касательное расслоение ковариантен. Аналогично с кокасательным расслоением. Однако, при этом всли мы не ограничимся диффеоморфизмами, не удается получить функтор из-за того, что на базе ковариантен, а на слоях он контравариантен.

Давайте проще.. Я читал мнение по данному поводу Германа Вейля, которого уважаю как выдающегося математика и у него нашел фразы, объясняющие происхождение ко- и контравариантных векторов и соответствующих компонент без таких загогулин. А если можно без них обойтись, значит, к этому и нужно стремиться.

Руст в сообщении #314439 писал(а):

Я боюсь использовать изотропный базис, для не изотропного пространства.

Пока Вы так и не доказали, что вектора внутри одного светового конса пространств $H_n(R)$ неравноправны по направлениям. Так что, не бойтесь использовать изотропный базис, тем более что это просто иное название базиса состоящего из векторов - делителей нуля. Последние Вы же не станете бояться использовать в неизотропных пространствах?

Руст в сообщении #314439 писал(а):

У первого вектора инвариант след равен 0, у второго нет. След - реальная часть вектора не зависит от базиса.

Для вывода об изотропии или анизотропии следует сравнивать НАПРАВЛЕНИЯ (лучи или единичные вектора), а не вектора, к тому же имеющие различный модуль (псевдонорму). Попробуйте сравнить таким же образом реальные части пары векторов ЕВКЛИДОВОЙ плоскости в ортонормированном базисе имеющих те же компоненты, что Ваши $a$ и $b$. Или на основании, что реальные части этих векторов различные Вы готовы сделаете вывод, что и евклидова плоскость неизотропна?

Руст в сообщении #314439 писал(а):

Где я путал?

Выше постарался объяснить.

Руст в сообщении #314439 писал(а):

Я уже говорил, о третьей естественной топологии я не знаю. Согласен, что вторая более естественная.

Посмотрите внимательно статью о фракталах в посланном Вам номере журнала и примите решение о том, правильно ли нами найден алгоритм построения фрактальных анлогов множеств Жюлиа на плоскости двойной переменной? Если серьезных возражений не будет, то третью естественную и самую правильную топологию (и определение понятия сходимости последовательности двойных чисел) нужно определять так, что бы на автомате получались именно такие, а не какие-то иные фракталы.. Эта третья и будет самой естественной.. А порождаемая ею геометрия - самой содержательной.

Руст в сообщении #314439 писал(а):

Я принял вторую топологию, связанную с нормой (как и метрика). Здесь получается более содержательная геометрия.

В таком случае есть надежда, что примете еще и третью топологию. Здесь как видно из наших предфракталов получается еще более содержательная геометрия. Причем это все на одних и тех же двойных числах, которые давеча Вы постоянно именовали тривиальными.
Тривиальными могут быть лишь наши знания о них, которые еще долго будут оставаться не полными. Но из этого совсем не следует, что тривиальны сами двойные числа, их алгебра и анализ над ними, а также связанное с ними двумерное пространство с его бесконечномерныой группой конформных преобразований.

Руст в сообщении #314439 писал(а):

На плоскости примерно одинаковая сложность. В то же время уже группы движений проще группы псевдоевклидового или евклидового трехмерного пространства.

То есть, Вы согласны, что двумерна евклидова геометрия (которой соответствуют комплексные числа) и двумерная псевдоевклидова геометрия (которой соответствуют двойные числа) - примерно одинаковы по сложности? Как же тогда получается быть с Вашим заявлением, что алгебра комплексных чисел на много интереснее, содержательнее и сложнее, чем алгебра двонйых чисел? Что такое есть в геометрии, чего нет в соответствующих им алгебрах? Перечислите, пожалуйста.

В трехмерном случае геометрия совсем даже не исчерпывается одними только группами движений (изометрических преобразований), есть еще конформные группы преобразований в обоих трехмерных пространствах. Дополните, пожалуйста, свой ответ о соотношении двух рассматриваемых геометрий именно для этой группы преобразований. В плане конформных свойств, какое из двух трехмерных пространств сложнее устроено Бервальд-Моора или псевдоевклидово? Ответ, пожалуйста, обоснуйте.

[Scholium]

Time писал(а):

Scholium писал(а):

К сожалению, я пока «не в теме» относительно «гиперболической соленоидальности реальных физических полей». Надеюсь, со временем «въехать» :)

На самом деле все просто, по крайней мере, для псевдоевклидовой плоскости. Такими свойствами обладают такие области двумерных векторных полей, в которых отсутствуют гиперболические источники и вихри. А последние можно ассоциировать как и на комплексной плоскости с элементарной функцией натурального логарифма. Источники связаны с вещественным множителем перед логарифмом, вихри - с гиперболически мнимым. Весь вопрос в том, есть ли реальные физические поля, обладающие такими или похожими свойствами при двумерном своем упрощении? Я полагаю, что да, такие поля есть.

Видимо так и есть. Но я бы искал аналогию в соответствующих классах УРЧП. Для комплексных чисел «роднее» эллиптические уравнения в частных производных, а для гиперболических чисел, стало быть, гиперболические УРЧП, для параболических - параболические. Для смешанных систем УРЧП не исключена возможность подобрать свой «родной» класс поличисел. Та же тенденция наблюдается и в геометрии. Комплексным числам соответствуют эллиптические преобразования, пространствам $\mathbb{R}^n$ и $\mathbb{H}_n$ - гиперболические, соответствующего класса и т.д. Конечно, это не строгие рассуждения, а просто идеи.

Time писал(а):

Возможно, Вы будете долго смеяться, но благодаря двойным и другим поличислам, гравитация снова может стать "старой и доброй". Во всяком случае, именно ее я подозреваю в тех свойствах, какими обладают векторные поля на $H_2$, то есть, гиперболической потенциальностью и соленоидальностью на подобии того, как эллиптической потенциальностью и соленоидальностью в двумерном упрощении обладает старое доброе электромагнитное поле. Сейчас заканчиваю статью для альманаха Ю.С.Владимирова с физфака МГУ. На мой взгляд, получается очень просто, красиво и с далекоидущими последствиями..
В принципе, даже эксперимент может не понадобится, на столько все естественно и логично, но для порядка, можно и провести.. Как минимум один вариант принципиальной схемы такого эксперимента, мне кажется, я вижу.

Может быть Вы и правы, но почему-то мне кажется, что только этих идей будет недостаточно. Хотя я могу и заблуждаться :) .

Time писал(а):

В том ключе, который требуется в связи с поличислами, у Логунова принципиально ничего не могло получиться. Даже плоское псевдориманово пространство с размерностью три и выше не имеет соответствия с коммутативно-ассоциативными алгебрами, но самое печальное, не имеет бесконечных групп непрерывных нелинейных симметрий. А поличисловые многомерные пространства - имеют..

Как для меня, то с многомерными поличислами нужно еще «разобраться». Особенно это касается неполупростых коммутативных алгебр. Меня почему-то они больше привлекают, чем «прямые суммы полей», которые интересны, только за счет подходящей топологии и следствий из соответствующих условий типа Коши-Римана.

Time писал(а):

В двумерном случае связанном с двойными числами, метрика самая что ни на есть квадратичная, только псевдоевклидова и потому имеет совершенно иную топологию, чем на комплексной и соответствующей той евклидовой плоскости. Сложности возникают уже в этом квадратичном случае. Мне кажется мы потихоньку учимся с ними бороться. Я следом постараюсь Вам выслать вышедший пока только в электронном виде 12 номер нашего журнала "Гиперкомплексные числа в геометрии и физике" - обратите внимание на статью по алгебраическим фракталам на плоскости $H_2$. Любопытно будет Ваше мнение на счет того, какие алгебраические фракталы сложнее и интереснее, те что на комплексной плоскости или те, что на двойной?

Введение метрики это достаточно волевой акт. В $\mathbb{H}_2$ или $\mathbb{R}^2$ уравнение вида $h \bar{h} = const$ определяет класс гипербол, только это не означает, что я не могу определить здесь обычную евклидову метрику («штаны Пифагора» :) ). Очень даже могу и она реально определяется в геометрии евклидовой плоскости $\mathbb{R}^2$, которая изоморфна $\mathbb{H}_2$ (с точностью до поворота). Так что метрика и свойства характеристических линий алгебраического пространства априори совершенно независимые вещи. Их взаимосвязь всего лишь постулируется (исходя из логических или физических соображений), но не более того. Естественно, разные топологии (для одного и того же пространства), разные проблемы.

Журнал я Ваш получил – большое спасибо! На досуге, обязательно посмотрю и выскажу свое мнение. Насчет сложности и интересности фракталов, пока ограничусь абстрактным ответом. Эти свойства присущи, по большому счету, топологии, введенной на базовом пространстве. А топология, формально может вводится произвольно, ее связь с «носителем» фактически постулируется хотя и прикрыта «здравым смыслом». Поэтому, если исходить только из «интересности», то топологию можно привлекать любую и та, которая даст, более содержательный результат, может быть отобрана на «кандидата» правдоподобной физической теории.

Time писал(а):

Да, похоже, Вы правы. Пока ничего со стороны, кроме жалкого по сумме (900 тыс.р.) гранта РФФИ на два года исследований мы и не получали. Иногда за неделю уходит больше. :( А уж сколько никому не нужных отчетов требуется при этом написать.. Собственно, именно поэтому и пошли путем учреждения собственного журнала, семинара и конференции. Наверное, также придется поступить и с экспериментом. Правда, придется продать какие-то коммерческие активы. Жаль, что сейчас начало экономического кризиса, с минимальными издержками этого сделать не удастся.. У Вас, случайно, нет знакомых, кому нужна коммерческая недвижимость в ближнем Подмосковье? Отдади недорого. Уж больно сильно я загорелся идеей экспериментальной проверки факта существования реальных гиперболически потенциальных и гиперболически соленоидальных полей. :)

К сожалению, я очень далек от бизнеса. Для меня это совершенно другой, отчасти чуждый мне мир. Соответственно, и знакомые у меня более «теоретики», чем «практики» :) .

А эксперименты вещь очень хорошая, только больно дорогая :) .

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Насчет -арных операций. Ну скажите, а разве вопрос классификации трех или четырехмерных поли- и гиперчисел не более актуальная задача? Я имею в виду те, которые не сводятся к «прямой сумме полей», т.е. неполупростые алгебры. Каковы матрицы их независимых единиц? А что с дальнейшей классификацией?

На мой взгляд, сейчас это совсем не актуально. Классификация алгебр поличисел совершенно понятна и связана с уже упоминавшейся теоремой Вейерштрасса. А иные алгебры, как мне представляется, обладают существенно менее богатыми группами непрерывных нелинейных симметрий. Конечно, тут могут в будущем проявиться сюрпризы и некоторые некоммутативные и даже неассоциативные алгебры даже на уровне конформных преобразований будут обладать группами существенно более богатыми, чем это следует из теоремы Лиувиля, поскольку пространства, им соответствующие, оказываются уже не с квадратичной метрической функцией, а с финслеровой n-арной. В частности, такое происходит с комплексными кватернионами (их иногда еще именуют бикватернионами). Но даже здесь, как мне кажется, на много актуальнее задача классификации не самих таких некоммутативных алгебр, а классификация и полное описание содержащихся в них инвариантов и задаваемых ими нелинейных симметрий. Хотя бы для одной алгебры! Что толку иметь перед глазами выводок из нескольких десятков четырех- или восьми- мерных алгебр, если мы не знаем даже их собственных инвариантов и выделяемых ими преобразований? А именно такая фигня на сегодня имеется даже в таких простеньких алгебрах поличисел как прямые суммы : $R+R+R$ и $C+R$, для которых на сегодня известны группы только изометрических и конформных преобразований. А ведь именно симметрии - основа для построения законов сохранения, ведущих к физическим приложениям..

«Классификация алгебр поличисел совершенно понятна» только для полупростых алгебр, для неполупростых алгебр, вопрос остается открытым для размерности три и выше. И теорема Вейерштрасса нам тут не помощница. А вообще-то я бы очень четко разграничивал «мухи и котлеты», т.е. алгебру и топологию. У Вас второе следует, в принципе, из первого, тогда как это вопрос больше «идеологии», чем железной логики. Думаю, что симметрии алгебр, напрямую зависят от симметрии в матричных единицах этих алгебр. Поэтому классифицировать неполупростые алгебры нужно на уровне классов эквивалентных матричных единиц. Все остальное будет уже следствием.

Никто не спорит, что вторым шагом должно быть изучение структур этих алгебр, лучше с единых позиций, еще до привлечения какой либо топологии. Слишком быстрое использование топологии только заранее усложняет картину. По крайней мере, я не хочу погружаться в топологию, пока не разберусь более-менее с неполупростыми коммутативными алгебрами третьего и четвертого порядка. Для начала хватит и этого. Потом в этих неполупростых и полупростых алгебрах можно начать экспериментировать с топологией.

Time писал(а):

Я себя и не ограничиваю четырехмерием, тем более, что пространство $H_4(C)$ в смысле вещественных координат не четырех, а восьмимерно. Более того, готов согласиться взять на вооружение любую другую размерность. В качестве критерия, какое пространство лучше, я выбираю требование, которое в неявном виде использовал еще Герман Вейль. Для физических приложений наиболее подходящим должна оказаться та алгебра и такое соответствующее ей пространство, которые обладают максимальным разнообразием самых различных содержащихся в них дискретных и непрерывных симметрий. Если таковыми окажутся 13 компонентная алгебра и 13-мерное соответствующее ей пространство, немедленно начну заниматься именно ими. :) Но в глубине души я надеюсь, что выше 4-х комплексных измерений уходить не придется. Чем выше размерность, тем больше становится свободы, а это губительно сказывается на разнообразии симметрий.. Короче, нужно искать при какой размерности имеется тут экстремум..

Я же думаю, что «каждая красавица хороша по своему» :) . Хорошее знание свойств коммутативных (и не только) алгебр позволит для каждого класса задач подбирать подходящую ей оптимальную алгебру. Вряд ли будет некоторая универсальная супералгебра, вроде алгебры Ли, уши которой торчат отовсюду :) . «Хороших алгебр должно быть много, как, впрочем, и топологий» :) .

Time писал(а):

Мне бы хватило и одного результата для двойных чисел. Если в нем будут фигурировать только действительная и гиперболически мнимая единица, соглашусь, что это круто. :) Но, что-то мне подсказывает, что Вы этого не получите.. :(

Да, я послал Вам некоторые подробности по этому поводу. Действительно, в пространстве $\mathbb{H}_2$ или $\mathbb{R}^2$ интеграл типа Коши равен нулю:

$\int \limits_{\Gamma} \frac{f(h)}{(h-h_0)^m}~dh = 0,~~~~\forall m \in \mathbb{N}$

В $\mathbb{C}$ константа $2 \pi i = \ln(-1)$, а в $\mathbb{H}_2$ или $\mathbb{R}^2$ аналогичная константа равна $\ln(+1) = 0$, т.е. плюс или минус единицы оказывается очень даже существенным. Поэтому единственный подходящий вариант, это использование матричного варианта интегральной формулы Коши. Я уже писал, что
согласно «Теории матриц» Ф.Р. Гантмахера, существует интегральная формула Коши для аналитических функций матриц:

$F(A)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} (\lambda E - A)^{-1} F(\lambda) d \lambda$,

где $F(\lambda)$ – произвольная аналитическая функция комплексной переменной, регулярная в области $G \cup \Gamma \subset \mathbb{C}$, ограниченной замкнутым контуром $\Gamma$ и содержащая внутри себя характеристические числа (не обязательно все) матрицы $A$; $E$ – единичная матрица. А любому поли- или гиперчислу можно поставить в соответствие некоторую матрицу. Тем самым, имеется общая интегральная формула Коши для произвольных числовых систем. Эта формула, согласно Гантмахеру, может быть принята, за определение аналитической функции матриц этих числовых систем. Я пытаюсь сейчас работать в этом направлении.

В общем, все далее сказанное упирается в простой факт. Нужны серьезные исследования, чтобы «закрыть» ту или иную дискуссию. Коммутативные алгебры и их топология тема безусловна очень интересная, так что удовольствие от творчества нам обеспеченно. Замечу, философски, что там «наверху» очень одобряют позитивное творчество здесь «внизу». Пожалуй, это самое главное :) .

[Scholium]

Scholium писал(а):

В $\mathbb{C}$ константа $2 \pi i = \ln(-1)$, а в $\mathbb{H}_2$ или $\mathbb{R}^2$ аналогичная константа равна $\ln(+1) = 0$, т.е. плюс или минус единицы оказывается очень даже существенным.

К сожалению, заметил свою опечатку. Должно быть:

В $\mathbb{C}$ константа $2 \pi i = 2 \ln(-1)$, а в $\mathbb{H}_2$ или $\mathbb{R}^2$ аналогичная константа равна $2 \ln(+1) = 0$, т.е. плюс или минус единицы оказывается очень даже существенным.

[Руст]

Scholium в сообщении #314592 писал(а):

Scholium писал(а):

В $\mathbb{C}$ константа $2 \pi i = \ln(-1)$, а в $\mathbb{H}_2$ или $\mathbb{R}^2$ аналогичная константа равна $\ln(+1) = 0$, т.е. плюс или минус единицы оказывается очень даже существенным.

К сожалению, заметил свою опечатку. Должно быть:

В $\mathbb{C}$ константа $2 \pi i = 2 \ln(-1)$, а в $\mathbb{H}_2$ или $\mathbb{R}^2$ аналогичная константа равна $2 \ln(+1) = 0$, т.е. плюс или минус единицы оказывается очень даже существенным.

Вы пользуетесь топологией прямого произведения (покомпонентной сходимости). Я уже говорил, что в этом случае когомологии Дарбу проколотых окрестностей равны нулю, т.е. нет источников, сосредоточенных вихрей и т.д. Правда при этом интегрирование по окружностям пересечет линии, где функция не определена.
Если будете пользоваться норменной топологией, которая в этом случае более естественная, то всё образуется. При этом интегрирование происходит по двум ветвям гиперболы (аналога окружности). Они не пересекают делителей знаменателя, где h аналитическая функция не определена. Соответственно все аналоги вычетов сохраняются.
Прочитал про фракталы. С математической точки зрения она не грамотная и не содержит никаких результатов. О топологии речи нет, но используется именно топология связанная с нормой, которая в этом случае более естественная.

[Time]

Руст в сообщении #314593 писал(а):

Прочитал про фракталы. С математической точки зрения она не грамотная и не содержит никаких результатов.

На счет несоотвествия канонам математических текстов - охотно соглашусь, а вот на счет отсутствия результатов, извините, нет. Такие утверждения нужно подкреплять ссылками на работы, в которых нечто подобное уже получалось. В статье приведены ссылки на попытки построения фрактальных множеств Жюлиа на плоскости двойной переменной, в результате которых получались гладкие границы квадратов и прямоугольников. Ни одной работы, в которых получалось бы что-то иное - нам не известно. Либо Вы знаете такие работы, тогда прошу привести ссылки на них, либо каким-то другим образом ДОКАЖИТЕ свое утверждение на счет отсутствия результатов.

Если Вы считаете, что результатов работа не содержит на основании того, что они элементарно получены (для Вас что не результат - все тривиально да очевидно), тогда хотя бы ответьте, почему молчали, когда присутствовали на семинарах, на которых вопрос о нетривиальных границах алгебраических фракталов Жюлиа на плоскости двойной переменной ставился как один из ключевых? Да и в переписке на данном форуме этот вопрос звучал не один раз.. Поэтому, пожалуйста, либо приведите ссылки, либо обоснуйте свое заявление.

Могу предложить еще один вариант решения данной коллизии в Вашу пользу. Если с гиперболическими аналогами множеств Жюлиа на плоскости двойной перемнной все практически встало на свои места, то вот с гиперболическим аналогом множества Мандельброта, ситуация для нас остается туманной. Пока ясно, что оно также не столь тривиально на двойной плоскости, как его представляют другие исследователи этой проблемы (в статье есть ссылки на соответствующие работы, в которых гиперболическое множество Мандельброта выглядит как квадрат с главной диагональю между точками (-2;0) и (0,25;0). Если для Вас на плоскости двойной переменной все на столько очевидно, что является тривиальным, приведите, пожалуйста, прямо здесь на форуме как именно выглядит гиперболический аналог множества Мандельброта, составляющее естественную пару с теми гиперболическими множествами Жюлиа, что построены в нашей последней статье и которые для Вас не является сколь ни будь неожиданным или новым результатом. Если приведете, обязуюсь публично признать напрасными нападки на Вас и принести самые искренние извинения. Боюсь только, не увидеть ничего конкретного, а когда и если мы сами решим эту проблему, снова услыхать: "Изложение математически безграмотное, а результаты отсутствуют"..

Точно также Вы отмалчиваетесь по поводу неединожды задававшегося вопроса по полной классификации всех нелинейных преобразований, оставляющих для такого простенького пространства как $H_3$, естественные обобщения углов на фигуру из трех векторов, которые мы договорились называть тринглами. Как кто-то другой решит эту поставленную проблему, уверен, с Вашей стороны снова прозвучит - это очевидно и тривиально. Опередите события.. Докажите, что так оно и есть.. Предъявите результат первым, даже если по Вашему мненению он элементарен.

[Scholium]

Руст писал(а):

Вы пользуетесь топологией прямого произведения (покомпонентной сходимости). Я уже говорил, что в этом случае когомологии Дарбу проколотых окрестностей равны нулю, т.е. нет источников, сосредоточенных вихрей и т.д. Правда при этом интегрирование по окружностям пересечет линии, где функция не определена.
Если будете пользоваться норменной топологией, которая в этом случае более естественная, то всё образуется. При этом интегрирование происходит по двум ветвям гиперболы (аналога окружности). Они не пересекают делителей знаменателя, где h аналитическая функция не определена. Соответственно все аналоги вычетов сохраняются.

Да, действительно, у меня топология прямого произведения. Но мы ведь и рассматриваем прямые произведения, в частности $\mathbb{H}_2 \simeq \mathbb{R}^2$. А если мы присвоим здесь иную топологию, то это будет уже ДРУГОЕ пространство. Тогда давайте так и говорить: «рассмотрим пространство $\mathbb{R}^2$ с норменной топологией. . .» При чем тут тогда $\mathbb{H}_2$? А пересечение контуром отдельных точек делителей нуля не принципиально, ибо интеграл определяется с точностью до множества меры нуль.

[Руст]

Цитата:

Да, действительно, у меня топология прямого произведения. Но мы ведь и рассматриваем прямые произведения, в частности $\mathbb{H}_2 \simeq \mathbb{R}^2$. А если мы присвоим здесь иную топологию, то это будет уже ДРУГОЕ пространство. Тогда давайте так и говорить: «рассмотрим пространство $\mathbb{R}^2$ с норменной топологией. . .» При чем тут тогда $\mathbb{H}_2$? А пересечение контуром отдельных точек делителей нуля не принципиально, ибо интеграл определяется с точностью до множества меры нуль.

Как векторные пространства без топологии они эквивалентны. Однако метрика на $H_n$ есть
$ds^n=dx_1dx_2...dx_n$, которая задает другую норму и топологию. Притом последняя не то что Хаусдорфова, которому все привыкли, она даже не удовлетворяет самому слабому условию отделимости.
Там, где функция не определена, интегралы можно определить как главное значение. Обычные окружности, пересекая эти линии неопределенности перпендикулярно дают нулевое главное значение. Ветви гиперболы пересекают особые линии в бесконечности параллельно и дают нетривиальные вычеты.