Многомерные расширения ТФКП

[Time]

Yarkin в сообщении #311562 писал(а):

Есть ли доказательство этого факта. Эти четыре корня фактически действительные числа. Утверждая их наличие, независимо от того где Вы их рассматриваете, получаете противоречие основной теореме алгебры.

Числа $j$ и $-j$ - не являются действительными. Это такие же мнимые единицы, как обычные $i$ и $-i$. То есть, j - не действительное, а двойное число, с компонентами (0,1). На множестве двойных чисел не действует основная теорема алгебры. Здесь в ее отношении дела обстоят примерно также, как и на множестве действительных чисел. Аналог основной теоремы алгебры, что работает на множестве комплексных чисел, можно сформулировать на множестве бикомплексных чисел, которые являются комплексификацией двойных чисел, только количество корней в этом случае существеено возрастает. В частности, квадратный корень из единицы имеет уже 16 корней.

[Scholium]

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Однако, достаточно много материала, посвященного двойным числам, я нашел у Б.А. Розенфельд. «Неевклидовы геометрии». 1955 год.

У меня более позднее издание 1966 и 1969 годов в двух томах. . .
. . .
В совсем свежем его издании 2003 года. . .

Несмотря на замечания, его труды достаточно интересны. Наверное, если бы Вы рассказали ему о проблемах, то он попытался бы их решить :) .

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Однако у меня к Вам будет просьба. Д.Д. Ивлев ссылается на работу:

М.С. Королева, «К алгебре двойных чисел. Ученые записки Орехово-Зуевского пединститута 7, вып. 2, 1957, стр. 113-136».

Хотелось бы ознакомиться с ней. Вы не могли бы найти эту публикацию? Она могла бы быть интересной и Вам.

Я попробую, но не уверен. Вероятно, найти ее можно только в "Ленинке", а туда редко кто из наших последнее время захаживает. В любом случае - спрошу..

Спасибо за попытку. Если нет, то будем переоткрывать результаты сами :) .

Time писал(а):

Полагаю, что сходимость - во многом ключевой вопрос. Немного позанимавшись им, выяснилось, что удобное определение сходимости ряда чисел на двойной плоскости запросто тянет переопределение сходимости в аналогичном случае на комплексной плоскости. Никогда не обращали внимания, что, определяя сходимость в последнем случае, народ рассматривает лишь сходимость по модулю расстояния между соседними точками и не принимает во внимание изменение аргумента? Что бы между сходимостями на плоскости двойных чисел и комплексной был естественный для них паритет, на последней также нужно отслеживать не только сходимость по модулю, но и по аргументу. То есть, условий сходимости на комплексной плоскости можно ввести, минимум, два (второе можно как ни будь иначе именовать, что бы не запутаться) и второй вариант оказывается родственным тому наиболее удобному и естественному, что имеет смысл вводить на двойной плоскости.

Ну, это не совсем так, и я об этом писал уже в Вашем соседнем топике. Сходимость в области всегда подразумевается по произвольному пути в этой области, которая при некоторых условиях совпадает с одинаковой сходимостью по нескольким произвольным направлениям, являющихся базисом, обычно координатным осям. Этот частный вид сходимости называется сходимостью по направлению. Т.е. сходимость по произвольному пути в области обычно сводиться к одинаковой сходимости по направлениям координатных осей.

Time писал(а):

Выше я упомянул, что Розенфельд придерживается использования именно аналитических (то есть бесконечно дифференцируемых) функций одной вещественной переменной, которые формируют h-аналитическую функцию двойной переменной.

В ТФКП есть три определения аналитической функции. В смысле дифференциальных условий Коши-Римана, интегрального условия Коши и условия Вейерштрасса (ряды Тейлора). Доказывается, что они все эквивалентны. Для действительной аналитической функции дается определение аналитичности в смысле Вейерштрасса, а из этого уже следует ее бесконечная дифференцируемость. Когда я раньше говорил о простой дифференцируемости, то имел в виду определение аналитичности в смысле Коши-Римана. А для действительных функций эти понятия не эквивалентны.

Time писал(а):

Литературы действительно по коммутативно-ассоциативным алгебрам достаточно много. Однако практически нет такой, в которой те рассматриваются в естественной связи с линейными финслеровыми пространствами (это, на мой взгляд, очень серьезный минус), а в последних бы использовалось естественное обобщение понятия скалярного произведения, являющегося фундаментом обычных квадратичных геометрий.

Это точно, что ж будет тогда чем заняться :) .

[Yarkin]

Time в сообщении #311586 писал(а):

Числа $j$ и $-j$ - не являются действительными. Это такие же мнимые единицы, как обычные $i$ и $-i$.

В таком случае $\sqrt 3 $ тоже двойное число.

[Time]

Правильнее будет сказать, что у такого корня есть как действительные, так и двойные значения. Не удивляет же Вас (надеюсь на это), что корень кубический из минус трех имеет не только действительные, но и комплексные значения..

-- Чт апр 22, 2010 08:34:16 --

Scholium в сообщении #311758 писал(а):

Несмотря на замечания, его труды достаточно интересны. Наверное, если бы Вы рассказали ему о проблемах, то он попытался бы их решить :) .

Я рассматривал такую возможность. Однако мне сообщили, что он давно живет заграницей (в Германии, кажется) но главное - возраст. Если б мешало только первое обстоятельство, его можно было б приодолеть, но как быть со вторым?
Пытался я связаться и с Кантором с Солодовниковым. Но один также живет за границей, а второй, работая в Московской финансовой академии, на мое письмо на его кафедру - не ответил. Может не получил письма, а может еще что..

Scholium в сообщении #311758 писал(а):

Ну, это не совсем так, и я об этом писал уже в Вашем соседнем топике. Сходимость в области всегда подразумевается по произвольному пути в этой области, которая при некоторых условиях совпадает с одинаковой сходимостью по нескольким произвольным направлениям, являющихся базисом, обычно координатным осям. Этот частный вид сходимости называется сходимостью по направлению. Т.е. сходимость по произвольному пути в области обычно сводиться к одинаковой сходимости по направлениям координатных осей.

Скажите, Вы будете считать одинаковыми процессы сходимости последовательностей точек на евклидовой плоскости, если одна из них постепенно сходится к некоторой предельной точке по некоторой гладкой кривой, а вторая сходится к той же предельной точке, но по мере приближения к той, последовательность как бы закручивается в спираль со все увеличивающей ся скоростью, как бы втягиваясь в воронку со все увеличивающейся скоростью вращения по мере приближения к ее центру? Я говорил именно о таком эффекте..

Scholium в сообщении #311758 писал(а):

В ТФКП есть три определения аналитической функции. В смысле дифференциальных условий Коши-Римана, интегрального условия Коши и условия Вейерштрасса (ряды Тейлора). Доказывается, что они все эквивалентны. Для действительной аналитической функции дается определение аналитичности в смысле Вейерштрасса, а из этого уже следует ее бесконечная дифференцируемость. Когда я раньше говорил о простой дифференцируемости, то имел в виду определение аналитичности в смысле Коши-Римана. А для действительных функций эти понятия не эквивалентны.

Ну, внимательно поразбираться со всем этим на плоскости двойной переменной - точно не повредит..

[Yarkin]

Time в сообщении #311960 писал(а):

Правильнее будет сказать, что у такого корня есть как действительные, так и двойные значения.

Допущение лишних корней не может быть расширением ТФКП. Это, скорее всего создание параллельной теории с нежелательными допущениями. Поэтому ее не принимают. Здесь работа только для энтузиастов.

Time в сообщении #311960 писал(а):

Вас (надеюсь на это), что корень кубический из минус трех имеет не только действительные, но и комплексные значения..

Это не противоречит Основной теореме алгебры.

[Time]

Yarkin в сообщении #312212 писал(а):

Допущение лишних корней не может быть расширением ТФКП. Это, скорее всего создание параллельной теории с нежелательными допущениями. Поэтому ее не принимают. Здесь работа только для энтузиастов.

Теория функций двойной переменной сама по себе и не является расширением ТФКП. Это действительно параллельная той теория. К тому же еще незаконченная, что бы ее кто-то принимал или не принимал. Работами в этом направлении, согласен, сегодня занимаются почти исключительно энтузиасты. Ну, так и над самой ТФКП по началу также только на энтузиазме работы держались.
Что касается многомерных расширений именно ТФКП, то их, вероятно, следует ожидать от объединения свойств комплексных и гиперболических (в частности двойной алгебры) чисел и функций над ними.

[Scholium]

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Несмотря на замечания, его труды достаточно интересны. Наверное, если бы Вы рассказали ему о проблемах, то он попытался бы их решить :) .

Я рассматривал такую возможность. Однако мне сообщили, что он давно живет заграницей (в Германии, кажется) но главное - возраст. Если б мешало только первое обстоятельство, его можно было б приодолеть, но как быть со вторым?
Пытался я связаться и с Кантором с Солодовниковым. Но один также живет за границей, а второй, работая в Московской финансовой академии, на мое письмо на его кафедру - не ответил. Может не получил письма, а может еще что..

Не везет Вам с корифеями :) .

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Ну, это не совсем так, и я об этом писал уже в Вашем соседнем топике. Сходимость в области всегда подразумевается по произвольному пути в этой области, которая при некоторых условиях совпадает с одинаковой сходимостью по нескольким произвольным направлениям, являющихся базисом, обычно координатным осям. Этот частный вид сходимости называется сходимостью по направлению. Т.е. сходимость по произвольному пути в области обычно сводиться к одинаковой сходимости по направлениям координатных осей.

Скажите, Вы будете считать одинаковыми процессы сходимости последовательностей точек на евклидовой плоскости, если одна из них постепенно сходится к некоторой предельной точке по некоторой гладкой кривой, а вторая сходится к той же предельной точке, но по мере приближения к той, последовательность как бы закручивается в спираль со все увеличивающей ся скоростью, как бы втягиваясь в воронку со все увеличивающейся скоростью вращения по мере приближения к ее центру? Я говорил именно о таком эффекте..

Поверьте, классики ТФКП и МатАна, люди не глупые и пределы в области они определяли не по фиксированным траекториям, а по ПРОИЗВОЛЬНЫМ. Это означает, что направление меняется независимо от расстояния до предельной точки, с какой угодно скоростью сходимости и с какой угодно зависимостью по направлению. Посмотрите доказательства в серьезных учебниках. По матанализу я могу порекомендовать ротапринтное издание МГУ, в четырех частях. Автор Камынин. Я сам по нему учился. Могу сказать, что если существует математическая библия, то это как раз она :) . Издание лекционное 80-х годов, хотя сейчас может быть существует и переиздание. Текста в нем почти нет, одни формулы :) . Зато образец математической строгости предельный. И все теоремы доказываются, как правило, в самой общей форме. Вряд ли найдете в мире подобное издание по компактности и общности материала. В ТФКП тем не менее похожая ситуация со сходимостью. Пожалуй, в этом направлении ловить нечего. Лучше исследовать алгебраическую структуру поличисел.

Time писал(а):

Ну, внимательно поразбираться со всем этим на плоскости двойной переменной - точно не повредит..

Мне кажется, что рассматривать поличисла лучше в комплексе. Любая алгебра поличисел эквивалентна некоторой матричной подалгебре. Вы с Гарасько начали развивать это направление, но у Вас возникли технические трудности, поэтому Вы переключились на смежные темы. Если воспользоваться достижениями теории матриц, то ситуация сильно упрощается.

Первое, вместо поличисел рассматриваем коммутативную подалгебру матриц порядка $n, \forall n \in \mathbb{N}$. Соответственно, вместо «мнимых» единиц будут определенные матрицы того же порядка. Для многих числовых систем эти матрицы известны. Понятно, что обычной единице соответствует единичная матрица. Все действия с поличислами сводятся, таким образом, к действиям с простыми симметричными, по разным направлениям, матрицами ортогональных единичных (матричных) элементов.

Второе, рассматриваем классификацию этих матричных алгебр. Для $n=1; 2$ эта классификация известна и сводится к одной и трем алгебрам: $\mathbb{R}, n=1$ и $\mathbb{C}, \mathbb{P}_2, \mathbb{H}_2\simeq\mathbb{R}^2$ при $n=2$. Кстати, матрица гиперболических преобразований в $\mathbb{H}_2$ возникает, когда показателем экспоненты становиться матрица гиперболической единицы $j=\left ( \begin{array}{l} 0,1 \\ 1,0 \end{array} \right )$ умноженная на некоторое действительное число. Соответственно, получаются эллиптические преобразования (матрицы) и параболические для остальных «мнимых» единичных матриц плоскости.

Третье, строим совершенно формально аналитические функции от матриц. Это уже стандартная теория матриц (Ф.Р. Гантмахер, «Теория матриц». 1988). А для них уже существует (!) интегральная формула Коши для аналитических функций матриц:

$F(A)=\frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{\Gamma} (\lambda E - A)^{-1} f(\lambda) d \lambda \text{, (*)}$

где $F(\lambda)$ - произвольная аналитическая функция комплексной переменной, регулярная в области $G \cup \Gamma \subset \mathbb{C}$, ограниченной замкнутым контуром $\Gamma$ и содержащая внутри себя характеристические числа (не обязательно все) матрицы $A$. А любому поличислу можно поставить в соответствие некоторую матрицу. Тем самым, получена общая интегральная формула Коши для поличисел. Формула (*) может быть принята, за определение аналитической функции матриц (поличисел) (см. Гантмахер, стр. 110-111).

Таким образом, известна интегральная формула Коши для параболических чисел, для кватернионов и, теперь вот, для произвольных поличисел (матричной алгебры). Остается разобраться с классификацией, представлением единичных матриц для больших размерностей, ну и т.д. и т.п.

[Time]

Scholium в сообщении #312284 писал(а):

Не везет Вам с корифеями :) .

Есть такое дело. :) Однако не со всеми облом получался. Встречался, например, с Громовым, Кауфманом, Пенроузом, Гиббонсом.. Некоторые наши академики соглашались поговорить..

Scholium в сообщении #312284 писал(а):

Поверьте, классики ТФКП и МатАна, люди не глупые и пределы в области они определяли не по фиксированным траекториям, а по ПРОИЗВОЛЬНЫМ. Это означает, что направление меняется независимо от расстояния до предельной точки, с какой угодно скоростью сходимости и с какой угодно зависимостью по направлению. Посмотрите доказательства в серьезных учебниках.

Нисколько не сомневаюсь в серьезности имеющихся математических представлений. Однако, если бы исключительно из таких соображений исходил, то даже начинать заниматься поличислами не было ровно никакого резона. Совсем даже неглупые люди сделали когда-то выводы и продолжают их придерживаться до сих пор, что "ловить" и тут нечего, примерно также как и в ТФКП.
Доказательство (начинающееся с определения сходящегося ряда) я более менее помню. Опровергать его я даже и не собираюсь. Уверен, что здесь все строго и последовательно. Я говорю Вам лишь о принципиальной возможности (причем не утверждаю однозначно, что она реализуется, а если и реализуется, то приведет к значимым следствиям) взять за основу ИНОЕ определение сходящихся последовательностей. Зазор, куда можно попытаться вклиниться с дополнительным определением (причем оно не должно отменять старого), на мой взгляд, заключается в том, что классическое определение основано на дискретных представлениях о последовательности чисел на комплексной плоскости. Мне же кажется возможным, на равне с этим, рассмотереть и непрерывный вариант. Когда дискретная последовательность точек на плоскости заменяется их непрерывной траекторией. В этом случае возможны варианты, когда рассматриваются не только расстояния по кратчайшей прямой между парами последовательных дискретных точек, а длины вдоль рассматриваемых криволинейных траекторий. На вскидку видятся возможными несколько вариантов, в том числе тот, что выше я приводил - с бесконечно раскручивающейся, не смотря на сужение своего "радиуса", спиралью. Грубо говоря, точке внутри траектории такой спирали приходится на много больше пробегать по кругу, чем приближаться к центру сходимости. И это, не смотря на постепенное ее приближение туда. Такой случай также можно считать сходящимся по радиальной координате, но не сходящимся по угловой. То есть, что то вроде условной сходимости по одному из двух базовых параметров.. А могут быть сходимости и по обоим параметрам..
Возможно, Вы правы, и данное предложение не привнесет в теорию функций комплексной переменной и даже в приложения понятия сходимости, ничего существенно интересного и нового, но мне важно помнить о наличии такой возможности для того, что бы не пройти мимо особенностей определения сходимости на плоскости уже двойной переменной, в которой той прозрачности, что достигнута в ТФКП, пока нет.

Scholium в сообщении #312284 писал(а):

Мне кажется, что рассматривать поличисла лучше в комплексе. Любая алгебра поличисел эквивалентна некоторой матричной подалгебре. Вы с Гарасько начали развивать это направление, но у Вас возникли технические трудности, поэтому Вы переключились на смежные темы. Если воспользоваться достижениями теории матриц, то ситуация сильно упрощается.

Я не помню, что бы возникли какие-то трудности. Причины оставления этого пути - другие, но это вообще-то не суть важно.
Хочу специально для Вас подчеркнуть, что связь поличисел с КВАДРАТНЫМИ матрицами лишь одна из возможностей, причем не самая важная и интересная. Гораздо более перспективны, на мой взгляд, представления поличисел в виде ПРОСТРАНСТВЕННЫХ матриц вида nxnx...xn ( и так n раз) кубиков. Причем эта возможность не отменяет и представлений в виде квадратных матриц. Однако в пространственных вариантах возникает такая бездна потенциальных ходов и возможностей, что вот тут-то мы (во всяком случае я), действительно, пока предпочли не влезать.. Но кто-то, несомненно, должен будет этот путь пройти до конца..

Квадратные матрицы, которые Вы, похоже, и имеете ввиду, не спорю, дело полезное при изучение поличисел, их алгебр, функций и свойств. Однако я не случайно все время старался подчеркивать, что поличисла несколько большее из себя представляют, чем кажется на первый взгляд. В частности, на них возможно "доопределение" помимо обычных бинарных операций сложения и умножения специального вида n-араных операций, причем нисколько не отменяя бинарных операций и их следствий. Именно тут возникнут уже пространственные матрицы, которые в отличие от квадратных очень мало исследованы. Мне известна одна могография, дающая определенное представление об этом аспекте. Ее автор Соколов, она так и называется "Пространственные матрицы". Жаль только, что автор пошел по самому общему пути, и не выделил случаи связи с поличислами в отдельный раздел (он вообще не вспоминает о поличислах), мне кажется, что тогда, по крайней мере в этом разделе, был бы шанс навести максимальный порядок и прозрачность. Впрочем, может быть я тут и ошибаюсь..

Scholium в сообщении #312284 писал(а):

Третье, строим совершенно формально аналитические функции от матриц. Это уже стандартная теория матриц (Ф.Р. Гантмахер, «Теория матриц». 1988). А для них уже существует (!) интегральная формула Коши для аналитических функций матриц:

Вполне допускаю, что Вы правы. Однако допускаю и другой вариант, что декларируемость доказательства в общем виде - кажущаяся или, как минимум, не полная. У меня практический склад ума и ничего с этим поделать не могу. Вот и в случае с приводимой Вами интегральной формулы Коши, который, вроде бы, годится для всех случаев поличисел.. С готовностью соглашусь, что так оно и есть, если увижу работоспособность данного метода хотя бы для пары конкретных проcтых примеров, причем изложенных не на языке матриц, а на привычном для меня языке поличисел и их аналитических (h-аналитических) функций. Огромная просьба привести "перевод" применимости представленной Вами формулы Коши для двойных чисел $H_2$ и их h-аналитических функций, а также для бикомплексных, являющихся прямой суммай $C+C$. Особенно интересно, как нечто непротиворечивое получится в первом случае. Однако если ничего не получится для $H_2$, интересен и второй вариант, так как именно для него нам с Гарасько удалось получить аналог интегральной формулы Коши для комплексной плоскости, но включающий помимо эллиптически мнимой единицы $i$ еще и гиперболическую $j$. Если у Вас получится то же самое, значит, мы просто переоткрыли уже известный математикам факт (что также не плохо). Если, получится нечто иное, будет повод разобраться, чей вариант оказался неработоспособным, неполным или даже ложным. Вполне допускаю, что наш.
Попробуете?

[Scholium]

Time писал(а):

Есть такое дело. :) Однако не со всеми облом получался. Встречался, например, с Громовым, Кауфманом, Пенроузом, Гиббонсом.. Некоторые наши академики соглашались поговорить..

Интересно их мнение по поводу поличисел :) .

Time писал(а):

Нисколько не сомневаюсь в серьезности имеющихся математических представлений. Однако, если бы исключительно из таких соображений исходил, то даже начинать заниматься поличислами не было ровно никакого резона. Совсем даже неглупые люди сделали когда-то выводы и продолжают их придерживаться до сих пор, что "ловить" и тут нечего, примерно также как и в ТФКП.

Насчет поличисел трудно с ними согласится. Числа Паули, Калуцы, Дирака, Клиффорда-Липшица и др. широко используются в физике и математике. А это все поличисла. Правда, среди них нет коммутативных, зато присутствуют делители нуля. Для этих чисел построена теория, аналогичная ТФКП (В.В. Сильвестров, «Системы чисел»). Ну а раз делители нуля неустранимы (кроме тел), то почему бы не изучать коммутативные алгебры поличисел, с единых позиций? А среди них присутствуют не только прямые суммы полей, но и не изоморфные им системы. Например, таковыми, для систем второго порядка являются параболические числа. Логично, что они должны быть и среди коммутативных алгебр более высокого порядка. Вот почему нужна их классификация. Так что по любому, резон заниматься поличислами есть. Я могу предположить только одну причину «недолюбливания» алгебр поличисел, это наличие в них делителей нуля. Однако, как мы видим, это не является принципиальным препятствием для содержательных приложений. Другое дело, что поличисла естественным образом связанны с группами преобразований, что является серьезной причиной использовать их в геометрии, а значит и в физике, поскольку современная физика исходит из геометрической парадигмы миростройства (СТО, ОТО, теория бран, суперструн и т.д.).

Другое дело, вопросы сходимости. Я просто знаю, насколько математики въедливы относительно тончайших нюансов своих классических теорий и абсолютно уверен, что уж если они всерьез взялись за что-либо, то это будет сделано на века. Если бы им была интересна теория поличисел, также как основания матана и ТФКП, то и там было бы все идеально строго. Думаю, что Вы делаете очень правильно, пропагандируя поличисла. Рано или поздно, серьезные математики обратят на них внимание.

Вот почему я не вижу смысла в пересмотре оснований анализа или ТФКП, а именно концепции предельного перехода и сходимости. Просто там все уже сделано добросовестно и профессионально. Чего не скажешь относительно поличисел, так как они до сих пор игнорировались общественным мнением. Тем и интересней, что есть такая серьезная ниша для исследований, по сути, непаханая целина :) . Но если сильно хочется, можно ввести собственное понятие сходимости и производной, например, как у Гато и Фреше.

Time писал(а):

Зазор, куда можно попытаться вклиниться с дополнительным определением (причем оно не должно отменять старого), на мой взгляд, заключается в том, что классическое определение основано на дискретных представлениях о последовательности чисел на комплексной плоскости. Мне же кажется возможным, на равне с этим, рассмотереть и непрерывный вариант. Когда дискретная последовательность точек на плоскости заменяется их непрерывной траекторией. В этом случае возможны варианты, когда рассматриваются не только расстояния по кратчайшей прямой между парами последовательных дискретных точек, а длины вдоль рассматриваемых криволинейных траекторий. На вскидку видятся возможными несколько вариантов, в том числе тот, что выше я приводил - с бесконечно раскручивающейся, не смотря на сужение своего "радиуса", спиралью. Грубо говоря, точке внутри траектории такой спирали приходится на много больше пробегать по кругу, чем приближаться к центру сходимости. И это, не смотря на постепенное ее приближение туда. Такой случай также можно считать сходящимся по радиальной координате, но не сходящимся по угловой. То есть, что то вроде условной сходимости по одному из двух базовых параметров.. А могут быть сходимости и по обоим параметрам..

Когда я говорил о произвольном пути, то и имел в виду некоторую измеримую траекторию, как функцию непрерывного параметра (типа времени) из множества ВСЕХ подобных траекторий, таких что, в пределе, расстояние между двумя точками стремиться к нулю. Дискретную последовательность точек берут только для упрощения доказательств. Таким образом, фактически при изучении сходимости к точке области исследуются ВСЕ точки этой области, по ВСЕМ возможным измеримым траекториям. Так что Ваши идеи УЖЕ просто-напросто учтены, причем в максимально возможной форме, явно превышающие Ваши потребности. Вот почему, я советовал обратить внимание на доказательства, предназначенные не для студентов технических и физических ВУЗов (максимально адаптированные для них), а на доказательства для студентов-математиков МГУ, особенно, в лекциях «Курс математического анализа, в 4-х частях», такого математического гения как Леонид Иванович Камынин, которые изданы ротапринтным изданием в МГУ в 1979-1982 годах, тиражом всего 500 экземпляров. Вот я сейчас открыл собственный экземпляр этих книг, чтобы вспомнить их реквизиты, и в одной из них прочел слова, написанные рукой какого-то студента, против фамилии автора – «умница, золотая голова» :) . Был еще один замечательный преподаватель семинаров по матанализу, во время моего обучения в МГУ, сопоставимый по уровню с Л.И. Камыниным, это Александр Иванович Штерн. Не знаю правда, как у них с официальными научными публикациями.

Насколько я понимаю, «угловая сходимость» у Вас не определена, а по сему трудно понять, что имеется в виду под «сходящимся по радиальной координате, но не сходящимся по угловой». Обычно, стремятся к тому, чтобы сходимость к точке области не зависела от радиальной составляющей траектории сходимости, т.е. была нечувствительная к ней. Хотя наверное можно привести пример, вроде круговой окрестности с вырезанным сектором, когда сходимость в оставшемся круге существует, а сходимость в вырезанном секторе нет. Т.е. мы получим пример разрывной по линии сектора функции. Но тогда эта функция не будет иметь сходимости к точке (центру круга) в классическом понимании этого термина, хотя она имеет частичные сходимости по некоторым подмножествам окрестности данной точки. Иначе говоря, точка не имеет открытой окрестности, в которой она непрерывна, т.е. данная функция будет разрывна на некоторой линии, принадлежащей этой окрестности и проходящей, через заданную точку. Но это будут уже совершенно другие функции.

Time писал(а):

Возможно, Вы правы, и данное предложение не привнесет в теорию функций комплексной переменной и даже в приложения понятия сходимости, ничего существенно интересного и нового, но мне важно помнить о наличии такой возможности для того, что бы не пройти мимо особенностей определения сходимости на плоскости уже двойной переменной, в которой той прозрачности, что достигнута в ТФКП, пока нет.

Сходимость в окрестности означает непрерывность в этой окрестности. На вещественной прямой есть функции, которые имеют предел справа и слева в данной точки, но эти пределы не равны. Такая функция имеет разрыв первого рода в данной точке. Аналогичная ситуация может быть и для произвольной размерности пространства. Но тогда эти функции не имеют сходимости в окрестности некоторой точки, т.е. она может иметь (конечные) пределы по направлениям и быть разрывной в тоже время. Так что если интересно, читайте классиков матана и ТФКП, ибо эти темы там очень хорошо разобраны.

Time писал(а):

Хочу специально для Вас подчеркнуть, что связь поличисел с КВАДРАТНЫМИ матрицами лишь одна из возможностей, причем не самая важная и интересная. Гораздо более перспективны, на мой взгляд, представления поличисел в виде ПРОСТРАНСТВЕННЫХ матриц вида nxnx...xn ( и так n раз) кубиков. Причем эта возможность не отменяет и представлений в виде квадратных матриц. Однако в пространственных вариантах возникает такая бездна потенциальных ходов и возможностей, что вот тут-то мы (во всяком случае я), действительно, пока предпочли не влезать.. Но кто-то, несомненно, должен будет этот путь пройти до конца..

Дело в том, что это не просто связь, которая «не самая важная и интересная». Существует теорема Кэли (Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. «Конечномерные алгебры»), одна из формулировок которой гласит:

«Всякая конечномерная алгебра изоморфна подалгебре алгебры матриц».

(«Конечномерность нужна для того, чтобы регулярное представление было конечномерно».)

А поскольку (коммутативные) поличисла являются (коммутативной) конечномерной алгеброй, то, следовательно, они ИЗОМОРФНЫ подалгебре алгебры матриц. А это уже связь серьезная, от нее не отмахнешься, поскольку все, что нам интересно, интересно с точностью до изоморфизма.
Относительно «пространственных» матриц. Они ведь тоже эквивалентны «плоским» матрицам, хотя бы в силу своей дискретности. Кстати, сами матрицы эквивалентны векторам, т.е. «линейным» матрицам. Их представление в «плоском» виде это всего лишь вопрос удобства, не более. То же для «пространственных» матриц. Если для некоторых достаточно больших $n$ удобно «пространственное представление» множества чисел, вопросов нет – пользуемся на здоровье. Если нет, то используем «плоские» представления группы чисел. Только представления эти изоморфны, в силу стандартной теоремы матанализа:

«Бесконечно счетное объединение бесконечно счетных элементов множеств – бесконечно счетно.»

Другими словами, целочисленная решетка счетномерного пространства взаимно однозначно отображается на множество натуральных чисел.

Так что вопрос, как представлять дискретные сущности: «линейно», «плоско» или «пространственно» – это только вопрос удобства их использования, не более. И до тех пор, пока пространственные матрицы не станут более удобны для использования, хотя бы в некоторых задачах, – быть им на вторых ролях.

Time писал(а):

Квадратные матрицы, которые Вы, похоже, и имеете ввиду, не спорю, дело полезное при изучение поличисел, их алгебр, функций и свойств. Однако я не случайно все время старался подчеркивать, что поличисла несколько большее из себя представляют, чем кажется на первый взгляд. В частности, на них возможно "доопределение" помимо обычных бинарных операций сложения и умножения специального вида n-араных операций, причем нисколько не отменяя бинарных операций и их следствий. Именно тут возникнут уже пространственные матрицы, которые в отличие от квадратных очень мало исследованы. Мне известна одна могография, дающая определенное представление об этом аспекте. Ее автор Соколов, она так и называется "Пространственные матрицы". Жаль только, что автор пошел по самому общему пути, и не выделил случаи связи с поличислами в отдельный раздел (он вообще не вспоминает о поличислах), мне кажется, что тогда, по крайней мере в этом разделе, был бы шанс навести максимальный порядок и прозрачность. Впрочем, может быть я тут и ошибаюсь..

Если Вы думаете, что подалгебра матриц это слишком мелко для поличисел, то очень даже заблуждаетесь. Алгебра матриц это исследования на столетия, настолько она богата и содержательна. Так что она это большое удобство для исследователя и его превосходный инструмент, не воспользоваться которым грех. Например, совершенно элементарно проверяется коммутативность двух «мнимых» единиц. Достаточно просто перемножить соответствующие им матрицы и посмотреть на результат. И тогда уже не будет вопросов типа, а какова природа «мнимой» единицы $j$, как у гиперболических чисел или как у кватернионов? Достаточно глянуть, на ее матричное представление и все сразу станет ясно. Поэтому, говорить о поличислах и не показывать матричные представления их независимых единиц, значить «наводить тень на плетень», т.е. намерено оставлять обсуждаемый вопрос недостаточно определенным. Если Вам удобно матричные единицы оформлять в виде кубических матриц, то против этого никто возражать не станет, если только это будет оправдано. А книгу «Пространственные матрицы» я уже скачал из Интернета, но пока для текущих целей она мне не показалась интересной.

А что касается $n$-арных операций отношения элементов множеств, то о них вскользь упоминается в учебных курсах, что уже унарные и бинарные отношения достаточно продуктивны и явной потребности в больших размерностях отношений пока не наблюдается, что впрочем, не мешает желающим их исследовать :) .

Лично я исхожу из убеждения, что природа максимальна в своей простоте или минимальна в своей сложности. Поэтому без явной необходимости не вижу смысла усложнять изучаемые связи, особенно если они допускают простую интерпретацию.

Time писал(а):

Вполне допускаю, что Вы правы. Однако допускаю и другой вариант, что декларируемость доказательства в общем виде - кажущаяся или, как минимум, не полная. У меня практический склад ума и ничего с этим поделать не могу. Вот и в случае с приводимой Вами интегральной формулы Коши, который, вроде бы, годится для всех случаев поличисел.. С готовностью соглашусь, что так оно и есть, если увижу работоспособность данного метода хотя бы для пары конкретных проcтых примеров, причем изложенных не на языке матриц, а на привычном для меня языке поличисел и их аналитических (h-аналитических) функций. Огромная просьба привести "перевод" применимости представленной Вами формулы Коши для двойных чисел $H_2$ и их h-аналитических функций, а также для бикомплексных, являющихся прямой суммай $C+C$. Особенно интересно, как нечто непротиворечивое получится в первом случае. Однако если ничего не получится для $H_2$, интересен и второй вариант, так как именно для него нам с Гарасько удалось получить аналог интегральной формулы Коши для комплексной плоскости, но включающий помимо эллиптически мнимой единицы $i$ еще и гиперболическую $j$. Если у Вас получится то же самое, значит, мы просто переоткрыли уже известный математикам факт (что также не плохо). Если, получится нечто иное, будет повод разобраться, чей вариант оказался неработоспособным, неполным или даже ложным. Вполне допускаю, что наш.
Попробуете?

Ну почему кажущаяся? Посмотрите доказательство у Гантмахера. Чем оно Вам не нравится? Насчет практических приложений, вполне согласен с Вами. Я тоже не люблю, когда в сложнейших алгебраических и топологических книгах ограничиваются примитивнейшими примерами.

Результат Гантмахера (хотя я его нашел и в «Теории матриц» П. Ланкастера) относительно интегральной функции Коши для аналитических функций матриц – очень сильный. Теоретически, из него должны следовать аналогичные функции для комплексных чисел, кватернионов, пространств $\mathbb{C}, \mathbb{C}^2, \mathbb{C}^n$ и $\mathbb{R}^n$ и естественно для пространств $\mathbb{P}_2, \mathbb{H}_2$ – дуальных и двойных (параболических и гиперболических) чисел (над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$). Думаю, это будет хороший предмет исследования для соответствующей статьи :) . Я не против написать совместную с Вами и Гарасько статью, но мне нужно некоторое время, чтобы «переварить» результаты и представить их должным образом. Как только я буду готов, я вышлю Вам примерный образец такой совместной статьи. Затем мы можем обсудить все спорные вопросы, чтобы прийти к единой точке зрения.

Что касается пространства $\mathbb{C}^2 = \mathbb{C} \otimes \mathbb{C} = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$. В упоминавшейся уже книге: Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. «Конечномерные алгебры» Киев. 1980. (стр. 11), есть такая теорема (с небольшой переформулировкой) :

«С точностью до изоморфизма, над (алгебраически замкнутым) полем $\mathbb{C}$ есть две двумерные алгебры: $\mathbb{C}^2$ и жорданова алгебра $J_2(\mathbb{C}) \simeq \mathbb{P}_2(\mathbb{C})$ - параболических чисел над полем $\mathbb{C}$».

Кстати, эта алгебра $J_2(\mathbb{C}) \simeq \mathbb{P}_2(\mathbb{C})$ будет некоммутативной, в чем легко убедится, перемножим матрицы параболической и мнимой единицы.

Так что я попробую поработать с интегральной формулой Коши-Гантмахера-Ланкастера (или как там ее назвать? :) ) в применении к поличислам. О чем, естественно сообщу.

[Time]

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Интересно их мнение по поводу поличисел :) .

Громов почти сразу сказал, что ничего интересного ни для физики, ни для математики не ожидает. Сказал также, что списка Картана перечисляющего группы симметрий причем в связи именно с квадратичными геометриями - хватит на все случаи жизни. Поэтому заниматься скалярными полипроизведениями и неквадратичными метрическими формами связанными с поличислами - считает лишней роскошью. Немного заинтересовался оказавшимся неожиданным для него фактом, что поличисла Н_4 имеют бесконечномерную группу конформных преобразований, но убедившись в течении 10-секундной мысленной проверки данного обстоятелства, что так оно и есть и, вероятно, поняв как просто данная группа устроена, тут же потерял даже к этому интерес.

Кауфман - тот вообще, кроме как о своих узлах не говорил.

Пенроуз - первый раз вообще пытался запретить разговор о финслеровых пространствах, а во второй, хоть и согласился, и даже сказал, что гиперкомплексные алгебры и анализ над ними это замечательно, по-моему, не особенно понял, что речь идет не об обычных кватернионах, а об их гиперболических коммутативных антагонистах. Обещал дать отзыв на статью Гарасько по теории поля в финслеровых пространствах, но, благополучно ее где-то потерял. :(

Глубже всех "въехал" в тему поличисел и их связей с финслеровыми линейными пространствами - Гиббонс. Он даже приезжал на нашу каирскую конференцию 2008 года и выступал там с докладом, на котором сказал несколько слов о видимой им переспективе поличисел, причем не только в математическом смысле. Но пока этим дело и ограничилось..

Согласны, что в обсуждаемом направлении имеет смысл копать наши академики Кадышевский (ОИЯИ) и Матвеев (ИЯИ), но пока их отношение также, скорее, лишь просто дружелюбное.

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Числа Паули, Калуцы, Дирака, Клиффорда-Липшица и др. широко используются в физике и математике. А это все поличисла. Правда, среди них нет коммутативных, зато присутствуют делители нуля.

То, что Вы перечислили - лучше называть просто гиперкомплексными числами. Термин поличисла мы с Гарасько предложили для обозначения исключительно коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных алгебр.

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Я могу предположить только одну причину «недолюбливания» алгебр поличисел, это наличие в них делителей нуля. Однако, как мы видим, это не является принципиальным препятствием для содержательных приложений. Другое дело, что поличисла естественным образом связанны с группами преобразований, что является серьезной причиной использовать их в геометрии, а значит и в физике, поскольку современная физика исходит из геометрической парадигмы миростройства (СТО, ОТО, теория бран, суперструн и т.д.).

Согласен, что нелюбовь к делителям нуля здорово притормозила исследования поличисел. Однако, на мой взгляд, более важной причиной почти нулевого интереса к поличислам, является отсутствие знаний о реальных физических полях, обладавших бы прямыми связями с h-аналитичностью. В теме по физике я задал Вам вопрос про реальные поля, обладавшие бы гиперболической соленоидальностью.. Думаю, что ответ будет отрицательным, поскольку пока не смог мне привести ни единого примера такого реального поля ни один из знакомых физиков, а опросил я десятки, причем далеко не самых отсталых.. Будь среди фундаментальных физических полей известно хоть одно, обладающее таким свойством, сейчас бы поличислами занимались толпы..
Я, кстати, сделал вчера на нашем семинаре доклад, в котором предложил гипотезу, что гиперболически соленоидальным является самое обычное гравитационное поле. Что у него почти точно также как у электрического поля есть вихревая пара, только не эллиптическая как у электромагнитного поля, а гиперболическая. Даже название для такой пары полей предложил - гравигиперболическое.. Думаю, можно также говорить о поставке относительно дешевого и простого эксперимента, доказывавшего бы наличие такой связанной пары полей, а также подтверждавшего бы их гиперболические свойства. Делители нуля для такого совмещенного поля - самое что ни на есть естественное обстоятельство и связано со световой скоростью распространения.. Если эта гипотеза будет подтверждена, ОТО, скорее всего, придется потесниться и стать теорией описывающей лишь часть свойств более общего четырехмерного поля, имеющего связь с поличислами $H_4(R)$ или $H_4(C)$.

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Другое дело, вопросы сходимости. Я просто знаю, насколько математики въедливы относительно тончайших нюансов своих классических теорий и абсолютно уверен, что уж если они всерьез взялись за что-либо, то это будет сделано на века. Если бы им была интересна теория поличисел, также как основания матана и ТФКП, то и там было бы все идеально строго.

На счет ТФКП - почти не спорю. Хотя, полагаю, с геометрической интерпретацией комплексных чисел как точек евклидовой плоскости также очень сильно многое связано. Поэтому, все же, в отличие от Вас допускаю микроскопическую вероятность, что замена общепринятой плоскостной интерпретации на одномерную (я привел некоторые ее аспекты в теме по физике) способна породить некоторые дополнительные теоремы, мимо которых могли проскочить при обычном подходе..
На счет отсутствия интереса к поличислам также совершенно согласен. Только причины этому вижу не столько в делителях нуля, сколько в господствующих у современных физиков представлениях о свойствах реальных фундаментальных полей, среди которых пока не числятся поля (или их части), которые обладали бы, в частности, таким естественным для h-аналитических функций от поличисел качеством, как гиперболическая соленоидальность (гиперболическая потенциальность как свойство физических полей давно известно, но его одного не достаточно, что бы породить интерес физиков к поличислам и функциям от них).
Таким образом получается почти как по Марксу: "Физическое бытие определяет математическое сознание". :)

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Вот почему я не вижу смысла в пересмотре оснований анализа или ТФКП, а именно концепции предельного перехода и сходимости. Просто там все уже сделано добросовестно и профессионально. Чего не скажешь относительно поличисел, так как они до сих пор игнорировались общественным мнением. Тем и интересней, что есть такая серьезная ниша для исследований, по сути, непаханая целина :) .

Вполне возможно, что Вы правы и проводить ревизию или даже просто дополнять ТФКП нет никакого смысла. Но, на всякий случай, я бы не упускал из вида и такой возможности. Хотя бы ради того, что бы нечаянно не зайти в тупик уже с другими поличислами. Всяко, как говорится, в жизни бывает..

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Так что Ваши идеи УЖЕ просто-напросто учтены, причем в максимально возможной форме, явно превышающие Ваши потребности. Вот почему, я советовал обратить внимание на доказательства, предназначенные не для студентов технических и физических ВУЗов (максимально адаптированные для них), а на доказательства для студентов-математиков МГУ, особенно, в лекциях «Курс математического анализа, в 4-х частях», такого математического гения как Леонид Иванович Камынин, которые изданы ротапринтным изданием в МГУ в 1979-1982 годах, тиражом всего 500 экземпляров.

Не подскажите, как бы мне заполучить электронную версию этих томов?

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Насколько я понимаю, «угловая сходимость» у Вас не определена, а по сему трудно понять, что имеется в виду под «сходящимся по радиальной координате, но не сходящимся по угловой».

Я подхожу к проблеме сходимости последовательности поличисел совсем с другого конца, чем Вы. Меня инетересует, как можно было бы естественным, непротиворечивым и далекоидущим способом ввести ее на множестве двойных чисел или на соответствующих им двойной плоскости, или на одномерной прямой (для случая представлений в виде связанных отрезков). А уж что (и если) начинает получаться, я примеряю аналогичное определение к обычным комплексным числам, так как априори уверен в наличии там зеркальной возможности..

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Так что если интересно, читайте классиков матана и ТФКП, ибо эти темы там очень хорошо разобраны.

Стараюсь почитывать, но не всегда нахожу у них ответы на возникающие даже по поводу ТФКП вопросы. В частности, с удовольствием бы глянул следствия второй геометрической интерпретации комплексных чисел, как связанных отрезков на прямой. Я почти уверен, что ничего принципиально нового в ТФКП такая дополнительная интерпретация привнести не может, но, на всякий случай, хотелось бы в этом убедиться однозначно..

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Относительно «пространственных» матриц. Они ведь тоже эквивалентны «плоским» матрицам, хотя бы в силу своей дискретности. Кстати, сами матрицы эквивалентны векторам, т.е. «линейным» матрицам. Их представление в «плоском» виде это всего лишь вопрос удобства, не более. То же для «пространственных» матриц. Если для некоторых достаточно больших удобно «пространственное представление» множества чисел, вопросов нет – пользуемся на здоровье. Если нет, то используем «плоские» представления группы чисел. Только представления эти изоморфны, в силу стандартной теоремы матанализа:

Совершенно тут с Вами согласен. "Линейными" матрицами как раз и являются сами поличисла и они очень даже удобны в огромном числе случаев. Отчасти поэтому мы и не стали с Гарасько развивать матричную представимость, как в виде квадратных, так и в виде пространственных. Но также как Вы видите периодические удобства в связи с квадратными матрицами, точно также и я вижу периодические удобства в связи уже с пространственными матрицами. А то, что все эти представления взаимозаменяемы и эквивалентны - не спорю.

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

А что касается $n$-арных операций отношения элементов множеств, то о них вскользь упоминается в учебных курсах, что уже унарные и бинарные отношения достаточно продуктивны и явной потребности в больших размерностях отношений пока не наблюдается, что впрочем, не мешает желающим их исследовать :) .

Как я, надеюсь, выше показал - физики и математики до сих пор не испытывают никакой явной потребности даже в таком очевидном и естественном понятии как гиперболически соленоидальное поле. Как Вы думаете, на сколько дальновидно и продуктивно они при этом поступают? Я понимаю, жить конечно, можно и без этого, но когда осознаешь, чего же именно себя лишал из-за отсутствия этой самой потребности, становится несколько неуютно.
Возможно, в отношении $n$-арных операций ситуация не столь явно ущербная как в случае с гиперболически соленоидальными полями, но, вполне может так оказаться, что здесь даже еще большее недоразумение содержится. Короче, упускать из виду и такую возможность также не стОит..
Желающих исcледовать n-арные операции и n-арные обобщения групп симметрий - не много, но есть. Я знаком лично с тремя такими. Пожидаев, Гальмак, Батраков.. Жуть, как у них там понамешано в их науке. Еще круче, чем у Соколова с его пространственными матрицами. И также в полном отрыве от гиперкомплексных поличисел.. Все как сговорились будто не замечать самых простых и естетсвенных приложений своих построений и теорем.. Все почему-то стараются всё сделать в общем виде, а частные случаи как будтно не интересны..

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Лично я исхожу из убеждения, что природа максимальна в своей простоте или минимальна в своей сложности. Поэтому без явной необходимости не вижу смысла усложнять изучаемые связи, особенно если они допускают простую интерпретацию.

Полностью с этим согласен. Поэтому, в частности, надеюсь никогда не выходить из рамок четырех измерений. И если ради этого мне придется перейти от бинарных операций к 4-арным, буду считать это более простым вариантом, чем идти в 5-мерие.

Пока же совсем не призываю плотно заниматься этими самыми тернарными и 4-арными операциями и связанными с ними 3- и 4- группами симметрий. Но помнить об их наличии - не повредит..

Scholium в сообщении #312813 писал(а):

Так что я попробую поработать с интегральной формулой Коши-Гантмахера-Ланкастера (или как там ее назвать? :) ) в применении к поличислам. О чем, естественно сообщу.

Спасибо. Буду с нетерпением ждать. Неужели для $H_2$ что-то нетривиальное получится и без использования эллиптической мнимой единицы $i$, так как в этой алгебре есть только гиперболическая $j$..

[Руст]

Цитата:

Громов почти сразу сказал, что ничего интересного ни для физики, ни для математики не ожидает. Сказал также, что списка Картана перечисляющего группы симметрий причем в связи именно с квадратичными геометриями - хватит на все случаи жизни. Поэтому заниматься скалярными полипроизведениями и неквадратичными метрическими формами связанными с поличислами - считает лишней роскошью. Немного заинтересовался оказавшимся неожиданным для него фактом, что поличисла Н_4 имеют бесконечномерную группу конформных преобразований, но убедившись в течении 10-секундной мысленной проверки данного обстоятелства, что так оно и есть и, вероятно, поняв как просто данная группа устроена, тут же потерял даже к этому интерес.

Он прав.

Цитата:

Согласен, что нелюбовь к делителям нуля здорово притормозила исследования поличисел. Однако, на мой взгляд, более важной причиной почти нулевого интереса к поличислам, является отсутствие знаний о реальных физических полях, обладавших бы прямыми связями с h-аналитичностью.

Наличие делителей нуля делает их неинтересными с точки зрения теории чисел, занимающийся решетками с умножением. В этом смысле для теории чисел важно отсутствие делителей нуля, но не мешает даже не ассоциативное умножение имеющиеся в октавах. Смотрите новую книжку Джон Х. Конвей, Дерек А. Смит
О кватернионах и октавах.
А в остальной математике делители нуля не помеха и широко используются алгебры Грассмана.

Цитата:

Думаю, что ответ будет отрицательным, поскольку пока не смог мне привести ни единого примера такого реального поля ни один из знакомых физиков, а опросил я десятки, причем далеко не самых отсталых. Будь среди фундаментальных физических полей известно хоть одно, обладающее таким свойством, сейчас бы поличислами занимались толпы.

Здесь с вами согласен. Добавлю только, что таких примеров и не найдете кроме случая применения $H_2$ являющегося двумерным пространством Минковского. При этом эти h функции не будут сечениями h функциями для $H_4$ который интересен вам. Случай $H_2$ тривиален и не требует специального рассмотрения как h аналитических функций.

Цитата:

Я, кстати, сделал вчера на нашем семинаре доклад, в котором предложил гипотезу, что гиперболически соленоидальным является самое обычное гравитационное поле. Что у него почти точно также как у электрического поля есть вихревая пара, только не эллиптическая как у электромагнитного поля, а гиперболическая. Даже название для такой пары полей предложил - гравигиперболическое.. Думаю, можно также говорить о поставке относительно дешевого и простого эксперимента, доказывавшего бы наличие такой связанной пары полей, а также подтверждавшего бы их гиперболические свойства. Делители нуля для такого совмещенного поля - самое что ни на есть естественное обстоятельство и связано со световой скоростью распространения.. Если эта гипотеза будет подтверждена, ОТО, скорее всего, придется потесниться и стать теорией описывающей лишь часть свойств более общего четырехмерного поля, имеющего связь с поличислами $H_4(R)$ или $H_4(C)$.

ОТО имеет предельный переход к Ньютоновой гравитации при малых массах. Физика на поличислах нет в силу сильной не изотропности всюду. В окрестности Земли если и есть не изотропность она незначительная. Именно по этому физика на поличислах не имеет реальных приложений и лучше заниматься общими финслеровыми пространствами для создания обобщений ОТО.

Цитата:

Меня инетересует, как можно было бы естественным, непротиворечивым и далекоидущим способом ввести ее (топологию)

Естественная топология одна топология прямого произведения.

Цитата:

Как я, надеюсь, выше показал - физики и математики до сих пор не испытывают никакой явной потребности даже в таком очевидном и естественном понятии как гиперболически соленоидальное поле. Как Вы думаете, на сколько дальновидно и продуктивно они при этом поступают? Я понимаю, жить конечно, можно и без этого, но когда осознаешь, чего же именно себя лишал из-за отсутствия этой самой потребности, становится несколько неуютно.

Дальновидно в связи с вышесказанным.

Цитата:

Желающих исcледовать n-арные операции и n-арные обобщения групп симметрий - не много, но есть. Я знаком лично с тремя такими. Пожидаев, Гальмак, Батраков.. Жуть, как у них там понамешано в их науке. Еще круче, чем у Соколова с его пространственными матрицами. И также в полном отрыве от гиперкомплексных поличисел.. Все как сговорились будто не замечать самых простых и естетсвенных приложений своих построений и теорем.. Все почему-то стараются всё сделать в общем виде, а частные случаи как будтно не интересны.

О каких n арных операциях идет речь для $H_n$, скалярное произведение не является операцией.

Цитата:

Полностью с этим согласен. Поэтому, в частности, надеюсь никогда не выходить из рамок четырех измерений. И если ради этого мне придется перейти от бинарных операций к 4-арным, буду считать это более простым вариантом, чем идти в 5-мерие.

Меня интересует общая финслерова геометрия именно своей возможностью моделирования соединения квантовой механики и гравитации не выходя в большие размерности.

[Time]

Руст в сообщении #313256 писал(а):

Он прав.

Поживем - увидим..

Руст в сообщении #313256 писал(а):

Наличие делителей нуля делает их неинтересными с точки зрения теории чисел, занимающийся решетками с умножением. В этом смысле для теории чисел важно отсутствие делителей нуля, но не мешает даже не ассоциативное умножение имеющиеся в октавах.

Для нас делители нуля представляют интерес не с точки зрения теории чисел, а по причине их естественной связи со световым конусом, инвариантностью скорости света и распространением фундаментальных взаимодействий.
В вещественных октавах нет делителей нуля, а сама эта гиперкомплексная алгебра мне не интересна по причине бедности конформных преобразований. Кому это не мешает, пусть занимаются..

Руст в сообщении #313256 писал(а):

А в остальной математике делители нуля не помеха и широко используются алгебры Грассмана.

На сколько я знаю, алгебры Грассмана это не алгебры поличисел. А мы сейчас говорим о делителях нуля именно в поличислах (коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных числах). В ТАКИХ алгебрах, с Вашей точки зрения, делители нуля не помеха? И не расскажите, где именно алгебры поличисел широко используются? Естетсвенно, кроме действительных, комплексных и частично двойных чисел?

Руст в сообщении #313256 писал(а):

Здесь с вами согласен. Добавлю только, что таких примеров и не найдете кроме случая применения $H_2$ являющегося двумерным пространством Минковского. При этом эти h функции не будут сечениями h функциями для $H_4$ который интересен вам. Случай $H_2$ тривиален и не требует специального рассмотрения как h аналитических функций.

Это как это h-аналитические функции от $H_2$ не будут сечениями h-аналитических функций от $H_4$? Первые - подмножество вторых и получаются из тех, когда морозятся два из четырех измерений (когда от них ничего не зависит).
На счет поразительной простоты h-аналитических функций от $H_2$ целиком согласен. Однако простота еще не признак тривиальности. Как говорится, определенная часть современной теории суперструн стоИт именно на h-аналитических функциях от $H_2$. Или Вы данное обстоятельство также считаете тривиальным?
Кроме того, если на счет тривиальности h-аналитических функций от $H_2$ Вы правы, может укажите ссылки на работы, в которых их группа рассматривается в связи с появлением нелинейных векторных полей в двумерном пространстве-времени обладающих гиперболической потенциальностью и гиперболической соленоидальностью? Или хотя бы такие работы, в которых бы ДОКАЗЫВАЛОСЬ, что такие представления не имеют смысла и ничего полезного для геометрии и физики принципиально содержать не могут? Не сходу приговор - тривиально, а доказательство этого.. Тем более, что линейные и дробнолинейные h-аналитические функции, являющиеся частными случаями h-аналитических функций общего вида, для физики двумерного пространства-времени очень даже интересны и составляют суть двумерной СТО, а также группы инверсий относительно псевдоевклидовых сфер, также иногда фигурирующей в числе фундаментальных преобразований двумерного пространства-времени (в частности в связи с преобразованиями Меллера или Фока). Или Вы СТО также считаете тривиальной физической теорией, не давшей ничего интересного? А ведь h-аналитические функции от $H_2$ общего вида на много (на бесконечно много) разнообразнее одних только линейных и дробнолинейных функций.. Ну вот откуда черпается эта убежденность в тривиальности и никчемности двойных чисел? Объясните пожалуйста хоть немного более подробно..

Руст в сообщении #313256 писал(а):

ОТО имеет предельный переход к Ньютоновой гравитации при малых массах. Физика на поличислах нет в силу сильной не изотропности всюду. В окрестности Земли если и есть не изотропность она незначительная. Именно по этому физика на поличислах не имеет реальных приложений и лучше заниматься общими финслеровыми пространствами для создания обобщений ОТО.

Евклидовы пространства изотропны в элиптическом смысле понятия изотропии. А все пространства $H_n$ не менее изотропны в смысле гиперболического понятия изотропности. Это не сложно понять, если попробовать отличить хоть одно направление не связанное с делителями нуля от другого. Они все ОДИНАКОВЫ! А это и есть главное в определении изотропии. Кстати, без такой гиперболической изотропности пространств типа $H_n$, вообще, и $H_2$, в частности, нельзя было бы говорить о равноправии инерциальных систем отсчета. Или Вы хотите оспорить равноправие прямых мировых линий и связанных с ними направлений в двумерной СТО?

Руст в сообщении #313256 писал(а):

В окрестности Земли если и есть не изотропность она незначительная.

А на интервалах, соизмеримых с размерами видимой части Вселенной также, полагаете, нет анизотропии?

Руст в сообщении #313256 писал(а):

Именно по этому физика на поличислах не имеет реальных приложений и лучше заниматься общими финслеровыми пространствами для создания обобщений ОТО.

Вы же вчера присутствовали на семинаре. Почему там после моего доклада не сделали такого же заявления и не обосновали его? Я бы с удовольствием подискутировал..
Для собственных занятий Вы имеете полное право выбирать любое, представляющееся Вам перспективным, направление исследований равно как и математический объект для этого. Однако, если хотите давать рекомендации другим, то подобные утверждения требуют очень тщательных обоснований. Где такие доказательства в отношении поличисел у Вас? Ни обоснования отсутствия в поличисловых пространствах $H_n$ изотропии (равноправности направлений), ни доказательств изотропности реального пространства-времени на космологических интервалах Вы пока не привели..

Руст в сообщении #313256 писал(а):

Цитата:
Меня инетересует, как можно было бы естественным, непротиворечивым и далекоидущим способом ввести ее (топологию)
Естественная топология одна топология прямого произведения.

Вы можете привести определение понятия сходимости для последовательности двойных чисел? И показать на основании этого определения примеры сходящихся и расходящихся конкретных последовательностей, а затем перейти к рядам и функциям? По аналогии, как подобные аспекты рассматриваются в обычной ТФКП. То есть, покажите как на практике работает эта Ваша топология прямого произведения. Ни в одной работе по двойным числам я такого не встречал. Может Вам просто больше известно. Был бы крайне признателен..

Руст в сообщении #313256 писал(а):

Дальновидно в связи с вышесказанным.

Отвечу аналогично тому, как вверху. Поживем - увидим..

Руст в сообщении #313256 писал(а):

О каких n арных операциях идет речь для , скалярное произведение не является операцией.

Я и не говорил, что скалярное полипроизведение это полноценная n-арная операция. Это в лучшем случае ее огрызок. Примеры n-арных операций Вы можете увидеть в работах Чернова, в частности:
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=317
Причем это, думаю, далеко не все из n-арного, что естественным образом связано с $H_4$.

Руст в сообщении #313256 писал(а):

Меня интересует общая финслерова геометрия именно своей возможностью моделирования соединения квантовой механики и гравитации не выходя в большие размерности.

До тех пор, пока не будут полностью изучены свойства хотя бы трех и четырехмерных поличисел и именно в связи с соответствующими им линейными финслеровыми пространствами, заниматься финслеровыми пространствами общего вида такое же безнадежное дело, как пытаться заниматься римановыми пространствами общего вида, не разобравшись досканально с линейными евклидовыми пространствами.

[Руст]

Цитата:

На сколько я знаю, алгебры Грассмана это не алгебры поличисел.

Да, к тому же они не коммутативны $n>1$.

Цитата:

А мы сейчас говорим о делителях нуля именно в поличислах (коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных числах). В ТАКИХ алгебрах, с Вашей точки зрения, делители нуля не помеха?

Да.

Цитата:

И не расскажите, где именно алгебры поличисел широко используются? Естетсвенно, кроме действительных, комплексных и частично двойных чисел?

Кроме $H_2$ нигде, так как они не могут быть использованы для реальной физики.

Цитата:

Это как это h-аналитические функции от $H_2$ не будут сечениями h-аналитических функций от $H_4$? Первые - подмножество вторых и получаются из тех, когда морозятся два из четырех измерений (когда от них ничего не зависит).

Если от двух координат ничего не зависит $y_1=f_1(x_1),y_2=f(x_2), y_3=f_3(x_3)=const, y_4=f_4(x_4)=const$ то норма производной как h фналитической на $H_4$ функции тождественна равна 0. Конформны те у которых норма производной не равна нулю. Можно взять $y_3=x_3,y_4=x_4$, тогда это уже не сечение в обычном понимании.

Цитата:

Кроме того, если на счет тривиальности h-аналитических функций от $H_2$ Вы правы, может укажите ссылки на работы, в которых их группа рассматривается в связи с появлением нелинейных векторных полей в двумерном пространстве-времени обладающих гиперболической потенциальностью и гиперболической соленоидальностью?

Не мешало бы дать чёткие определения этих понятий. Для $H_2$ они похоже будут функциями у которых одна координата постоянная (волны идущие вперед и назад).

Цитата:

Евклидовы пространства изотропны в элиптическом смысле понятия изотропии. А все пространства $H_n$ не менее изотропны в смысле гиперболического понятия изотропности. Это не сложно понять, если попробовать отличить хоть одно направление не связанное с делителями нуля от другого. Они все ОДИНАКОВЫ!

векторы $a=\{1,1\}, b=\{1,-1\}$ не делители нуля. Действительная часть $Re(a)=2,Re(b)=0$ Re как след матриц представляющих умножение не зависит от базиса, следовательно они не эквивалентны.

Цитата:

А на интервалах, соизмеримых с размерами видимой части Вселенной также, полагаете, нет анизотропии?

Не локальная анизотропия имеется в любом не плоском римановом пространстве. Финслеровы нужны для изучения локальной анизотропии (в малой окрестности).

Цитата:

Вы же вчера присутствовали на семинаре. Почему там после моего доклада не сделали такого же заявления и не обосновали его? Я бы с удовольствием подискутировал.

Это отняло бы много времени и скорее безпродуктивно.

Цитата:

Однако, если хотите давать рекомендации другим, то подобные утверждения требуют очень тщательных обоснований. Где такие доказательства в отношении поличисел у Вас? Ни обоснования отсутствия в поличисловых пространствах $H_n$ изотропии (равноправности направлений), ни доказательств изотропности реального пространства-времени на космологических интервалах Вы пока не привели.

.
Смотрите выше.

Цитата:

Вы можете привести определение понятия сходимости для последовательности двойных чисел?

Покомпонентная сходимость.

Цитата:

Примеры n-арных операций Вы можете увидеть в работах Чернова, в частности:
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=317
Причем это, думаю, далеко не все из n-арного, что естественным образом связано с $H_4$.

Это производные операции (Кон "Универсальная алгебра") выражаемые через бинарные и унарные операции. Обычно математики занимающиеся многомерными операциями интересуются именно операциями не сводящимися к таким, так как сводящиеся ничего нового не дают.

Цитата:

До тех пор, пока не будут полностью изучены свойства хотя бы трех и четырехмерных поличисел и именно в связи с соответствующими им линейными финслеровыми пространствами, заниматься финслеровыми пространствами общего вида такое же безнадежное дело, как пытаться заниматься римановыми пространствами общего вида, не разобравшись досканально с линейными евклидовыми пространствами.

Их можно рассматривать как не очень интересные примеры при иллюстрации свойств общих финслеровых пространств. На большее они не годятся.

[Time]

Руст в сообщении #313411 писал(а):

А мы сейчас говорим о делителях нуля именно в поличислах (коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных числах). В ТАКИХ алгебрах, с Вашей точки зрения, делители нуля не помеха?

Да.

Уже и это хорошо. Осталось только научиться с этими самыми делителями нуля обращаться примерно также как в теории вычетов на комплексной плоскости научились обращаться с нулями аналитических функций. Таким умением в теории функций двойной переменной математики на сегодня обладают?

Руст в сообщении #313411 писал(а):

Кроме нигде, так как они не могут быть использованы для реальной физики.

(Для Scholium) Вот видите!? И точно также ответят 99 из 100 физиков или математиков, причем будут искренне уверены, что совершенно правы..
При этом на чрезвычайную разницу в изометрических и конформных группах фундаментальных непрерывных симметрий пространства Минковского и таких как $H_4(R)$ или $H_4(C)$ им будет глубоко наплевать. Вы, кстати, также пока не чувствуете разницу между группой конформных симметрий различных пространств и группой решений волнового уравнения или уравнения Лапласа. А совпадают в случае квадратичных метрик данные два множества только в случае евклидовой и псевдоевклидовой двумерных плоскостей. В трехмерных и более мерных квадратичных пространствах этого качества уже нет.
В числе измерений три и выше множество конформных симметрий также может совпадать с множеством решений финслеровых аналогов уравнений Лапласа и Даламбера, но последние имеют уже существенно отличный от привычного вид, а что с последними делать, ни физики, ни математики пока не знают. :(

Руст в сообщении #313411 писал(а):

Можно взять$y_3=x_3 y_4=x_4, тогда это уже не сечение в обычном понимании.

Понятие сечения в существенной степени зависит от метрики и того, чего мы такой процедурой хотим добиться. Давайте возьмем, например, плоскость двойной перемнной. Под одномерным ее сечением можно понимать гиперплоскость ортогональную вещественной оси, а можно - пространство делителей нуля парное к одной из двух изотропных осей. Для той цели, о которой мы с Вами сейчас говорим, то есть для получения из $H_2$ в качестве сечения пространства с метрикой $H_1$ нужно взять второй вариант, что бу его можно було ьез проблем распространить и на редукцию пространства $H_3$ и $H_4$. Для этого в первом (то есть в $H_3$) нужно рассмотерть плоскость делителей нуля, в которую не входит одно из трех главных изотропных направлений. Она хотя в трехмерном смысле и изотропная, то есть, имеет нулевые интервалы для всех принадлежащих ей векторов, однако, можно рассматривать ее "внутреннюю" двумерную метрику, которая в данном случае оказывается именно метрикой $H_2$. Точно также и в $H_4$. От нее аналогичной процедурой можно перейти к "внутренней" метрике $H_3$, а уж от той к двумерной изотропной плоскости с "внутренней" метрикой $H_2$. Что самое забавное, поскольку h-аналитические функции любого из пространств $H_n$ переводят изотропные прямые, плоскости, ..., гиперплоскости в себя, то на каждом из таких подпространств реализуется свое "внутреннее" конформное преобразование с соответствующей ему h-аналитической функцией того же самого вида, но для меньшего на одну или несколько единиц числа измерений. На мой взгляд, очень красивое и далекоидущее свойство, особенно если вспомнить, что множество гиперплоскостей делителей нуля представляет собой ни что иное, как световые конуса, с помошью которых можно моделировать траектории световых лучей..

Руст в сообщении #313411 писал(а):

Не мешало бы дать чёткие определения этих понятий. Для $H_2$ они похоже будут функциями у которых одна координата постоянная (волны идущие вперед и назад).

Поcмотрите внимательно статью написанную совместно с Кокаревым, которую я выкладывал перед докладом на столы и которую, надеюсь, Вы захватили с собой. Там все необходимые определения даны. Причем для пущей ясности в постоянном сопоставлении с аналогичными определениями обычных элиптических понятий потенциальности и соленоидальности на комплексной плоскости. Разница там, по сути, как и в условиях Коши-Римана на комлексной и двойной плоскостях, только в знаках..
К гиперболически потенциальным и гиперболически соленоидальным векторным полям на плоскости двойной переменной приводят ВСЕ без исключения h-аналитические функции. Точно также как аналогичное свойство имеет место быть для всех векторных полей, соответствующих обычным аналитическим функциям на комплексной плоскости. Разумеется, за исключением тех особых точек, где аналитичность или h-аналитичность теряется. Но это также понятно, в этих точках располагаются источники, вихри, диполи и пр. особенности..

Руст в сообщении #313411 писал(а):

векторы не делители нуля. Действительная часть Re как след матриц представляющих умножение не зависит от базиса, следовательно они не эквивалентны.

Эти направления разделены световым конусом и, естественно, имеют место нюансы типа того, что Вы привели. А Вы попытайтесь тоже самое сказать в отношении векторов одного конуса, например, для векторов конуса прошлого. А ведь только из прошлого к нам, вроде бы как и приходят сигналы в реальном физическом мире, на основании которых мы судим о его изотропности или анизотропности..

Руст в сообщении #313411 писал(а):

Не локальная анизотропия имеется в любом не плоском римановом пространстве. Финслеровы нужны для изучения локальной анизотропии (в малой окрестности).

Это Ваша личная точка зрения на данный аспект. Моя (и я ее выше попытался обосновать), что все финслеровы пространства связанные с пространствами $H_n$ (во всяком случае внутри одногог конуса, в частности, конуса прошлого или будущего) - изотропны. Только это не привычная элиптическая изотропия, а менее ощущаемая гиперболическая. Впрочем, можете оставаться при своей точке зрения, но тоггда Вам пространства типа $H_n$ действительно не нужны и не могут представлять никакого интереса.

Глобальная (но не локальная) гиперболическая анизотропия в пространствах типа $H_n$ появляется сразу, как только в нем задана произвольная нелинейная (а также не дробнолинейная) h-аналитическая функция. Тем более это должно относиться к обобщениям этих функций при замене инвариантности углов на инвариантность тринглов и квадрауглов. Ничего подобного последним функциям и инвариантам в произвольных псевдоримановых пространствах ОТО нет в принципе. Даже с конформными преобразованиями (глобальными) там туговато и последние представляют всего 15-параметрическую группу. Максимум, что дающую - так это переходы от плоского пространства Минковского к плоскому пространству ДеСиттера, в котором роль прямых в качестве геодезических переходит к окружностям и гиперболам. Если Вы отошли от конформности при преобразованиях, и перешли с их помощью в кривое пространство, то потеряли связь с глобальными симметриями исходного плоского пространства, а вместе с ними и те замечательные следствия, которые называются законами глобальными сохранения, в том числе и сохранения энергии-импульса. Последние сохраняются только локально. Кому как, а мне хотелось бы не прощаться с законами сохранения и глобально..

Руст в сообщении #313411 писал(а):

Это отняло бы много времени и скорее безпродуктивно.

Скорее всего, Вы правы. Мы общаемся уже порядка года, и в отношении изменения Вашей позиции к поличислам и их физическим перспективам это практически никак не сказалось. Трудно представить, что бы от пятиминутного обсуждения на семинаре что-то серьезно сдвинулось. :) Но ведь высказываться и отстаивать свои убеждения все равно нужно. Иначе сближения позиций никогда не дождаться..

Руст в сообщении #313411 писал(а):

Смотрите выше.

Я по-прежнему утверждаю, что ни доказательств отсутствия гиперболической изотропии пространств вроде $H_n$, (куда относится и псевдоевклидова плоскость), ни доказательств отсутвия анизотропии на глобальных космологических интервалах в нашем реальном пространстве-времени - Вы не привели. То что написали, скорее, отписка. Может попробуете более строго подойти к этим двум принципиальным вопросам?

Руст в сообщении #313411 писал(а):

Покомпонентная сходимость.

Вы когда ни будь пробовали на основании этой покомпонентной сходимости построить гиперболические аналоги фрактальных множеств Жюлиа на плоскости двойной переменной? Советую попробовать. Уверенность, что это "хорошее" определение для понятия сходимость последовательности на двойных числах, весьма вероятно, исчезнет.

Мы с Виктором Панчелюгой провозились с данной проблемой достаточно много, что бы отдавать отчет, что "покомпонентная сходимость" - не то, что нужно для двойных чисел. На ней даже гиперболу (аналог окружности для комплексной плоскости) в качестве простейшего фрактального множества для итераций вида:
$(z_n)^2=(z_{n-1})^2+c$
при $c=0$ не удается построить. А это - вопиющий нонсенс..

Руст в сообщении #313411 писал(а):

Обычно математики занимающиеся многомерными операциями интересуются именно операциями не сводящимися к таким, так как сводящиеся ничего нового не дают.

Обычные математики уверены, что вообще все n-арные операции сводятся тем или иным образом к унарным и бинарным. Те же, кто профессионально занимаются именно n-арными операциями и n-группами симметрий уверены в обратном. Среди них те, фамилии кого я приводил Выше.
Кроме того я сам Вам выше писал, что имел ввиду совсем другие n-арные опреации применительно к расширению пространств $H_n$, которых ни в приведенной статье Чернова, ни в статьях упоминавшихся алгебраистов пока не введено. Я по дилетански пробовал немного позаниматься данной проблемой:
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=316
но пока не особенно успешно, хотя, кое что, все же стало год назад проклевываться, но пришлось это направление временно оставить, ввиду важности более насущных дел.

Руст в сообщении #313411 писал(а):

Их можно рассматривать как не очень интересные примеры при иллюстрации свойств общих финслеровых пространств. На большее они не годятся.

Годятся они на что ни будь более интересное, чем академические примеры сравнений со свойствами линейных евклидовых и псевдоевклидовых пространств или же нет - можно спокойно выделить в отдельный вопрос. Но вот то, что до сих пор не исследованы даже группы непрерывных симметрий такого простенького пространства как $H_3$ - неубиенный факт. Я как то предлагал Вам заняться полной классификацией этих симметрий, связанных с дополнением числа инвариантов с длин и углов до тринглов и квадрауглов (в пространстве $H_4$), но, смотрю, ничего пока в этом плане не изменилось. А проблему применимости этих пространств к чему то полезному в физике, мы можем и отложить до корректного решения именно этой, чисто математической и не решенной еще никем задачи..

[Scholium]

Time писал(а):

Громов. . .
Кауфман. . .
Пенроуз. . .
Гиббонс. . .
Кадышевский. . .
Матвеев. . .

Жаль, что академики не «прониклись» в должной степени, но «кому сейчас легко?» :) . Значит, нам больше достанется :) .

Time писал(а):

То, что Вы перечислили - лучше называть просто гиперкомплексными числами. Термин поличисла мы с Гарасько предложили для обозначения исключительно коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных алгебр.

Хорошо, пусть за поличислами будут закреплены коммутативные алгебры, а за гиперчислами – некоммутативные.

Time писал(а):

Согласен, что нелюбовь к делителям нуля здорово притормозила исследования поличисел. Однако, на мой взгляд, более важной причиной почти нулевого интереса к поличислам, является отсутствие знаний о реальных физических полях, обладавших бы прямыми связями с h-аналитичностью. В теме по физике я задал Вам вопрос про реальные поля, обладавшие бы гиперболической соленоидальностью.. Думаю, что ответ будет отрицательным, поскольку пока не смог мне привести ни единого примера такого реального поля ни один из знакомых физиков, а опросил я десятки, причем далеко не самых отсталых.. Будь среди фундаментальных физических полей известно хоть одно, обладающее таким свойством, сейчас бы поличислами занимались толпы..

К сожалению, я пока «не в теме» относительно «гиперболической соленоидальности реальных физических полей». Надеюсь, со временем «въехать» :) . Теоретическая физика это вообще вопрос больше веры, чем собственно знания. Т.е. кто-то где-то мог провести эксперимент (Кавендиша или там Майкльсона-Морли) и затем громогласно объявить об его результатах. И мы все, повинуясь инстинктам толпы, повторяем, да так и есть, природа устроена так-то. Особенно, если эксперимент очень дорогостоящ. Истина, оказывается, сосредоточена в руках очень немногих. А вот они вполне могут и проманипулировать научным мнением, если сочтут нужным. А то, что наука тоже заполитизирована, я не сомневаюсь. Потом, находится кто-то, кто утверждает, что эксперимент Кавендыша невоспроизводим, а в эксперименте Майкельсона-Морли обнаружены секретные, неопубликованные протоколы его проведения. А поезд то уже ушел, теоретическая физика, по данному направлению уже состоялась. Чего там далеко ходить, похожая ситуация с обычной «старой, доброй» гравитацией, которая, если верить словам одного физика-экспериментатора ( http://newfiz.narod.ru/ ) не позволяет спутникам долететь даже до Марса, да и с гравитацией на Земле тоже не все в порядке. Т.е. общепринятая теория очень даже может быть и ошибочной. Как говорил чей-то декан физфака, была бы теория, а эксперимент подгоним :) . Поэтому, я полагаю, нет потому, что не искали. Но, со временем все может быть. По крайней мере, я буду иметь этот вопрос в виду.

Time писал(а):

Я, кстати, сделал вчера на нашем семинаре доклад, в котором предложил гипотезу, что гиперболически соленоидальным является самое обычное гравитационное поле. Что у него почти точно также как у электрического поля есть вихревая пара, только не эллиптическая как у электромагнитного поля, а гиперболическая. Даже название для такой пары полей предложил - гравигиперболическое.. Думаю, можно также говорить о поставке относительно дешевого и простого эксперимента, доказывавшего бы наличие такой связанной пары полей, а также подтверждавшего бы их гиперболические свойства. Делители нуля для такого совмещенного поля - самое что ни на есть естественное обстоятельство и связано со световой скоростью распространения.. Если эта гипотеза будет подтверждена, ОТО, скорее всего, придется потесниться и стать теорией описывающей лишь часть свойств более общего четырехмерного поля, имеющего связь с поличислами $H_4(R)$ или $H_4(C)$.

Да, это очень интересно. Надеюсь прочитать подробности, когда Вы их опубликуете. Про ОТО, могу сказать, в бытность моей учебы в МГУ, его ректор Логунов, разрабатывал собственный вариант этой теории. Так вот я помню весьма критическое отношение профессуры к этому проекту. Мол, что позволено великому Эйнштейну, то не позволено. . . Похоже, это его РТГ (релятивистскую теорию гравитации) упоминает Елисеев в своем труде :) .

Time писал(а):

На счет ТФКП - почти не спорю. Хотя, полагаю, с геометрической интерпретацией комплексных чисел как точек евклидовой плоскости также очень сильно многое связано. Поэтому, все же, в отличие от Вас допускаю микроскопическую вероятность, что замена общепринятой плоскостной интерпретации на одномерную (я привел некоторые ее аспекты в теме по физике) способна породить некоторые дополнительные теоремы, мимо которых могли проскочить при обычном подходе..
На счет отсутствия интереса к поличислам также совершенно согласен. Только причины этому вижу не столько в делителях нуля, сколько в господствующих у современных физиков представлениях о свойствах реальных фундаментальных полей, среди которых пока не числятся поля (или их части), которые обладали бы, в частности, таким естественным для h-аналитических функций от поличисел качеством, как гиперболическая соленоидальность (гиперболическая потенциальность как свойство физических полей давно известно, но его одного не достаточно, что бы породить интерес физиков к поличислам и функциям от них).
Таким образом получается почти как по Марксу: "Физическое бытие определяет математическое сознание". :)

Я вот предлагаю перейти на матричную интерпретацию комплексных чисел, поли- и гиперчисел. Просто потому, что так удобней, в данном случае. Естественно, что повсеместное использование поличисел приведет к смене различных интерпретаций и методологий. Но для убеждения нужны хорошие теоретические выкладки. А для этого требуется время.

Time писал(а):

Не подскажите, как бы мне заполучить электронную версию этих томов?

Я смотрю, в интернете есть новые издания «Курса математического анализа» Л.И. Камынина. И даже в формате djvu|pdf . В моих четырех выпусках порядка 1000 страниц, поэтому сканировать вручную у меня не хватит никакого терпения. Вечером я гляну найденные ссылки и потом скажу, какие из них получше.

Time писал(а):

Я подхожу к проблеме сходимости последовательности поличисел совсем с другого конца, чем Вы. Меня инетересует, как можно было бы естественным, непротиворечивым и далекоидущим способом ввести ее на множестве двойных чисел или на соответствующих им двойной плоскости, или на одномерной прямой (для случая представлений в виде связанных отрезков). А уж что (и если) начинает получаться, я примеряю аналогичное определение к обычным комплексным числам, так как априори уверен в наличии там зеркальной возможности..

Ну, если Вы не желаете использовать квадратичную метрику, то тогда могут быть сложности. Но мне, видимо, придется все-таки рассматривать классическую топологию, прежде чем переходить к ее неклассическим вариантам. Тогда мы сможем предметней обсудить «за» и «против».

Time писал(а):

Как я, надеюсь, выше показал - физики и математики до сих пор не испытывают никакой явной потребности даже в таком очевидном и естественном понятии как гиперболически соленоидальное поле. Как Вы думаете, на сколько дальновидно и продуктивно они при этом поступают? Я понимаю, жить конечно, можно и без этого, но когда осознаешь, чего же именно себя лишал из-за отсутствия этой самой потребности, становится несколько неуютно.
Возможно, в отношении $n$-арных операций ситуация не столь явно ущербная как в случае с гиперболически соленоидальными полями, но, вполне может так оказаться, что здесь даже еще большее недоразумение содержится. Короче, упускать из виду и такую возможность также не стОит..
Желающих исcледовать n-арные операции и n-арные обобщения групп симметрий - не много, но есть. Я знаком лично с тремя такими. Пожидаев, Гальмак, Батраков.. Жуть, как у них там понамешано в их науке. Еще круче, чем у Соколова с его пространственными матрицами. И также в полном отрыве от гиперкомплексных поличисел.. Все как сговорились будто не замечать самых простых и естетсвенных приложений своих построений и теорем.. Все почему-то стараются всё сделать в общем виде, а частные случаи как будтно не интересны..

Со стороны тех физиков я мог бы сказать, «хорошо, но мало». Т.е. нужна более фундаментальная концепция, для того, чтобы их увлечь. Т.е. эта идея не достаточно «безумная» :) . И гораздо более фундаментальные вопросы не вызывают у них особого интереса. Так что не Вы единственный :) . Вообще, я бы сильно не обращал внимания на официальную науку, ибо они не помогают никому. Есть возможность публиковаться – надо публиковаться, есть возможность осуществить эксперимент – надо осуществлять. Есть возможность выступить на представительной научной конференции – надо выступать. Но не надо ни от кого ждать поддержки ни моральной, ни материальной.

Насчет $n$-арных операций. Ну скажите, а разве вопрос классификации трех или четырехмерных поли- и гиперчисел не более актуальная задача? Я имею в виду те, которые не сводятся к «прямой сумме полей», т.е. неполупростые алгебры. Каковы матрицы их независимых единиц? А что с дальнейшей классификацией? Куда более сложная алгебра Ли получила полное решение вопроса о своей классификации. Неужели симметрические вещественные матрицы третьего порядка труднее «разобрать по полочкам»? Думаю, что $n$-арные операции подождут. Только не говорите, что это Вам не надо. Надо! Не разобравшись с систематизацией собственных математических объектов, очень трудно рассчитывать на фундаментальные результаты. Наверняка эти вопросы должны быть решены. Ибо их «переоткрытие» может занять драгоценное время. Без общего анализа основных свойств поличисел не стоит особо надеяться на их «самовнедрение».

Time писал(а):

Полностью с этим согласен. Поэтому, в частности, надеюсь никогда не выходить из рамок четырех измерений. И если ради этого мне придется перейти от бинарных операций к 4-арным, буду считать это более простым вариантом, чем идти в 5-мерие.

Не надо себя ограничивать четырехмерными поличислами. Это контрпродуктивно. Нужно стремиться к полной их классификации (с точностью до изоморфизма), а работать с теми, чьи свойства наиболее подходящие для данного класса задач.

Time писал(а):

Спасибо. Буду с нетерпением ждать. Неужели для $H_2$ что-то нетривиальное получится и без использования эллиптической мнимой единицы $i$, так как в этой алгебре есть только гиперболическая $j$..

Собираюсь пока вывести комплексный (эллиптический) аналог из этой формулы, затем параболический и гиперболический. По первым двум формулы известны, будет с чем сравнить. Потом можно будет испытать на прочность кватернионы. Если повезет, то это будет круто :) . Ну а дальше, по всем числовым системам, матричные системы единиц которых известны. А вообще-то, возникает задача о представлении всех независимых канонических симметрических матричных единиц $n$-го порядка, при $n>2$. Допустим, таких единиц $m>n$. Тогда сумма множеств вещественных полей, умноженных на некоторые $n$ этих матриц дадут соответствующую поличисловую алгебру с индуцированным этими матрицами умножением. Вот тоже стоящая задача, для алгебраистов, которая нам очень даже вскоре понадобится. Могу предположить, что у этих матричных единиц будет максимальное число возможных симметрий, например, относительно контрдиагонали матрицы.

-- Пн апр 26, 2010 16:19:28 --

Time писал(а):

Руст писал(а):

Кроме нигде, так как они не могут быть использованы для реальной физики.

(Для Scholium) Вот видите!? И точно также ответят 99 из 100 физиков или математиков, причем будут искренне уверены, что совершенно правы..

К жизни надо относиться философски :) . Лично меня приложения сейчас вообще мало волнуют. Просто интересен сам математический объект, который еще слабо изучен. А будут ли практические результаты? Несомненно! Но чтобы мне пытаться отвечать на этот вопрос конкретней, нужно разобраться с теорией. Пока я ищу то, чего достигли другие, потом придется пробелы заполнять самим. После можно будет поговорить и о практической пользе.

Time писал(а):

При этом на чрезвычайную разницу в изометрических и конформных группах фундаментальных непрерывных симметрий пространства Минковского и таких как $H_4(R)$ или $H_4(C)$ им будет глубоко наплевать. Вы, кстати, также пока не чувствуете разницу между группой конформных симметрий различных пространств и группой решений волнового уравнения или уравнения Лапласа. А совпадают в случае квадратичных метрик данные два множества только в случае евклидовой и псевдоевклидовой двумерных плоскостей. В трехмерных и более мерных квадратичных пространствах этого качества уже нет.

Всему свое время. Однако по поводу последнего замечания, не уверен. В том же «Кватернионом анализе» Э. Садбери сказано, что:

«Если кватернионная функция регулярна и дважды дифференцируема, то она удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е. является гармонической функцией. Причем, регулярная функция с необходимостью является бесконечно дифференцируемой, так что все регулярные функции гармонические».

А метрика у кватернионов обычная квадратичная и размерность тела равна четырем. Не думаю, что некоммутативность лучше делителей нуля. Так что для полной ясности очень важны теоретические выкладки.

Time писал(а):

В числе измерений три и выше множество конформных симметрий также может совпадать с множеством решений финслеровых аналогов уравнений Лапласа и Даламбера, но последние имеют уже существенно отличный от привычного вид, а что с последними делать, ни физики, ни математики пока не знают. :(

Может быть, но пока я не «попробую» формулы на «зуб», я ни в чем не могу быть уверен :) .