Степенной ряд & Сумма единиц.

[AD]

Вау. Правильно! Теперь осталось решить вторую задачу, а потом немного обобщить ее утверждение:
Дано: $a_n=b_n$ при всех $n$.
Доказать: $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$.

P. S.

math_best в сообщении #313705 писал(а):

$(\text{при } n \ne \infty})$

А оно не равно.

[paha]

(Оффтоп)

AD в сообщении #313707 писал(а):

А оно не равно.

зачем объяснять смысл анекдота? Всё равно не получится

[math_best]

Спасибо всем, но у меня отпал интерес дальше что-то писать в этой теме, сарказма очень много.

Я понимаю, что $1^{\infty}$ -неопределенность.

Будет ли $\lim\limits_{n \to \infty}1^n$ равно $1^{\infty}$ или нет?

$\lim\limits_{n \to \infty}1^n=e^{\lim\limits_{n \to \infty}n\cdot ln 1} = e^{\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{ln 1}{1/n}}= e^{\lim\limits_{k \to 0}\dfrac{ln 1}{k}}=e^0=1$

[AD]

math_best в сообщении #313721 писал(а):

сарказма очень много.

Я не сарказмлю. Я совершенно серьёзен. Я пытаюсь Вам продемонстрировать ту ясность мышления, которая стоит за это (да и вообще всей) математикой.
"$x=y\Rightarrow 2x=2y$" - это математика. "$1^\infty$" - это не математика. Не поняв этого, Вы ничему не научитесь.

[paha]

math_best в сообщении #313721 писал(а):

Спасибо всем, но у меня отпал интерес дальше что-то писать в этой теме, сарказма очень много

вот без сарказма:

(вынужден заключить в оффтоп, ибо мне уже вынесли предупреждение за явное решение тривиальной задачи)

(Оффтоп)

предел последовательности $a_n=1^n$ равен $1$.

Доказательство: $\forall \varepsilon>0$ $\exists N_\varepsilon\in\mathbb{N}$ такое, что $\forall n>N_\varepsilon$ выполняется $|a_n-1|<\varepsilon$

$N_\varepsilon$ которое exists... возьмите равным целой части от $10000000000000000 \cdot\varepsilon$

[math_best]

Спасибо Большое) Но ведь я написал $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=1$ в первом сообщении данной темы...

[paha]

вот Ваше первое сообщение:

math_best в сообщении #313167 писал(а):

Найти интервал сходимости.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (x+5)^n}$

Вопрос в том, что получилось $\sum\limits_{n=1}^{\infty}1$ на одной из границ!

1) $R=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{3^n}:{\dfrac{1}{3^{n+1}}=3$

=> $|x+5|<3$ => $-3<x+5<3$

=> $-8<x<-2$

2) Проверим сходимость на левой границе $x=-8$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (-8+5)^n = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (-3)^n = \sum\limits_{n=1}^(-1)^n$

$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=1 \ne 0$ => ряд расходится

2) Проверим сходимость на правой границе $x=-2$

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (-2+5)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{3^n}\cdot (3)^n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}1=?$

В последней строчке пропал индекс суммирования - поэтому неясно 1 или бесконечность получается

тут русским языком написано, что
$\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^n=1$ (что неверно)...

и что $\lim\limits_{n \to \infty}1^n=?$, т.е. Вам непонятно чему равен предел

[math_best]

Цитата:

тут русским языком написано, что
$\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^n=1$ (что неверно)...

и что $\lim\limits_{n \to \infty}1^n=?$, т.е. Вам непонятно чему равен предел

о_О Видимо мы друг друга не поняли

Я вообще про "левую границу" писал!!! Про правую я все понял, под $a_n$ я понимал нечто другое)

(Я в сообщении Пн апр 26, 2010 00:08:32 про это писал!)

[paha]

math_best в сообщении #313738 писал(а):

о_О Видимо мы друг друга не поняли

я говорил только о том, что Вы написали