Дифференциальное ур-ние

[PIRO11]

Имеется уравнение
Необходимо найти общее и частное решение по начальным данным $x_0=3;y_0=3$
Моё решение

$$\frac {\ dy} {\ 1-y}=\frac {\ dx} {\ x-4}$$

$$ \int_ {}^{} \frac {\ dy} {\ 1-y}=\int_ {}^{}\frac {\ dx} {\ x-4} $$

$$\ln|1-y|=\ln|x-4|+\ln C $$

$$1-y=C*(x-4)$$

Общее решение

$$y=1-c*(x-4)$$

Найдём С

$$3=1+C=> C=2$$

Частное решение

$$y=9-2x$$

Прав ли я и, если не прав то как необходимо действовать?
И ещё, на основе какого уравнения строим интегральную кривую?

[ИСН]

Ну смотрите. Решение удовлетворяет диффуру? Подходит под начальные данные? Что ещё надо?

[Alexey1]

Когда вычисляли интегралы, неправильно нашли первообразную $\int \frac{1}{1-y}dy=-\ln|1-y|+C$.

[PIRO11]

Alexey1, спасибо за то, что указали мне на мою ошибку. А что далее? Этот знак на что-то повлияет? Интегральная кривая получается прямой, это не является проблемой?

[Alexey1]

PIRO11 в сообщении #313603 писал(а):

Этот знак на что-то повлияет?

Должен повлиять. Вы теперь выражайте $y$ через $x$, чтобы получить общее решение. Затем с учётом начальных условий получайте частное решение. А там уже и с интегральными кривыми всё будет понятно.

[PIRO11]

Ок. Имеем

$$$-\ln|1-y|=\ln|x-4|+\ln C $$$

Потенцируем

$$ 1-y = \frac {\ C} {\ x-4}$$

$$ y = 1- \frac {\ C} {\ x-4}$$

Найдём С

$$ 3 = 1- \frac {\ C} {\ 3-4}$$

$$ C = 2$$

Частное решение

$$ y = 1- \frac {\ 2} {\ x-4}$$

У меня получается так. Я прав?

[paha]

PIRO11 в сообщении #313728 писал(а):

У меня получается так. Я прав?

Да


Теперь нарисуйте ВСЕ интегральные кривые... , т.е. все кривые

PIRO11 в сообщении #313728 писал(а):

$$ 1-y = \frac {\ C} {\ x-4}$$

при разных $C\in{\mathbb R}$

чтобы понять смысл начальных условий

-- Пн апр 26, 2010 23:13:04 --

кстати, функция $I(x,y)=(1-y)(x-4)$ называется интегралом данного д.у.