Числовые ряды

[Alexey1]

Ну и как Вы тогда запишете $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}$? И кстати никогда не пишите $\frac{1}{\infty}$, эта запись бессмыслена, так как бесконечность не является вещественным числом.

[ewert]

Нет, при желании можно и написать, только надо отдавать себе отчёт в точном смысле написанного и быть последовательным.

Nogin Anton в сообщении #313391 писал(а):

Не догоняю. Разве не так:
$\ctg{\frac{1}{\infty}}=\ctg{0}$ ?

Раз уж Вы знаете, что в некотором смысле $\frac{1}{\infty}=0$ -- то почему Вы не знаете, что такое $\ctg{0}=\frac{\cos0}{\sin0}=\frac{1}{0}$?...

[Nogin Anton]

Его значит не существует. И в таком случае ряд расходится?
Вот такая задача: Нужно исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{(n-1)}{5^n-2}}$

По теореме Лейбница:

1. $\frac{1}{3}>\frac{1}{23}>\frac{1}{73}>...$

2. $\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{5^n-2}}=0$ - сходится

$\sum_{n=1}^{\infty}$

$a_{n+1}=\frac{1}{5^n\cdot 5-2}$

$\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{5^n\cdot 5-2}\frac{(5^n-2)}{1}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{5^n-2}{5^n\cdot 5-1}}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac15<1$ - сходится

Исходный ряд сходится абсолютно.
Большое спасибо!

[Alexey1]

Nogin Anton в сообщении #313573 писал(а):

Его значит не существует.

Посмотрите на график котангенса. К какому значению он приближается при значении аргумента стремящемся к нулю справа?
Что касается ряда, то правильно, только имейте ввиду, что из абсолютной сходимости следует сходимость. Поэтому достаточно проверить абсолютную сходимость.

[Nogin Anton]

Большое спасибо!

Alexey1 в сообщении #313592 писал(а):

Посмотрите на график котангенса. К какому значению он приближается при значении аргумента стремящемся к нулю справа?

К бесконечности вроде.

Вот такой ещё посмотрите пожалуйста ряд: $\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac{n-1}{n^2+1}}$

По теореме Лейбница:

1. $0<\frac15>\frac{2}{10}>\frac{3}{17}>...$

2. $\lim_{n\to \infty}{\frac{n-1}{n^2+1}}=0$ - сходится

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n-1}{n^2+1}}$ (2)

k=1, => $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}$ - расходится

$\lim_{n\to \infty}{\frac{n(n-1)}{n^2+1=1\not =0, \not =\infty}}$

(2) - расходится

Исходный ряд сходится условно.
Большое спасибо!

[Alexey1]

Nogin Anton в сообщении #313602 писал(а):

К бесконечности вроде.

Значит и предел равен бесконечности. Насчёт ряда, тоже всё правильно.

[Nogin Anton]

Нужно найти область сходимости:

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(x+3)^n}{2n^2+1}}$

$\lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{\frac{(x+3)^n}{2n^2+1}}}=\lim_{n\to \infty}{|x+3|}\sqrt[n]{\frac{1}{2n^2+1}}$

$-4<x<-2$

При $x=-4$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2n^2+1}}$

По теореме Лейбница:

1. $\frac13>\frac15>\frac{1}{19}>...$

2. $\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{2n^2+1}}=0$ - сходится

При $x=-2$ получается такой ряд: $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1^n}{2n^2+1}}$
Возникает вопрос: $1^n$ можно опустить при дальнейшем исследовании?
Или же нужно так:

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2n^2+1}}$ (1)

k=2, => $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}$ - сходится

$\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{2n^2+1}=1\no = 0, \not =\infty$

Ряд (1) - сходящийся

Вывод: Исходный ряд сходится при $x\in [-4;-2]$

[ИСН]

Один студент © тоже так писал, с обозначениями ниоткуда и с выводами никуда. Дескать, sapienti sat. Потом он как-то попал на психически неуравновешенного профессора. И сунул ему свой листок.
- Чему равно кси? - спросил профессор.
- Какое кси? - растерялся студент. (У него не было такой буквы.)
- А! - сказал профессор, схватил его за шею и стал бить головой об стол. - А какое (бум) такое (бум) k (бум) у Вас (бум) вот (бум) здесь (бум)? Откуда (бум) оно (бум) взялось?

-- Пн, 2010-04-26, 20:15 --

Кроме таких мелочей, всё прекрасно.

[Nogin Anton]

Всё же $1^n$ опускать можно?

[ИСН]

Понимаете, сила математики - в её универсальности. В других областях человеческой деятельности бывает по-разному; например, где-то можно только то, что старшина разрешил. А в математике можно всё, что правильно. Если a=b, то можно в любой момент заменить a на b, и специального позволения на это не требуется.
Как-то так.

[Nogin Anton]

Мне нравятся Ваши сравнения
Вот ещё такое:

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(3x-2)^n}{(2n+1)\cdot 4^n}}$

$\lim_{n\to \infty}{\frac{|3x-2|}{4}\cdot \sqrt[n]{\frac{1}{2n+1}}}=\frac{|3x-2|}{4}$

$-\frac23<x<2$

При $x=-\frac23$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-4)^n}{(2n+1)\cdot 4^n}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n+1)}}$

По теореме Лейбница:

1. $\frac{1}{3}>\frac{1}{5}>\frac17>...$

2. $\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{2n+1}}=0$ - сходится

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2n+1}}$

Сравниваю с гармоническим, который расходится.

При $x=-\frac23$ исходный ряд сходится условно.

При $x=2$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2n+1}}$ - расходится

Вывод: Исходный ряд сходится при $x\in [-\frac23;2]$

Премного благодарен за помощь!

[Alexey1]

Nogin Anton в сообщении #313637 писал(а):

Вывод: Исходный ряд сходится при $x\in [-\frac23;2]$

А зачем двойку включили?

[Nogin Anton]

Машинально)))

-- Пн апр 26, 2010 20:46:44 --

Вот такой посмотрите пожалуйста:

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{(n-1)}\cdot 2^{(n+1)}}{n^n}}$

По теореме Лейбница:

1. $\frac41>\frac84>\frac{16}{27}$

2. $\lim_{n\to \infty}{(\frac{2}{n})^n\cdot 2=0}$ - сходится

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2^n\cdot 2}{n^n}}=\sqrt2 \cdot \lim_{n\to \infty}{\frac2n}=0$ - сходится

Исходный ряд сходится абсолютно.

[BioShark]

Помогите исследовать этот ряд на сходимость.

[meduza]

BioShark
Если я правильно разглядел -- там $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^3+3n}}$, и он вовсе не расходится. Доказывается это сравнением с соответствующим $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$.

Это одна из причин, почему правила форума запрещают постить картинки в качестве текста/формулок.