Непрерывность и неподвижные точки

[paha]

да, разумеется... предельная точка подпоследовательности из $\{x_n\}$ может не быть неподвижной для $f$... поторопился

[Padawan]

Я в Зориче много ошибок видел. Например, теорема Арцела-Асколи (во 2-ом томе) у него неправильно сформулирована (и, соответсвтвенно, доказана неправильно).

[terminator-II]

что касается исходного вопроса, то на сколько мне известно это "задача Улама" и она совсем не учебная.
А про теорему Асколи в учебнике Зорича, это , да, вещь известная

[id]

Интересно. Вот тут IFRIT в конце говорит, что им на ММ сказали, что общая точка все-таки есть...

Темы объединены.

[Padawan]

Вот решение этого "парадокса": наверное, Зорич и говорит

[terminator-II]

Ой чепуху сказал! Не дочитал условие задачи. Задача Улама звучит так: верно ли, что если два отображения отрезка $[0,1]$ в себя коммутируют ,то они имеют общую неподвижную точку. Это сложная задача.
А вот эта задача

IFRIT в сообщении #267817 писал(а):

Задание звучит так:
Покажите, что если $ f\in C[0,1], g\in C[0,1]$ и $f\circ g$ = $g\circ f$, то найдется точка $ x\in [0,1] $ : $f(x)=g(x)$

тривиальна.
От противного: предположим, что $f(x)> g(x)$ во всех точках. И пусть $x'$ -- максимальная неподвижная точка точка $g$.
Но $f(x')$ -- тоже неподвижная точка $g$, следовательно $f(x')\le x'=g(x')$. Противоречие.

[RIP]

Вы, наверно, под впечатлением от этой темы сказали (или от сообщения neo66).

[terminator-II]

Да что-то тут дребедень какая-то с темами. Сливали разливали.

[Liouville]

Получается, что утверждение задачи из Зорича ошибочное? И существуют непрерывные коммутирующие отображения отрезка в себя, не имеющие общей неподвижной точки, а в обеих статьях

AGu в сообщении #312748 писал(а):

[1] W.M.Boyce. Commuting functions with no common fixed point.
[2] J.P.Huneke. On common fixed points of commuting continuous functions on an interval.

строится пример таких функций, да?

Кстати, работы довольно старые - 1969г. Может быть есть какие-нибудь более простые примеры?
Интересно, а при каких условиях на функции общая неподвижная точка все же будет?