Существует ли производная в точке соединения двух парабол?

[errnough]

Возникла задача моделирования физического процесса. Очень точно описывается функцией, где две параболы, одна ветвями вверх, а вторая ветвями вниз, разрезаны по точкам экстремумов, и соединены.

$\left\{\begin{matrix}k_1 x-k_2 x^2, & x\in [0,x_1]\\-k_2 x^2+b, & x\in [x_1,x_2]\end{matrix}\right$
Здесь:
$k_1 x$ — смещение первой параболы по оси X ;
$x_1$ — экстремум (максимум) первой параболы, и минимум для второй параболы;
$x_2$ — просто симметричная точка для $x_1$,
$b$ — смещение второй параболы по оси Y.

Теперь то же самое, но в более "страшном" виде, чтобы избавиться от $x_1, x_2, b$:
$\left\{\begin{matrix}k_1 x-k_2 x^2, & x\in [0,\frac{k_1}{2 k_2}]\\-k_2(\frac{k_1}{2 k_2}-x)^2+\frac{(k_1)^2}{4 k_2}, & x\in [\frac{k_1}{2 k_2},\frac{\sqrt{2}k_1}{k_2}]\end{matrix}\right.$

Для $k_1=5,k_2=2$ получается следующий график:


Собственно сам вопрос: существует ли производная функции, кусочно составленной из парабол, в точке $x=\frac{k_1}{2 k_2}$, то есть, в точке соединения двух парабол? На мой взгляд, не существует.

[ИСН]

А что с ней случилось? Вот определение, вот касательная...

[ewert]

errnough в сообщении #313091 писал(а):

существует ли производная функции, кусочно составленной из парабол,

Есть теорема (вытекающая, например, из теоремы Лагранжа). Пусть функция непрерывна на замкнутом промежутке $[a;b]$ и дифференцируема на открытом промежутке $(a;b)$. И пусть производная имеет конечный предел при приближении к концам. Тогда на этих концах существуют односторонние производные, равные этим самым пределам. Вот этой теоремой и пользуйтесь.

[Padawan]

Зачем теорема? Правая парабола дифференцируема - есть предел слева, левая парабола дифференцируема - есть предел справа. Раз они равны , то есть просто предел - функция дифференцируема.

[errnough]

Несомненно, что функция непрерывна в точке $x=\frac{k_1}{2 k_2}=1.25$. Но непрерывность в точке недостаточна для существования в ней производной. По реальному физическому процессу, в данной точке скорость нарастания становится ровно ноль. По графику этой функции тоже видно, что скорость нарастания ноль. Ваши мнения я тоже вижу, и они о том же. Поэтому ошибки быть не может.

Неясность, правда, остается — с разных сторон функция ведет себя противоположно, сначала скорость нарастания уменьшается, в этой точке перелом, а потом скорость нарастает. Если выражаться образно, касательная в точке абсолютно неустойчива.
Стоп. Я не о том говорю, о чем думал. Я уже думал о второй производной...

[ewert]

errnough в сообщении #313134 писал(а):

Неясность, правда, остается — с разных сторон функция ведет себя противоположно, сначала скорость нарастания уменьшается, в этой точке перелом, а потом скорость нарастает.

А Вы возьмите $y=x^3$ -- там ровно тот же эффект. И что?...

errnough в сообщении #313134 писал(а):

Если выражаться образно, касательная в точке абсолютно неустойчива.

Явный перебор с образностью. Что значит "неустойчива"?...

[errnough]

А по второй производной можно здесь же?
$x^3$ выглядит похоже, вот только с перегибом в ноле ничего не могу поделать. Как его оторвать и перенести в положительный квадрант, похоже только разрезанием?

[paha]

errnough в сообщении #313091 писал(а):

$\left\{\begin{matrix}k_1 x-k_2 x^2, & x\in [0,x_1]\\-k_2 x^2+b, & x\in [x_1,x_2]\end{matrix}\right$

здесь все-таки $k_2 x^2+b, & x\in [x_1,x_2]$

поэтому вторая производная терпит разрыв -- "фазовый переход:^)"

[Maslov]

Две квадратичные параболы $y_1(x) = a_1 x^2 + b_1 x + c_1$ и $y_2(x) = a_2 x^2 + b_2 x + c_2$ при $a_1 \neq a_2$ гладко по второй производной не склеить.
$y_1''(x) = 2a_1, y_2''(x) = 2a_2$, поэтому у второй производной неизбежно будет разрыв.

[errnough]

Maslov в сообщении #313153 писал(а):

поэтому у второй производной неизбежно будет разрыв

Да. Всё так. Первая производная для этой склееной функции, в точке $x=\frac{k_1}{2 k_2}=1.25$ существует. Вторая производная в этой же точке уже не существует, хотя и непрерывна в этой точке. В аналитическом виде, конкретно для этих $k_1, k_2$, $f'(x)=|5-4x|$.

Хотя вот эта операция склейки что-то подозрительное в себе содержит даже для первой производной...
Попробуем склеить три куска. Пусть у нас в процессе есть ступенька:

$\left\{\begin{matrix}k_1 x-k_2 x^2, & x\in [0,x_1]\\c & x\in [x_1,x_2]\\k_2 x^2+b, & x\in [x_2,x_3]\end{matrix}\right$
Где $c$ — это зеленая площадка, задаваемая вторым уравнением:



А теперь, в двух этих точках, там, где зеленая площадка соединяется с кусками парабол, производные есть? Эти же точки задают и отрезок зеленой прямой. А у нее на концах (и везде) производная существует? Она равна нулю?

[Yu_K]

Топик напомнил старенькую задачку от 8 лисов
http://www.8foxes.com/Home/187 выбрать точку отрыва - чтобы дальность полета была максимальна.

[Maslov]

errnough в сообщении #313181 писал(а):

А теперь, в двух этих точках, там, где зеленая площадка соединяется с кусками парабол, производные есть?

Есть.

errnough в сообщении #313181 писал(а):

Эти же точки задают и отрезок зеленой прямой. А у нее на концах (и везде) производная существует? Она равна нулю?

Да.

Только у Вас с красной веткой напутано.

errnough в сообщении #313181 писал(а):

Пусть у нас в процессе есть ступенька:

$\left\{\begin{matrix}k_1 x-k_2 x^2, & x\in [0,x_1]\\c & x\in [x_1,x_2]\\-k_2 x^2+b, & x\in [x_2,x_3]\end{matrix}\right$

У синей ветки коэффициент при $x^2$ отрицательный, а у красной -- положительный. Равными они быть никак не могут.

[errnough]

Maslov в сообщении #313192 писал(а):

У синей ветки коэффициент при $x^2$ отрицательный, а у красной -- положительный.

Да, спасибо, не заметил, где-то скопипастил криво. Напрямую из рисующего кода не хотелось копировать, долго причесывать. Правильно так:
$\left\{\begin{matrix}k_1 x-k_2 x^2, & x\in [0,x_1]\\c & x\in [x_1,x_2]\\k_2 x^2+b, & x\in [x_2,x_3]\end{matrix}\right$

[Maslov]

errnough в сообщении #313203 писал(а):

Да, спасибо, не заметил, где-то скопипастил криво. Напрямую из рисующего кода не хотелось копировать, долго причесывать. Правильно так:
$\left\{\begin{matrix}k_1 x-k_2 x^2, & x\in [0,x_1]\\c & x\in [x_1,x_2]\\k_2 x^2+b, & x\in [x_2,x_3]\end{matrix}\right$

Если у Вас $b$ -- постоянный коэффициент, то это тоже не совсем правильно: нам надо сместить абсциссу минимума параболы до прямой $x = x_2$ и поднять его ординату до прямой $y = c$, поэтому уравнение красной ветки получается $y = k_2(x-x_2)^2 + c$.

[errnough]

Ладно, вот код, может, кому из начинающих пригодится. Копи-паст в пустой файл Математики-v6-7, внутри этого кода нажать Shift+Enter. Рисунок ниже.

Begin["ZadMetSn04a`"]; (* График cоединения двух парабол через отрезок *)

Subscript[k, 1]=5.; Subscript[k, 2]=2.; Subscript[t, p]=0.3; (* Инициализация значений *)
podjiom=Plot[
            Subscript[k, 1]x-Subscript[k, 2] x^2,
            {x,0,Subscript[k, 1]/(2 Subscript[k, 2])},
            PlotStyle->{Hue[.7]}
            ]; (* Подъем до максимального значения первой параболы *)

stay=   Plot[
            (Subscript[k, 1])^2/(4 Subscript[k, 2]),
            {x,Subscript[k, 1]/(2 Subscript[k, 2]),Subscript[k, 1]/(2 Subscript[k, 2])+Subscript[t, p]},
            PlotStyle->{Hue[.35]}
            ]; (* отрезок *)

podjiom2=Plot[
             Subscript[k, 2] (Subscript[k, 1]/(2 Subscript[k, 2])+Subscript[t, p]-x)^2+(Subscript[k, 1])^2/(4 Subscript[k, 2]),
            {x,Subscript[k, 1]/(2 Subscript[k, 2])+Subscript[t, p],(Sqrt[2] Subscript[k, 1])/ Subscript[k, 2]+3},
            PlotStyle->{Hue[.07]}
            ];(* продолжение второй параболы *)

Show[{podjiom,spusk,podjiom2}, PlotRange->Automatic, AspectRatio->1, AxesLabel->{"X","Y"}]

End[];

Теперь код надо в человекочитаемый вид перевести и причесать покрасивее, учитывая все замеченные и незамеченные описки :)

$\left\{\begin{matrix}k_1 x-k_2 x^2, & x\in [0,x_1]\\c, & x\in [x_1,x_2+s]\\k_2(x_2+s-x) ^2+c, & x\in [x_2+s,x_3]\end{matrix}\right$
где $c=\frac{(k_1)^2}{4 k_2}$,
$k_0,k_1,k_2\;>0$
$x_1$ — экстремум (максимум) первой параболы;
$x_2+s$ — минимум для второй параболы
$x_3$ — правая граница аргумента для второй параболы,
$s$ — длительность горизонтальной ступеньки,
и $x_1>x_2>x_3$.


Еще интереснее его привести в более симметричный вид, посносив все страшноты в правую часть к условиям:
$\left\{\begin{matrix} k_0 x^0 +k_1 x^1+k_2 x^2, & x\in [0,\frac{k_1}{2 |k_2|}],\; k_0=0,\; k_2<0\\ k_0 x^0 +k_1 x^1+k_2 x^2, & x\in [\frac{k_1}{2 |k_2|},x_2],\;x_2=\frac{k_1}{2 |k_2|} + s,\; k_0=\frac{(k_1)^2}{4 |k_2|},\; k_1=k_2=0\\ k_0 x^0 +k_1 x^1+k_2(x_2-x)^2, & x\in [x_2,x_3],\; k_0=k_1=0, \; k_2>0 \end{matrix}\right.$
при $x_1>x_2>x_3$.

Ну вот, теперь всё вроде правильно :)

Интересно теперь заметить, что первые два уравнения без третьего дадут склееную функцию из первой(синей) параболы, и отрезка (зеленого). И производная будет в точке склейки существовать только при условии $k_0=\frac{(k_1)^2}{4 |k_2|}$.