неопределённый интеграл

[Ylyasha]

Помогите найти интеграл
$\int {\frac{{dx}}{{x^3 + 1}}} $.


$\int {\frac{{dx}}{{x^3 + 1}}} = \int {\frac{{dx}}{{(x + 1)(x^2 - x + 1)}}} $. А как дальше?

[Alexey1]

А дальше раскладывайте подыинтегральное выражение на простые дроби.

[Ylyasha]

$\begin{array}{l} \int {\frac{{dx}}{{(x + 1)(x^2 - x + 1)}}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x^2 - x + 1}}; \\ A \cdot \left( {x^2 - x + 1} \right) + B \cdot \left( {x + 1} \right) = A \cdot x^2 - A \cdot x + A + B \cdot x + B = \\ = A \cdot x^2 + x \cdot \left( {B - A} \right) + A + B = 1 \\ \end{array}$.
Как дальше?

[ewert]

Ylyasha в сообщении #313387 писал(а):

Как дальше?

Никак. Вторая дробь неверно записана.

[Alexey1]

Неправильно. Так как дискриминант $x^2-x+1=0$ меньше нуля, то разложение в простые дроби надо искать в виде $\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$.

[Ylyasha]

$\begin{array}{l} A = \frac{1}{3};B = - \frac{1}{3};C = \frac{2}{3}; \\ \int {\frac{{dx}}{{x^3 + 1}}} = \frac{1}{3} \cdot \int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} + \frac{1}{3} \cdot \int {\frac{{2 - x}}{{x^2 - x + 1}}} dx = \frac{1}{3} \cdot \ln \left| {x + 1} \right| + ??? \\ \end{array}$.
Не мого найти
$\int {\frac{{2 - x}}{{x^2 - x + 1}}} dx$. Получается какой-то ужас.

[ewert]

Ylyasha в сообщении #313399 писал(а):

Не мого найти . Получается какой-то ужас.

В таком случае правильнее говорить "ужос", а не "ужас".

Воистину ужос. Вас же непременно этому учили. Выделите в знаменателе полный квадрат и сделайте соответствующую линейную замену переменной.

[Ylyasha]

$\begin{array}{l} \int {\frac{{2 - x}}{{x^2 - x + 1}}} dx = - \int {\frac{{x - 2}}{{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}}dx} = - \int {\frac{{(x - \frac{1}{2} - \frac{3}{2})}}{{(x - \frac{1}{2})^2 + \left( {\sqrt {\frac{3}{4}} } \right)^2 }}dx} = [t = x - \frac{1}{2}] = \\ = - \int {\frac{{t - \frac{3}{2}}}{{t^2 + \frac{3}{4}}}} dt; \\ \end{array}$

[Alexey1]

Теперь пишите этот интеграл как разность двух интегралов. Первый вычисляете подстановкой, а второй это табличный (можно привести к виду $\int \frac{1}{1+x^2}dx$).

[Ylyasha]

$ \int {\frac{{t - \frac{3}{2}}}{{t^2 + \left( {\sqrt {\frac{3}{4}} } \right)^2 }}} dt = \int {\frac{{tdt}}{{t^2 + \left( {\sqrt {\frac{3}{4}} } \right)^2 }}} - \frac{3}{2} \cdot \int {\frac{{dt}}{{t^2 + \left( {\sqrt {\frac{3}{4}} } \right)^2 }}} = \frac{{\ln (t^2 + \frac{3}{4})}}{2} - \frac{3}{2} \cdot arctg\left( {\frac{4}{3} \cdot x} \right)$

[Alexey1]

Второй интеграл вычислен не правильно.

[Ylyasha]

$ - \int {\frac{{t - \frac{3}{2}}}{{t^2 + \frac{3}{4}}}} dt = - \int {\frac{{tdt}}{{t^2 + \left( {\sqrt {\frac{3}{4}} } \right)^2 }}} + \frac{3}{2} \cdot \int {\frac{{dt}}{{t^2 + \left( {\sqrt {\frac{3}{4}} } \right)^2 }}} = - \frac{{\ln (t^2 + \frac{3}{4})}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot arctg\left( {\frac{4}{3} \cdot t} \right) = 2 \cdot arctg\left( {\frac{4}{3} \cdot t} \right) - \frac{1}{2} \cdot \ln (t^2 + \frac{3}{4})$.Теперь правильно?

[Alexey1]

Нет не правильно. Смотрите для $a \neq 0$
$\int \frac{1}{t^2+a^2}dt=\int \frac{1}{a^2(\frac{t^2}{a^2}+1)} dt=$
$=\frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\frac{t^2}{a^2}+1}dt=[z=\frac{t}{a}]=$
$=\frac{1}{a} \int \frac{1}{z^2+1}dz=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C$.

[Mitrius_Math]

Ylyasha, почитайте хотя бы "Конспект лекций по высшей математике" Д. Письменного, там это подробно расписано.