Сходится ли ряд в пространстве C'[0,1]?

[LTU]

Доброго времени суток! Готовлюсь к экзамену по функциональному анализу, есть некоторые неясности. Задание следующее:
Сходится ли последовательность
x_n(t)=\frac{\ln(1+n^2t^2)}{2n^2}
в пространстве (непрерывные, 1 раз диф. функции)
$\mathbb{C}$^1[0,1]?
На данный момент дошел до следующей точки. Вышеуказанное пространсто полное (тут тоже вопрос, можно ли этот факт использовать без доказательства?), следовательно, если докажем, что последовательность фундаментальна (Коши), то она будет и сходящейся. То есть, надо найти
N_\varepsilon $ такое, при котором$$ d(x_n, x_m) < \varepsilon $при всех$$ n,m \ge N_\varepsilon
Расстояние привел к виду
d(x_n, x_m) = \sup_{0 \ge t \ge 1}|\frac{ln(1+n^2t^2)}{2n^2}-\frac{ln(1+m^2t^2)}{2m^2}| + \sup_{0 \ge t \ge 1}|\frac{t}{1+n^2t^2}-\frac{t}{1+m^2t^2}|
Дальше пока ступор

[Полосин]

Изучите $x'_n(t)$.

[neo66]

LTU в сообщении #312647 писал(а):

Сходится ли последовательность
x_n(t)=\frac{\ln(1+n^2t^2)}{2n^2}
в пространстве (непрерывных, 1 раз диф. функций)$\mathbb{C}$^1[0,1]?

А какая там норма, в этом пространстве, напомните, будьте добры.

[paha]

LTU в сообщении #312647 писал(а):

Вышеуказанное пространсто полное (тут тоже вопрос, можно ли этот факт использовать без доказательства?)

зачем доказательство? равномерная непрерывность

а насчет фундаментальности... можно и супремумы те вычислить. А можно и угадать к чему последовательность эта сходится

[ewert]

LTU в сообщении #312647 писал(а):

Вышеуказанное пространсто полное (тут тоже вопрос, можно ли этот факт использовать без доказательства?),

Конечно можно. Не доказывать же в каждой задаче относящиеся к ней теоремы. Другое дело, что не нужно.

LTU в сообщении #312647 писал(а):

следовательно, если докажем, что последовательность фундаментальна (Коши), то она будет и сходящейся.

Это уж чересчур изысканно. Поточечная сходимость очевидна. Максимумы же самих функций очевидны, а производных -- легко при желании вычисляются и ещё легче грубо оцениваются сверху.

[VoloCh]

neo66 в сообщении #312658 писал(а):

А какая там норма, в этом пространстве, напомните, будьте добры.

Что-то типа $||x(\cdot)||_{C^1}=|x(0)|+||x'(\cdot)||_C$.

И посему видно, что $||x_n||_{C^1}=n^{-1}\to0$.

[ewert]

Стандартная норма в пространстве Це-один -- это равномерная норма самой функции плюс равномерная норма производной. Или (что эквивалентно) -- максимум из них. Все прочие теоремы вложения -- это уже изыски.

[neo66]

А какие тут проблемы? Если последоватнльность сходится в этой норме, то она сходится и поточечно. То есть сходиться она может только нулевой функции. А $x'_n(1)=1$, как учил нас Полосин. Противоречие.

[ewert]

neo66 в сообщении #313070 писал(а):

А $x'_n(1)=1$, как учил нас Полосин.

Он нас этому не учил, слава богу.

-- Вс апр 25, 2010 11:53:06 --

VoloCh в сообщении #313024 писал(а):

И посему видно, что $||x_n||_{C^1}=n^{-1}\to0$.

Во-первых, это не видно (а видно не совсем это). Во-вторых, это не нужно -- всё гораздо грубее.

[neo66]

neo66 в сообщении #313070 писал(а):

А $x'_n(1)=1$, как учил нас Полосин.

Пардон, заскок. $|x'_n(t)|\leq \frac 1 {2n}$. И $|x_n(t)|\leq \frac 1 {n}$ Так, что $x_n$ сходится-таки к нулевой функции.

[ewert]

Ладно, вот как надо было.

Функции неотрицательны и монотонно возрастают, поэтому для равномерного стремления к нулю самих функций достаточно убедиться в стремлении к нулю их значений на правом конце (в единице), что очевидно.

Производные придётся посчитать, ничего не поделаешь: $x'_n(t)={t\over1+n^2t^2}$. Теперь можно найти точку экстремума (это, естественно, $t={1\over n}$), но не нужно -- в более общей ситуации это не пройдёт. Интуитивно очевидно, что вне окрестности нуля функции малы за счёт знаменателя, а в окрестности за счёт числителя. Формализуется это так. Берём произвольную последовательность $\varepsilon_n\to0$ такую, что $n^2\varepsilon_n^2\to+\infty$. Тогда левее $\varepsilon_n$ равномерно стремятся к нулю числители и не малы знаменатели, а правее -- равномерно стремятся к бесконечности знаменатели и ограниченны числители. Соответственно, равномерно стремится к нулю и вся производная (на всём отрезке).

[VoloCh]

ewert в сообщении #313145 писал(а):

Функции неотрицательны и монотонно возрастают, поэтому для равномерного стремления к нулю самих функций достаточно убедиться в стремлении к нулю их значений на правом конце (в единице), что очевидно.

В $C^1$?? По-моему, этого недостаточно или вы говорите уже про производные?

А норма и правда, равна $||x_n||_{C^1}=\frac1{2n}$

[ewert]

VoloCh в сообщении #313264 писал(а):

ewert в сообщении #313145 писал(а):

Функции неотрицательны и монотонно возрастают, поэтому для равномерного стремления к нулю самих функций достаточно убедиться в стремлении к нулю их значений на правом конце (в единице), что очевидно.

В $C^1$?? По-моему, этого недостаточно или вы говорите уже про производные?

Я говорю вот именно что про сами функции. Про производные -- следующий абзац. (У Вас неудачный вариант определения нормы для этого пространства, с ним неудобно работать.)