Помогите с доказательством неравенства

[gulya98]

Добрый день! Подскажите доказательство неравенства:
$\frac{1^2*3^2*5^2*...*999^2}{2^2*4^2*6^2*...*1000^2}<\frac{1}{1001}$
Пробовали выражать через 2+n. В ответах рекомендовано возвести в квадрат.
Спасибо.

[ИСН]

Это формула Валлиса почти в чистом виде.

[ewert]

Валлис -- прекрасен. Но, к сожалению, он -- предел. И как таковой для д-ва неравенства непригоден.

Попробуйте доказать просто по индукции, что $\mathop{\Pi}\limits_{k=1}^n\left(\dfrac{2k-1}{2k}\right)^2<\dfrac{1}{2n+1}$.

(Оффтоп)

Соотв., задаче -- явно лет 9-10.

[arqady]

gulya98 в сообщении #313044 писал(а):

Добрый день! Подскажите доказательство неравенства:
$\frac{1^2*3^2*5^2*...*999^2}{2^2*4^2*6^2*...*1000^2}<\frac{1}{1001}$
Пробовали выражать через 2+n. В ответах рекомендовано возвести в квадрат.
Спасибо.

Поcкольку
$\frac{1\cdot3}{2^2}\cdot\frac{3\cdot5}{4^2}\cdot...\cdot\frac{999\cdot1001}{1000^2}<1.$

[ИСН]

Мда. Бывает.
Simple things first.

[gulya98]

Всем огромное спасибо.