З-н сохранения энергии.

[Marina]

Задача:
Легкая пружина длины $l$ с коэффициентом жесткости $k$ стоит вертикально на столе. С высоты $H$ над столом на пружину падает небольшой шарик массой $m$. Какую максимальную скорость будет иметь шарик при своём движении вниз? Сопротивлением воздуха принебречь.


По закону сохранения энергии: $\frac {m\cdot v^2}{2}+m\cdot g\cdot (H-l)=k\cdot l^2$, но не уверена в правильности. Подскажите, пожалуйста.

[Maslov]

Объясните, пожалуйста, словами, почему Вы такой формулой пользуетесь.
И подумайте, в какой момент скорость шарика будет максимальной?

[Marina]

Цитата:

в какой момент скорость шарика будет максимальной?

Когда $m\cdot g=k\cdot l$
Я поняла, что первый раз написала какой-то бред.
А вот это: $m\cdot g\cdot (H-l)=\frac {m\cdot v^2}{2}+\frac {k\cdot l^2}{2}$?

[Maslov]

$l$ -- это константа (полная длина пружины). Вы, наверное, все-таки имели в виду сжатие пружины.
И ещё раз: объясняйте, пожалуйста, формулы словами.

[Marina]

Максимальную скорость мячик будет иметь в тот момент, когда сила тяжести мячика будет равна силе упругости пружины - $m\cdot g=k\cdot \Delta l$.
Полная механическая энергия: кинетическая - $\frac {m\cdot v^2}{2}$ и потенциальная - $m\cdot g\cdot (H-l)$ энергия мячика равна работе силы упругости $k\cdot l^2$ пружины.

[Marina]

$\frac {m\cdot v^2}{2}-m\cdot g\cdot (H-l)=\frac {m^2\cdot g^2}{k}$?

[Maslov]

Во-первых, работе силы упругости пружины равна не полная механическая энергия мячика, а изменение полной механической энергии мячика.
Во-вторых, чему равна работа силы упругости пружины на момент, когда мячик достигает максимальной скорости (т. е., когда деформация пружины равна $\Delta l$)?
В-третьих, напишите, пожалуйста, выражения для полной механической энергии мячика в начальный момент времени и в момент достижения им максимальной скорости.

[Marina]

Цитата:

работа силы упругости пружины на момент, когда мячик достигает максимальной скорости

$A=\frac {m\cdot v^2}{2}-(m\cdot g (H-l) + \frac {k\cdot l^2}{2})$ ???

[Maslov]

Давайте договоримся: если Вы будете писать голые формулы без каких-либо обоснований, я буду отвечать только "да" или "нет".
В данном случае -- нет.

Ещё раз: чему равна работа, необходимая для деформации пружины жёсткостью $k$ на величину $\Delta l$ из исходного состояния?

[Marina]

Цитата:

... напишите, пожалуйста, выражения для полной механической энергии мячика в начальный момент времени и в момент достижения им максимальной скорости

Если считать, что в начальный момент потенциальная энергия шарика равна $m\cdot g\cdot H$, а кинетическая - равна нулю. В момент же максимального сжатия пружины, кинетическая энергия равна $\frac {k\cdot\ l^2}{2}$, а потенциальная - нулю. Следовательно работа $A=E_2 - E_1=\frac {k\cdot l^2}{2}- m\cdot g\cdot H$?

[Maslov]

Какое отношение момент максимального сжатия пружины имеет к моменту достижения мячиком максимальной скорости (о котором говорится в условии)?
В момент касания мячиком пружины на него начинает действовать возрастающая сила упругости пружины, и в момент времени, когда эта сила уравновешивает силу тяжести, мячик перестаёт ускоряться и начинает замедляться. Вы же абсолютно правильно написали

Marina в сообщении #312020 писал(а):

Максимальную скорость мячик будет иметь в тот момент, когда сила тяжести мячика будет равна силе упругости пружины - $m\cdot g=k\cdot \Delta l$.

Вот и рассмотрите два момента времени: начальный (кинетическая энергия $0$, потенциальная (в поле тяжести) -- $m g H$) и момент достижения мячиком максимальной скорости.

А то, что Вы написали в предыдущем сообщении, относится к предельному случаю, когда коэффициент жёсткости пружины настолько мал, что мячик продолжает ускоряться вплоть до полного сжатия пружины, т. е. $k < \dfrac { m g} l$.

[Marina]

Шарик находится над пружиной на высоте $H$ над столом. Его кинетическая энергия в этот момент равна 0, потенциальная энергия (в поле тяжести) равна - $m\cdot g\cdot H$ Шарик начинает падать. Его энергия в этот момент равна сумме кинетической и потенциальной энергий - $\frac {m\cdot v_0^2}{2}+m\cdot g\cdot (H-l)$?
Когда шарик упадёт на пружину пружина начинает деформироваться на $\Delta l$ под действием силы тяжести шарика, а со стороны пружины на шарик действует сила упругости и гасит скорость шарика. Как только эти силы будут уравновешены скорость шарика станет максимальной. Мячик отскочит от пружины?

[Maslov]

Marina в сообщении #312360 писал(а):

Шарик начинает падать. Его энергия в этот момент равна сумме кинетической и потенциальной энергий - $\frac {m\cdot v_0^2}{2}+m\cdot g\cdot (H-l)$?

В какой "в этот"? В момент начала падения кинетическая энергия -- $0$, потенциальная $m g H$.

Marina в сообщении #312360 писал(а):

Как только эти силы будут уравновешены скорость шарика станет максимальной. Мячик отскочит от пружины?

Нет. Как только эти силы будут уравновешены, скорость мячика перестанет увеличиваться и начнёт уменьшаться. Потом в какой-то момент скорость мячика станет нулевой, потом пружина начнёт разжиматься, и только когда-то потом мячик отскочит от пружины. Только к рассматриваемой задаче это не имеет никакого отношение. Ваше дело -- рассмотреть момент максимальной скорости.

[Marina]

Цитата:

скорость мячика перестанет увеличиваться и начнёт уменьшаться

Значит скорость мячика увеличивается пока он не каснётся пружины. А скорость его максимальна в точке $H-l$? Под действием силы упругости пружины скорость шарика начинает гаснуть и доходит до нуля. А затем пружина начинает расжиматься под действием потенциальной энергии $\frac {k\cdot \Delta L^2}{2}$?

[Maslov]

Marina в сообщении #312385 писал(а):

Значит скорость мячика увеличивается пока он не каснётся пружины.

И потом ещё некоторое время (до достижения условия $m g $ = $k \Delta l$.

Marina в сообщении #312385 писал(а):

А скорость его максимальна в точке $H-l$?

Извините, я вообще не понимаю, откуда Вы всё время берёте это $H-l$. Вы откуда высоту отсчитываете?
Скорость будет максимальна на высоте $l - \Delta l$, где $\Delta l = m g / k$.