Наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах

[tapos]

Незначительно сокращенный вариант моей статьи, опубликованный в научном журанале:
ISSN 1729-3707, Объединенный научный журнал (The integrated scientific joornal), 2010, №2 (237), февраль, М., Агентство научной печати (АНП), 2010, с.53. (тел. ред.: 495-797-91-16)

Великая теорема (или уравнение) формулируется следующим образом.
Пусть дано уравнение:
(1) a^n + b^n = c^n
Необходимо доказать, что это уравнение не имеет решений в натуральных числах при натуральном показателе степени. (Натуральные числа – это числа 1, 2, 3, …). Как видим, уравнение очень простое по форме. Однако элеметарного доказательства до сих пор не найдено. Мы попрубуем разыскать наименьшие решения этого уравнения. Это означает, что мы будем исследовать метрические свойства чисел (величину чисел и их количественные связи). При этом принимаем без доказательства (в силу его существования) следующие положения:
1.Если уравнение Ферма имеет множество решений в области натуральных чисел, то среди этих решений существует наименьшее решение в силу того, что натуральный ряд имеет наименьшее значение равное единице.
2.Если уравнение Ферма имеет одно единственное решение в области натуральных чисел, то это решение является наименьшим.
3.Если уравнение Ферма не имеет ни одного решения в области натуральных чисел, то наименьшее решение уравнения Ферма не существует.
Эти положения являются простым следствием аксиом натурального ряда чисел.
Аксиомы натурального ряда в полном объеме изложены в книге «Энциклопедия элементарной математики.» Под ред. П.С.Александрова, А.И.Маркушевича и А.Я.Хинчина. Книга первая. Арифметика. Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва 1951 Ленинград, 448 стр. с илл.
Рассмотрим уравнение (1).
Область определения для всех решений этого уравнения –натуральные числа
(2) a >= 1 b >= 1 c >= 1
Число ноль не является натуральным числом и поэтому нами не рассматривается.
Пары чисел (a, b), (a, c) и (b, c) взаимно просты, то есть не имеют общих делителей. Если одна из пар имеет общий делитель, то третье число также должно иметь этот делитель. В этом случае уравнение можно сократить на общий делитель и продолжать искать решение уравнения во взаимно простых числах. Следовательно, все три числа a, b и c различны по величине, так как равные числа имеют общий делитель.
Рассмотрим сумму
(3) a^n + b^n = S
Положим для определенности
(4) a > b
Наибольшее значение S достигает при увеличении числа b до a, то есть при b = a и составляет
(5) S = a^n + b^n = a^n + a^n = 2a^n
Наименьшее значение S достигает при уменьшении числа a до b, то есть при a = b и составляет
(6) S = a^n + b^n = b^n + b^n = 2b^n
Поскольку S = c и a, b, c различные по величине числа, то получаем следующее неравенство
(7) 2b^n < c^n < 2a^n
Числа a,b,c являются натуральными, поэтому неравенство не изменяется при извлечении корня n –й степени:
(8) 2^{1/n}b < c < 2^{1/n}a
С другой стороны, число S является суммой двух различных целых положительных чисел, поэтому каждое из чисел суммы меньше S
(9) b^n < S = c^n
(10) a^n < S = c^n
Числа a, b, c являются натуральными, поэтому неравенство не изменяется при извлечении корня n –й степени:
(11) b < c
(12) a < c
Обобщая неравенства 2, 4, 8, 11 и 12 получим:
(13) 1 <= b < a < c < 2^{1/n}a
Таким образом, наименьшее решение уравнения (1) определяется, в первую очередь, величиной числа b, затем величиной числа a.
Из уравнения (1) найдем b^n
(14) b^n = c^n - a^n = (c - a)(c^{n-1}+ c^{n-2}a + … + ca^{n-2} + a^{n-1})
Если предположить, что c^n не изменяется, то разность c^n - a^n достигает наименьшего значения при максимальной величине a^n. Поскольку c и a являются натуральными числами и c > a, то максимальное значение a равно c - 1 или c - a = 1. Следовательно:
(15) c - a = 1
(16) c^{n-1}+ c^{n-2}a + … + ca^{n-2} + a^{n-1} = t
Число t в уравнении (16) является целым положительным числом, равным сумме n натуральных чисел. Следовательно, величина t при прочих равных условиях возрастает при увеличении показателя степени n. Это означает, что минимальное значение числа b зависит от величины показателя степени n. Чем больше величина показателя степени n, тем больше минимальное значение числа b.
Из равенста (15) следует
(17) c = a + 1
Таким образом, если существует решение уравнения (1), то должно существовать решение этого уравнения для соседних чисел a и c.
Найдем минимальное значение числа a при условии, что уже известно минимальное значение числа b. Для этого из уравнения (1) найдем a^n
(18) a^n = c^n - b^n = (c - b)(c^{n-1}+ c^{n-2}b + … + cb^{n-2} + b^{n-1})
Если предположить, что c^n не изменяется, то разность c^n - b^n достигает наименьшего значения при максимальной величине b^n. Поскольку c и b являются натуральными числами и c > b, то максимальное значение b равно c - 1. Но это невозможно в силу того, что мы ранее уже показали, что число a равно c - 1. Поскольку a > b, то ближайшим натуральным числом, при котором b^n достигает наименьшего значения, является c - 2 или c - b = 2. Следовательно:
(19) c - b = 2
(20) c^{n-1}+ c^{n-2}b + … + cb^{n-2 }+ b^{n-1} = w
Число w в уравнении (19) является целым положительным числом, равным сумме n натуральных чисел. Следовательно, величина w при прочих равных условиях возрастает при увеличении показателя степени n. Это означает, что минимальное значение числа a зависит от величины показателя степени n. Чем больше величина показателя степени n, тем больше минимальное значение числа a.
Из равенста (19) следует
(21) c = b + 2
Из уравнения 17 вычтем уравнение (21) получим
(22) a + 1 = b + 2 (0 = a + 1 - b - 2)
Откуда следует
(23) a = b + 1
Таким образом, если существует решение уравнения (1), то должно существовать решение этого уравнения для трех подряд идущих чисел b, c и a. Причем для каждого показателя степени n должна существовать своя тройка подряд идущих натуральных чисел, являющаяся минимальным решением уравнения (1).
Складывая почленно неравенства (11) и (12) получим:
(24) a + b < 2c
Это является верхним пределом для суммы чисел a и b.Докажем, что нижним пределом суммы, является число c.
(25) a + b > c
Доказательство будем вести от противного. Предположим, что a + b <= c. Возведем обе части этого неравенства в степень n.
a^n + C^1 _n a^{n-1}b + C^2 _n a^{n-2}b^2 +…+C^{n-1} ab^{n-1} + b^n =< c^n

Учитывая равенство (1), сократим обе части на равные слагаемые и получим:
C^1 _n a^{n-1}b + C^2 _n a^{n-2}b^2 +…+C^{n-1} ab^{n-1} =< 0

В левой части расположена сумма натуральных чисел. Эта сумма всегда больше 0. Следовательно, предположение о том, что a + b <= c, оказалось ошибочным. Тем самым доказано неравенство 25. Обращаем внимание на то, что это доказательство основано на возведение в степень, большую единицы. Таким образом, дальнейшие выкладки предполагают, что показатель степени больше единицы. Объединим неравенство 24 и неравенство 25, получим:
(26) c < a + b < 2c
Неравенство 26 можно превратить в равенство, прибавив к c натуральное число m.
(27) a + b = c + m
Из этого равенства следует
(28) b - m = c - a
Учитывая равенство (17), получим
(29) b - m = 1
Откуда следует
(30) b = m + 1
Это означает, что число b > m
Таким образом, неравенство (13) можно записать следующим образом:
(31) 1 <= m < b < a < c < 2^{1/n}a
Выразим числа b, a, c через число m и подставим в уравнение (1). Получим уравнение от двух переменных, решения которого являются наименьшими решениями уравнения Ферма (1):
(32) (m + 1)^n + (m + 2)^n = (m + 3)^n
Это уравнение можно использовать для доказательства отсутствия наименьшего решения, а, следовательно, для отсутствия решений вообще для n = 4. Сделаем замену переменных m + 2 = p и подставим в уравнение (32)
(p - 1)^4 + p^4 = (p +1 )^4
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
p^4 - 4p^3 + 6p^2 - 4p + 1 + p^4 = p^4 + 4p^3 + 6p^2 + 4p +1
p^4 - 8p^3 - 8p = 0
p(p^3 - 8p^2 - 8) = 0
p = 0 m + 2 = 0 m = -2 не является решением, так как не является натуральным числом.
p^3 - 8p^2 - 8 = 0 целочисленные решения являются делителем свободного члена (числа 8)
Возможные решения p = 1, 2, 4, 8.
Ни одно из этих чисел не удовлетворяют уравнению. Следовательно, наименьшее решение для n = 4 отсутствует и, следовательно, решения для n = 4 отсутствуют вообще.
Для примера возьмем n = 2 и произведем аналогичные вычисления:
p^2 - 2p + 1 + p^2 = p^2 + 2p +1 или p^2 - 4p = 0
p = 0 m + 2 = 0 m = -2 не является натуральным числом
p = 4 m + 2 = 4 m = 2 является решением уравнения
b = 2 + 1 = 3
a = 2 + 2 = 4
c = 2 + 3 = 5
Наименьшее решение для n = 2 существует и, следовательно, уравнение Ферма для n = 2 имеет решения. Найти все решения для n = 2 с помощью этого метода невозможно.
Для дальнейшего нам понадобятся следующие свойства биноминальных коэффициентов:
1.Биноминальные коэффициенты являются натуральными числами при натуральном показателе степени n.
2.Для каждого натурального n все биноминальные коэффициенты, за исключением коэффициентов при переменных в n – й степени, нацело делятся на n только в том случае, если n является простым числом.
Доказательство этих свойств изложены в книге: В.А.Успенский. «ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ.» М., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979 г., 48 стр. с илл.
Доказательства основываются на том, что:
а) числа треугольника Паскаля совпадают с биноминальными коэффициентами;
б) числа треугольника Паскаля вычисляются путем суммирования целых чисел и поэтому являются целыми числами. Следовательно, биноминальные коэффициенты являются целыми числами;
в) числа треугольника Паскаля можно вычислять через факториалы. Вычисление чисел треугольника Паскаля через факториалы является второй формой вычисления чисел треугольника Паскаля и, соответственно, биноминальных коэффициентов.
Возведем обе части уравнения 27 в степень n, получим:
a^n +C^1 _n a^{n-1}b +…+C^{n-1} _n ab^{n-1} + b^n = c^n + C^1 _n c^{n-1}m +…+C^{n-1} _n cm^{n-1} + m^n
Учитывая уравнение на рис.1, получим:
C^1 _n a^{n-1}b +…+C^{n-1} _n ab^{n-1} = C^1 _n c^{n-1}m +…+C^{n-1} _n cm^{n-1} + m^n
Поскольку все слагаемые, за исключением m^n, содержат в качестве множителя биноминальный коэффициент, а каждый биноминальный коэффициент при простом n делится на это число n, то будем искать минимальные решения уравнения (1) только для простых n. В этом случае m^n должно делиться на простое n. Поскольку n является простым числом, то на n должно делиться не только число m^n, но и число m. Следовательно, m >= n. Наименьшее значение числа m равно показателю степени n. Таким образом, уравнение (32) для простых показателей степени n принимает вид:
(33) (n + 1)^n + (n + 2)^n = (n + 3)^n
Уравнение (33) при n=2 имеет известное решение 3^2 + 4^2 = 5^2
9 + 16 = 25
При всех остальных простых n = 3, 5, 7, 11 … уравнение не имеет решения, так как:
n – число нечетное;
(n + 1)^n – число четное;
(n + 2)^n – число нечетное;
(n + 3)^n – число четное;
(n + 1)^n + (n + 2)^n – число нечетное
Сумма четного и нечетного чисел слева дает нечетное число, а справа стоит четное число. Поэтому уравнение (33) для простых n > 2 решений не имеет. Препятствием является нарушение четности. Поскольку число 2 является одновременно простым и четным числом, то уравнение (33) имеет решение только для n = 2.
Рассмотрим решение уравнения (33) для n = 3.
(3 + 1)^3 + (3 + 2)^3 = (3 + 3)^3 или 4^3 + 5^3 = 6^3 или 64 + 125 = 216 или 189 = 216
Ясно, что уравнение не имеет решения. Однако, если к 189 прибавить 27 = 3^3, то решение имеется:
3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3
Таким образом, возникает вопрос о разрешимости обобщенного уравнения Ферма:
a^n _1 + a^n _2 + … + a^n _{n-1} + a^n _n = c^n
При каких натуральных показателях степени n сумма n чисел в n – й степени равна n – й степени натурального числа. Решений для n = 2 существует бесконечно много. Для n = 3 существует, по крайней мере, единственное решение: 3, 4, 5, 6. Для остальных показателей степени о решениях ничего не известно.
Рассмотрим уравнение (1). При нечетных n > 2 левая часть уравнения разлагается на множители:
(34) a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1}- a^{n-2}b + … - ab^{n-2} + b^{n-1}) = c^n
Следовательно, c^n без остатка делится на (a + b). Более того, из равенства 27 следует, что c^n без остатка делится на (c + m). Это означает, что (c + m) должно равняться одному из делителей c в некоторой степени. К сожалению, это условие выполнимо.
Пример:
(35) c - нечетное
b=13 a=14 c=15 m=12
b + a = c + m = 13 + 14 = 15 + 12 = 27 = 3^3
c=3*5
c^3 = 3^3 * 5^3 без остатка делится на b + a = 3^3 и на c + m = 27 =3^3
(36) c – четное
b=15 a=17 c=30 m=2
b + a = c + m = 15 + 17 = 30 + 2 = 32 = 2^5
c = 30 = 2 * 3 * 5
c^5 = 2^5 * 3^5 * 5^5 без остатка делится на b + a = 2^5 и на c + m = 32 = 2^5
Выводы:
1.Наименьшие решения уравнения Ферма (1) в натуральных числах существуют и выражаются уравнением (32). Для каждого натурального показателя степени большего единицы существует свое собственное наименьшее решение уравнения Ферма в виде тройки последовательных чисел натурального ряда. Параметр m, входящий в уравнение (32) на единицу меньше наименьшего числа из тройки чисел, являющихся решением уравнения (1). Уравнение (32) имеет решение для n = 2 и следовательно, наименьшее решение уравнения Ферма существует для n = 2 и равно известной тройке чисел 3, 4 и 5. Уравнение (32) не имеет решений для n = 3 и для n = 4, следовательно для этих показателей степени не существует наименьшее решение уравнения (1) и не существует решение вообще.
2.Если показатель степени уравнения Ферма является простым числом, то наименьшие решения уравнения Ферма (1) выражаются уравнением (33). Это уравнение является следствием делимости биноминальных коэффициентов и числа m^n на простое n при простом показателе степени. Уравнение имеет решение только для n = 2 и следовательно, наименьшее решение уравнения Ферма существует только для n = 2 и равно известной тройке чисел 3, 4 и 5. Для всех остальных простых чисел n уравнение (33) решений не имеет в силу нарушения четности – в левой части уравнения (33) получается нечетное число, а в правой части уравнения (33) получается четное число. Следовательно, уравнение Ферма (1) не имеет решений в натуральных числах при простом показателе степени n > 2.
3.Поскольку уравнение (1) не имеет решений для всех простых n > 2, а также не имеет решений для n = 4, то уравнение (1) не имеет решений для всех натуральных n > 2. Это утверждение следует из того, что все составные числа разлагаются на произведение простых чисел. Поэтому заменой переменных можно всегда перейти к уравнению с простым показателем степени. Исключение составляют показатели степени равные степени числа 2. Поскольку для n = 2 решения имеются, то необходимо дополнительно доказать отсутствие решения для n = 4.
4.Причина, по которой ранее не обнаружено приведенное нами доказательство, заключается в том, что при показателе степени 2 левая часть уравнения (1) не разлагается на множители. А при нечетном показателе степени большем двух левая часть уравнения (1) разлагается на множители. Поскольку решения уравнения (1) при n = 2 хорошо известны, а при n > 2 ни одного решения обнаружено не было, то был сделан вывод - причина, по которой уравнение (1) не имеет решений при показателе степени больше двух, заключается в разложении левой части уравнения (1) на множители. Огромные усилия были потрачены на исследования делимости чисел натурального ряда, а не на исследование метрических свойств. Было сделано множество важных открытий, но это не привело к доказательству Великой теоремы Ферма. Приведенные примеры (35) и (36) опровергают возможность доказательства теоремы Ферма на основе использования делимости чисел. Эти примеры являются конструктивным доказательством необоснованности использования делимости чисел для доказательства Великой теоремы Ферма.
5.Поиск наименьших решений позволяет доказать наличие или отсутствие решений, но не дает алгоритма определения всех решений, если таковые имеются. Так для n = 2 наименьшее решение равно 3, 4, 5. Однако, вопрос о наличии других решений остается открытым. Выводы, к которым мы пришли, в значительной степени опираются на аксиомы натурального ряда чисел. В частности, использование нами таких выражений, как: «…соседние числа», «… следующее число», «… ближайшее число» допустимо только на основе аксиом натурального ряда, дающие строгое обоснование для таких выражений. Поэтому невозможно провести аналогичные рассуждения для рациональных, действительных и комплексных чисел в силу невозможности найти для этих чисел соседние, следующие и ближайшие числа. Поскольку наименьшее решение всегда одно единственное, то наименьшее решение выражается через достаточно простые уравнения. Если искать все решения, то простого уравнения для решений найти невозможно.
6.Уравнение (1) является следствием обобщенной теоремы Ферма: при каких натуральных числах n – я степень числа разлагается на сумму n различных (возможно и не различных) чисел в n - й степени. Для n = 2 и для n = 3 решение имеется. Для остальных n решения неизвестны.

[Виктор Ширшов]

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Великая теорема (или уравнение) формулируется следующим образом.
Пусть дано уравнение:
(1) $a^n+b^n=c^n$

tapos. Это Диофантово уравнение, которое, как можно видеть, состоит из 3-х натуральных чисел. ВТФ распространялась только на него, а читается она следующим образом: «Ни куб на два куба, ни квадрато-квадрат, и вообще никакая степень, кроме квадрата, не может быть разложена (нельзя разложить, значит, нельзя поставить знак равенства – В.Ш.) на сумму таких же».

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Таким образом, возникает вопрос о разрешимости обобщенного уравнения Ферма:
$a^n_1+a^n_2...+a^n_{n-1}+a^n_n=c^n$

К ВТФ это уравнение, состоящее из $>3$ натуральных чисел, никакого отношения не имеет.
В суть Вашего доказательства не вникал: это сделают другие.

[Гаджимурат]

tapos в сообщении #306599 писал(а):

15) c - a = 1

Никогда!.Т.как $c-a=r^n$, $c-b=k^n$ и $a+b=v^n/n$,здесь равенства приведены для случая,когда $c$ делится на $n$.И еще:Ваша $m=rkvp$.
Символы $rkv$ Вы уже поняли,а вот для нахождения $p^n$ имеется уравнение и оно довольно длинное и состоит из $n-2$ членов,так для $n=3$ имеем $p=1$,а для
$n=5$ можем написать $p^5=a^2+b^2+(c-a)(c-b)$,здесь все символы Ваши.
Вот и ищите наименьшее решение,учитывая приведенные равенства.
И еще.Для 1 случая Ф. именно $p$ делится на $n$.Вот почему для $n=3$ можно и не доказывать 1 случай Ф.,т.как $p=1$ и не делится на 3.

[anwior]

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Незначительно сокращенный вариант моей статьи, опубликованный в научном журанале:
ISSN 1729-3707, Объединенный научный журнал (The integrated scientific joornal), 2010, №2 (237), февраль, М., Агентство научной печати (АНП), 2010, с.53. (тел. ред.: 495-797-91-16)

tapos
Спасибо! И накормил, и позабавил.
Накормил свом "математ. винигретом". Позабавил тем, что опубликовал. И уж совсем удивило то, что твой бред-винигрет опубликовал журнал, именуемый научним. Смело с их стороны.

[shwedka]

anwior в сообщении #306935 писал(а):

И уж совсем удивило то, что твой бред-винигрет опубликовал журнал, именуемый научним. Смело с их стороны.

да никакой это не научный журнал. Он сам себя называет научным. посмотрите на
http://www.tezarus.com/index.htm

Рецензирования не производится. Заплатите и имеете удовольствие видеть свою фамилию. Наспечатают любую чепуху, что и имеет место в данном случае..

[bot]

(Оффтоп)

Цитата:

Основные рубрики:

(редакция может ввести новую рубрику по желанию автора)

Международные отношения ...
...
Философия
...
Математика
Физика
...

Хачу рубрику Албанская матиматика

[tapos]

Отвечаю на все вопросы, поднятые заинтересованными лицами:
1.Виктор Ширшов предъявляет претензию в части неправильной, по его мнению, формулировки Великой теоремы Фермы. Претензия отвергается как необоснованная. Главное суть, а не форма изложения. По сути никаких претензий не высказано.
2.Гаджимурат считает, что уравнение (15) c – a = 1 неверно, потому что c – a = r^n. Уважаемый господин Гаджимурат! Вы говорите о структуре числа c – a (о каноническом разложении). Я же говорю о величине этого числа. Поэтому Ваша претензия необоснованна. Число может иметь Вашу структуру, а по величине может быть равно 1. На основании изложенного я отвергаю Вашу претензию.
3.Anwior, shwedka, bot претензий по существу не имеют. Остальные претензии описаны великими людьми: Эзопом в басне «Лиса и виноград» и Крыловым в басне «Слон и Моська». Для науки место публикации никакого значения не имеет. Напомню также о том, что публикации в Объединенном научном журнале засчитываются в качестве публикаций при защите диссертаций.
Претензии отвергаю как необоснованные.
Большое спасибо за участие в обсуждении. Если есть вопросы по существу, то я готов ответить.

[lel0lel]

Положив условие $c-a = 1$, вы можете доказать, придя к противоречивым результатам, что не существует такого решения с такими равенствами для $a, b, c$, т.е. главного вашего кандидата. При этом попарная проста чисел даже не нужна. Ну так что же, это ещё только начало, теперь вам необходимо доказать для следующего случая $c-a = 2$, а затем рассмотреть все возможные случаи, соотношения $a, b, c$ в поисках минимального решения. Безусловно, некоторые результаты вами получены, но они уже давно имеют место быть, и получаются более простым и изящным способом нежели ваш.

[tapos]

Мы ищем наименьшее решение в натуральных числах.
Рассмотрим b^n = c^n – a^n
b^n достигает наименьшей величины в натуральных числах при c^n - a^n равному наименьшей величине в натуральных числах. Разность натуральных чисел достигает наименьшей величины при максимальном значении вычитаемого a^n (напомню, что c^n называется уменьшаемым). В натуральных числах максимальная величина a^n достигается при a = c – 1 или c – a =1. Это равенство есть простое следствие аксиом натурального ряда. Это равенство действительно только в натуральных числах и при условии поиска наименьшего решения. Если искать все решения, а не наименьшее, то c – a может быть равно множеству значений. Поскольку наименьшее решение одно единственное, то в натуральных числах c – a = 1.
Аналогично вычисляется наименьшая величина a^n = c^n - b^n
Разность натуральных чисел достигает наименьшей величины при максимальном значении вычитаемого b^n. В натуральных числах максимальная величина b^n достигается при b = c – 1 или c – b =1. Но у нас a = c - 1. Поскольку a > b, то b = c – 2 или c – b = 2. Это следующее натуральное число после a, наиболее близкое к c. Это равенство есть простое следствие аксиом натурального ряда. Это равенство действительно только в натуральных числах и при условии поиска наименьшего решения. Если искать все решения, а не наименьшее, то c – b может быть равно множеству значений. Поскольку наименьшее решение одно единственное, то c – b = 2.
Таким образом, равенства c – a = 1 и c – b = 2 установлены не произвольно («Положив условие ...», как Вы выразились), а являются единственно возможными для наименьшего решения в натуральных числах.

[lel0lel]

tapos в сообщении #312201 писал(а):

Таким образом, равенства c – a = 1 и c – b = 2 установлены не произвольно («Положив условие ...», как Вы выразились), а являются единственно возможными для наименьшего решения в натуральных числах.

Я понимаю, что не произвольно, поэтому и пишу про "главного вашего кандидата". Но из не существования наименьшего решения, которое в некотором смысле соответствовало бы пифагоровой тройке $(3;4;5)$ не следует, что не существует других взаимно простых чисел $(a;b;c)$, которые являются наименьшим решением. Потрудитесь это доказать или же берите следующего кандидата в наименьшее решение уравнения.
Попробую, чтобы Вы наверняка поняли смысл всего вышесказанного, дополнить Вашу фразу: "...а являются единственно возможными для наименьшего решения в натуральных числах, если $(a;b;c)$ при таких соотношениях является решением уравнения".

[Гаджимурат]

tapos в сообщении #312201 писал(а):

Таким образом, равенства c – a = 1 и c – b = 2 установлены не произвольно («Положив условие ...», как Вы выразились), а являются единственно возможными для наименьшего решения в натуральных числах.

Я еще раз повторяю,если Вы не вникали в ВТФ.
Если $c-a=1^n$.то наименьшее значение $c-b=2^n$.А если еще учитывать 1 или 2 случай Ф.,то,например,для $n=3$ и $b$ делится на 9 ($b$ делится на 3 -решения нет)
имеем,как минимум, $c-a=9^3/3$.
Если $a$ делится на 9,то $c-b=18^3/3$.
Вопросы?.

[tapos]

1.Что означает наименьшее решение для уравнения Ферма?
Пусть имеется множество решений в натуральных числах:
X, Y, Z
Строчными (заглавными) буквами X, Y, Z мы будем обозначаем множество значений, а прописными буквами будем обозначать одно конкретное значение x, y, z из множества значений X, Y, Z.
Все три числа в каждой тройке чисел различны в силу попарной взаимной простоты этих чисел и Z > X и Z > Y. Поскольку расположение чисел X и Y в уравнении симметрично, то среди решений могут встречаться решения вида X > Y и решения вида Y > X.
Поэтому каждую тройку чисел упорядочим по величине: на первое место запишем меньшее из чисел x, y, на второе место запишем большее из чисел x, y, на третье место запишем число z.
У нас получится таблица примерно такого вида:
$y_1, x_1, z_1$
$x_2, y_2, z_2$
$x_3, y_3, z_3$
………….
$y_K, x_K, z_K$
Введем новые обозначения: все значения первого столбца таблицы обозначим через b, все значения второго столбца таблицы обозначим через a, все значения третьего столбца обозначим через с. Для натуральных чисел справедливо следующее утверждение: сумма натуральных чисел не изменяется от перемены мест слагаемых. Поэтому новое уравнение $b^n + a^n = c^n$ эквивалентно старому: $X^n + Y^n = Z^n$. Но в новом уравнении число b меньше числа a, число a меньше числа с. Кроме того, для натуральных чисел в уравнении Ферма справедливо утверждение: для каждой пары натуральных чисел a, b существует только одно единственное натуральное число с, удовлетворяющее уравнению. Это следует из аксиом натурального ряда чисел – у каждого числа имеется только одно последующее и только одно предыдущее, за исключением 1, у которой нет предыдущего числа. Поэтому сумма двух натуральных чисел равна только одному натуральному числу.
Составим таблицу всех решений уравнения $b^n + a^n = c^n$
Получится примерно следующая таблица (числа взяты произвольно для иллюстрации способа отыскания наименьшего решения):
3, 8, 11
3, 4, 7
3, 5, 8
3, 4, 5
4, 5, 7
4, 7, 9
5, 12, 13
……..
Выберем все решения, с наименьшим первым числом
3, 8, 11
3, 4, 7
3, 5, 8
3, 4, 5
Из этого множества решений выберем решения с наименьшим вторым числом
3, 4, 7
3, 4, 5
В данном случае первый пример не корректный, так как для двух одинаковых натуральных чисел 3 и 4 существует не одно, а два значения третьего 7 и 5. В действительности должна остаться одна единственная тройка чисел 3, 4, 5, которая и является наименьшим решением уравнения. Если имеется два наименьших решения, то они совпадают между собой. Это следствие аксиом натурального ряда. Аксиомы натурального ряда чисел очень трудно подвергнуть сомнению, так как еще ни разу в практике человечества не наблюдалось нарушение этих аксиом.
Такими образом, поиск наименьшего решения уравнения состоит из двух этапов:
1) вначале находим все решения с наименьшими значениями числа b;
2) затем из выбранного массива решений с наименьшими значениями числа b выбираем решение, имеющее наименьшее значение числа a.

2.Поиск наименьшего решения для уравнения Ферма. Рассмотрим уравнение Ферма $b^n + a^n = c^n$
Первый этап. Найдем все наименьшие решения для числа b.
$b^n = c^n - a^n$
Наименьшее значение числа $b^n$, а, следовательно, и числа b достигается при максимальном значении числа $a^n$, а, следовательно, и числа a. Это утверждение является следствием аксиом натурального ряда и давно доказано. Максимальное значение числа a равно предшествующему числу числа с. В соответствии с аксиомами натурального ряда числу с предшествует число c - 1 и никакое другое. Следовательно, a = c - 1 или c - a = 1. Обращаем внимание на следующее: мы искали максимальное значение числа $a^n$, а не решение уравнения. Только для натурального ряда разность $c^n - a^n$ является наименьшей при наименьшем значении разности c - a. Поэтому какая бы не была величина показателя степени n, максимальная величина числа $a^n$, а, следовательно, минимальная величина чисел $b^n$ и b достигает при c - a = 1. У одного натурального числа не бывает двух разных предшествующих чисел. Это доказывается в теории арифметики. Поэтому не существует другого минимального решения, кроме как при условии c - a = 1. Оказалось, что все решения имеют минимальное значение числа b только в том случае, если c - a = 1. Таким образом мы завершили первый этап нахождения наименьшего решения уравнения Ферма.
Второй этап. Найдем все наименьшие решения для числа a среди найденного множества наименьших решений для числа b. Это означает, что уравнение c - a = 1 сохраняется неизменным.
$a^n = c^n - b^n$
Наименьшее значение числа $a^n$, а, следовательно, и числа a достигается при максимальном значении числа $b^n$, а, следовательно, и числа $b$. Это утверждение является следствием аксиом натурального ряда и давно доказано. Максимальное значение числа b равно предшествующему числа с. В соответствии с аксиомами натурального ряда числу с предшествует число c - 1. Следовательно, b = c - 1 или c - b = 1. Но с другой стороны, ранее мы доказали, что c - a = 1. Откуда следует, что a = b. Что невозможно, так как у нас все три числа должны быть различны. Поэтому максимальное значение числа b может быть равно только предшествующему числу предшествующего числа с. В соответствии с аксиомами натурального ряда числу с предшествует число c - 1, а этому числу предшествует число с - 2. Следовательно, b = c - 2 или c - b = 2. Обращаем внимание на следующее: мы искали максимальное значение числа $b^n$, а не решение уравнения. Только для натурального ряда разность $c^n - b^n$ является наименьшей при наименьшем значении разности c - b. Поэтому какая бы не была величина показателя степени n, максимальная величина числа $b^n$, а, следовательно, минимальная величина чисел $a^n$ и a достигает при c - b = 2. У одного натурального числа не бывает двух разных предшествующих чисел. Поэтому не существует другого минимального решения, кроме как для случая c - b = 2.

Таким образом, поиск наименьшего решения привел нас к тройке последовательных чисел. Если снять требование о поиске наименьшего решения, то разности c - a и c - b могут быть равны другим числам. Но это не будет наименьшим решением.
Уважаемый господин lel0lel. Я отношусь серьезно к замечаниям по существу и, поэтому благодарен Вам за вопросы, которые позволяют выявить недостаточно ясное изложение статьи. Пока я не увидел фатальных ошибок с моей стороны и представленные выше разъяснения подтверждают это.

-- Пт апр 30, 2010 19:49:41 --

Вам очень хочется вывести доказательство из делимости натуральных чисел. Но это к сожалению невозможно, о чем свидетельствует приведенные в статье примеры 35 и 36. На первый взгляд невозможна делимость $c^n$ на c + m. Но примеры свидетельствуют об обратном. Практика - вещь упрямая и не опровержимая.

[lel0lel]

tapos в сообщении #314466 писал(а):

Таким образом, поиск наименьшего решения привел нас к тройке последовательных чисел. Если снять требование о поиске наименьшего решения, то разности c - a и c - b могут быть равны другим числам. Но это не будет наименьшим решением.

Вас этот поиск привёл, а вот меня не привёл. Я хоть и писал об этом в предыдущих топиках. Напишу снова, используя Ваше рассуждение.

tapos в сообщении #314466 писал(а):

Составим таблицу всех решений уравнения $b^n + a^n = c^n$

Ну ладно, составим, пусть такая будет:
7;8;11 ещё 77;123;125 и 24;67;71, здесь соответственно тройки $(b,a,c)$, являющиеся, к примеру, решениями. А теперь найдите здесь наименьшее решение и посчитайте чему равна разность $c-a$.
А у Вас, если уравнение имеет решение, то наименьшее решение обязательно соответствует тройке $(b,b+1,b+2)$. Это не так, если бы Вы показали, что это решение уравнения, тогда можно было бы сказать, что оно наименьшее. Но этот набор решением не является, а это значит, что Вы не нашли наименьшее решение, а не то что его нет. Попробуйте вот так $(b,b+2,b+3)$, авось тут улыбнётся удача.

[Виктор Ширшов]

tapos в сообщении #311826 писал(а):

1.Виктор Ширшов предъявляет претензию в части неправильной, по его мнению, формулировки Великой теоремы Фермы. Претензия отвергается как необоснованная. Главное суть, а не форма изложения. По сути никаких претензий не высказано.

tapos. А собственно зачем нужны

Цитата:

Наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах

[tapos]

1.Ответ Гаджимурату.
Уважаемый господин Гаджимурат. Произведение двух натуральных чисел равно степени третьего числа не только когда каждый из сомножителей равен степени третьего числа, но и в случае когда ни один из сомножителей не равен степени третьего числа. Например, рассмотрим число $30^3$ = 27000. Это число может разлагаться на следующие два сомножителя: $30^3 = 6^3 * 5^3 = 2^3 * 15^3 = 30 * 30^2 = 60 * 450 = 300 * 90 = 180 * 150$ и так далее. Как видите, последние три варианта сомножителей не равны кубу, а их произведение равно кубу. Вы же почему то считаете, что c - a = r^n и c - b = t^n. Вам необходимо доказать, что эти разности не могут быть равны обычным (не степеням) числам. В этом вся трудность в теореме Ферма и состоит. Поэтому Ваша претензия необоснована. На основании изложенного я отвергаю Вашу претензию.
2.Ответ lel0lel
Уважаемый господин lel0lel. Вы не опровергаете изложенное мной, а отвергаете без всякого обоснования: « … а вот меня не привел», «Это не так …». А почему, собственно не убедил, а почему не привел, а почему это не так? Мы ведем научную дискуссию и поэтому прошу Вас отвечать корректно. По состоянию на сегодняшний день я констатирую: претензий по существу Вы не имеете. На основании изложенного я отвергаю Вашу претензию.
3.Ответ Виктору Ширшову.
Все дело в том, что отсутствие наименьшего решения в натуральных числах доказывает отсутствие решений вообще в натуральных числах. Об этом в статье говорится подробно. Попытки искать все решения уравнения Ферма ни к чему не привели. Кроме того, если существует наименьшее решение, то оно одно единственное. А поскольку наименьшее решение одно единственное, то это решение выражается через решение алгебраического уравнения соответствующей степени. Таким образом, доказательство наличия или отсутствия решения уравнения Ферма свелось к доказательству наличия или отсутствия натурального корня алгебраического уравнения. Более того, для простых степеней алгебраическое уравнение свелось к виду, который позволил легко доказать наличие решений для n = 2 и отсутствие решений для всех остальных простых показателей степени.