Одно неравенство для двойных рядов

[frankusef]

Вот, побалую вас ребята еще одной задачей. Правда ли, что

$$\zeta(s)\,>\,\sum\limits_{i=1}^\infty\sum\limits_{j=1}^\infty\frac{1}{(i\sqrt 2+j(2+\sqrt2)-\frac{1}{\pi}(\sin(\pi i\sqrt2)+\sin(\pi j\sqrt 2)))^s},$$

где $s>1$?

-- Ср апр 21, 2010 16:55:31 --

И еще одна: сходится ли ряд $\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{\{i\sqrt 2\}}{i!}$?

[neo66]

frankusef в сообщении #311763 писал(а):

И еще одна: сходится ли ряд $\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{\{i\sqrt 2\}}{i!}$?

А такой $\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{1}{i!}$?

[frankusef]

Цитата:

$\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{1}{i!}$

$\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{1}{i!}=e-1$

[neo66]

А он, что, сильно отличается в смысле сходимости от ряда $\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{\{i\sqrt 2\}}{i!}$?

[Sasha2]

А что тут за баловство то:
Для знаменателя подходит грубая оценка для модуля синуса, откуда следует, что
$\sum\limits_{i=1}^\infty\sum\limits_{j=1}^\infty\frac{1}{(\sqrt{2}j)^s}\ge \sum\limits_{i=1}^\infty\sum\limits_{j=1}^\infty\frac{1}{(i\sqrt 2+j(2+\sqrt2)-\frac{1}{\pi}(\sin(\pi i\sqrt2)+\sin(\pi j\sqrt 2)))^s}$

[frankusef]

Цитата:

А он, что, сильно отличается в смысле сходимости от ряда $\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{\{i\sqrt 2\}}{i!}$?

Каким из признаков сходимости предлагаете проверить?

Цитата:

А что тут за баловство то:
Для знаменателя подходит грубая оценка для модуля синуса, откуда следует, что
$\sum\limits_{i=1}^\infty\sum\limits_{j=1}^\infty\frac{1}{(\sqrt{2}j)^s}\ge \sum\limits_{i=1}^\infty\sum\limits_{j=1}^\infty\frac{1}{(i\sqrt 2+j(2+\sqrt2)-\frac{1}{\pi}(\sin(\pi i\sqrt2)+\sin(\pi j\sqrt 2)))^s}$

Я че так написал. Вчера морочился с дробными частями, ну и в связи с этим хочу выложить свое, не очень изящное, но может кому-нибудь интересное решение. Все мы знаем о первом, кажется, замечательном пределе: $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}=1$. Тогда выполняется неравенство $\sin x<x$, для всех $x>0$. Понятное дело, что $\frac{1}{\pi}\sin \pi \{x\}=\frac{1}{\pi}\sin \pi x<\{x\}$, где $\{.\}$ означает взятие дробной части. После простых преобразований придем к неравенству $[ix]+[jy]<ix+jy-\frac{1}{\pi}(\sin \pi ix+\sin\pi jy)$. Пусть теперь $x$ и $y$ такие иррациональные числа, что $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$(в примере я использовал числа $x=\sqrt 2$,$y=2+\sqrt 2$). Доказано, что последовательности $[ix]$,$[jy]$,$i,j=1,...$, где $x$ и $y$ удовлетворяют последнему равенству, есть всюду плотные (по моему так), то есть, полностью покрывают натуральный ряд. Воспользовавшись этим обстоятельством поднесем в степень $s$ неравенства и просуммируем. Получим искомый результат.

[neo66]

frankusef в сообщении #311922 писал(а):

Цитата:

А он, что, сильно отличается в смысле сходимости от ряда $\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{\{i\sqrt 2\}}{i!}$?

Каким из признаков сходимости предлагаете проверить?

А какие Вы знаете?