Многомерные расширения ТФКП

[Time]

Scholium в сообщении #307919 писал(а):

У меня правда, возникает вопрос. У вещественных и комплексных чисел есть своя особая ниша в физических приложениях. Они там представлены «всерьез и надолго». Это охватывает большую часть современных прикладных исследований. Постепенно поличисла отвоевывают себе «место под солнцем». Но их «проблема» в том, что их много. Вы сами пишите о «естественных многомерных расширениях». Могут ли претендовать эти «расширения» на свои собственные, устойчивые ниши в науке? Ведь природа не стремиться к избыточному усложнению. По сути, она гениальна проста. Зачем ей может понадобиться неограниченная последовательность поличисел?

Сформулированный Вами вопрос, как минимум, разделяется на две проблемы.
Первая - необходимо доказать, что двойные числа и h-аналитические функции над ними имеют примерно такие же прикладные возможности для теории функций, геометрии и физики как действительные и комплексные, только в связи с геометрией двумерного псевдоевклидова пространства времени и нелинейных полей в нем. Соотвествующая часть работ уже близка к завершению. Закончено с десяток статей для нашего журнала (планируется специальный тематический 13 номер, который должен выйти в мае этого года) и их авторы нацелены на то, что бы попробовать с небольшими изменениями опубликоваться в зарубежных рейтинговых изданиях.
Вторая проблема - разобраться с многомерными обобщениями двойных и комплексных чисел. Такая задача на много сложнее первой (хотя и на первую ушел труд целого коллектива на протяжении порядка десяти лет и это, если не считать отдельных предшественников). Как должны выглядеть сами такие алгебры - практически очевидно (правда, тут также есть место для сюрпризов), однако их свойства, если априори не ограничиваться обычным анализом и h-анализом, а строить их естественные обобщения, очень даже нетривиальны и с ними придется серьезно повозиться. Обычные h-аналитические функции от поличисел, хотя и имеют бесконечнопараметрическое разнообразие, сами по себе, сконструированы слишком просто, что бы дать слишком интересные геометрические и физические следствия. В изотропном базисе они из себя представляют обычную линейную комбинацию n вещественных и m комплексных аналитических функций. Однако, кроме инвариантности длин и углов, что собственно и приводит к появлению конформных преобразований и связанных с ними аналитических функций, в финслеровых пространствах, соответсвующих многомерным поличислам, есть место дополнительным базовым величинам. Их инвариантность порождает на много более интересные преобразования и функции, чем конформные и аналитические. Почти уверен, что рассмотрение этих дополнительных финслеровых геометрических инвариантов, связанных с ними преобразований и функций приведет к естественным ограничениям на число независимых измерений алгебр исходных поличисел. Уже есть ряд косвенных признаков, что размерность четыре (над полем вещественных или комплексных чисел) порождает экстремум в разнообразии таких обобщенно аналитических функций, связанной с ними геометрии, а, следовательно, и потенциально стоящей за той физики. Короче, нужно искать экстремум разнообразия свойств. Вряд ли он будет проявляться в больших размерностях или даже при их бесконечном числе.

Scholium в сообщении #307919 писал(а):

Мне понравился его подход привлечь к исследованию египетских пирамид чуть ли не следователей криминалистов и экспертов по обработке материалов. Только вот о результатах своих исследований он недоговаривает. Мол, вот вам намек, про высокую технологичность обработки каменных блоков, типа лазерной резки, способом их перевозки и подъема на высоту и т.д., а вы уже сами делайте выводы. Лично мне такая подача материала не очень нравиться. Ну, посмотрел, ну поудивлялся и . . . забыл. Почему он не «проталкивает» свою собственную версию? В науке на намеках далеко не уедешь, нужно писать открытым текстом про то, что думаешь. Пока я вижу в таком поведении исключительно коммерческие соображения. А к разгадке тайн пирамид, оно не приближает нисколько.

Я с Вами совершенно согласен. Однако для подобных исследований нужны средства, причем не малые. Но даже этого не достаточно. Нужны официальные разрешения на проведения исследовательских работ в непривычном для археологии направлениях. Сейчас же ни средств нет (все держится на частных пожертвованиях, а этого катастрофически мало), ни поддержки официальных структур, при помощи которых можно было бы надеяться соответствующие разрешения получить. Никаких особых коммерческих соображений у Андрея нет. Я это знаю совершенно точно, так как мы дружим семьями и живем в двух шагах друг от друга. Тех мизерных средств, что он иногда получает от продажи книг и фильмов только только хватает на весьма скромное проживание его семьи. Ни один из фильмов и ни одна из экспедиций до сих пор не окупились даже на 10 процентов. Какие уж тут коммерческие соображения. :)

Scholium в сообщении #307919 писал(а):

Да, интересный вариант, только я достаточно далеко от Москвы. Да и по натуре я люблю воспринимать информацию письменно, а не устно. Благо, в МГУ было свободное посещение :) .

Это не проблема. Было бы желание и возможность выкроить хотя бы пару недель (не обязательно слушать все курсы полностью, тем более, что многие из них Вам наверняка знакомы). При необходимости - и проживание, и питание, и информацию можно сделать вообще бесплатными, но даже декларируемый денежный взнос за целый месяц, скорее, символический, чем отражает реальные затраты организаторов. Подумайте.. Посмотрите отчеты двух таких последних мероприятий:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... otchet.pdf
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... chet-3.pdf
Может, все таки, получится приехать..

Что касается восприятия письменной информации.. Личного общения оно все равно не заменит.

И последнее. То, что Вы сейчас больше занимаетесь программированием, а не математикой - в определенной степени даже хорошо. Значит, есть принципиальная возможность компьютерного построения многоменых алгебраических фракталов связанных с обобщенно аналитическими функциями от поличисел. Думаю, это очень интересное и весьма перспективное направление не только для теории функций и геометрии, но и для физики.

[Scholium]

Time писал(а):

необходимо доказать, что двойные числа и h-аналитические функции над ними имеют примерно такие же прикладные возможности для теории функций, геометрии и физики как действительные и комплексные, только в связи с геометрией двумерного псевдоевклидова пространства времени и нелинейных полей в нем. Соотвествующая часть работ уже близка к завершению. Закончено с десяток статей для нашего журнала (планируется специальный тематический 13 номер, который должен выйти в мае этого года) и их авторы нацелены на то, что бы попробовать с небольшими изменениями опубликоваться в зарубежных рейтинговых изданиях.

Ну да, на Вашем сайте действительно очень много материалов, чтобы быстро освоить их. Конечно, каждый конкретный класс поличисел вполне может претендовать на определенный круг физических задач, особенно среди УРЧП (уравнений в частных производных), где он может иметь больше преимуществ по сравнению с другими. Другой фронт работ, на который я бы обратил внимание, это теория чисел. Поличисла, чуть ли не по определению должны иметь там преимущества по сравнению с обычными числами. Например, может быть при достаточно больших $r$ и $m$, числа из пространства $P_{r+2m}$ смогут разложить трехчлен Ферма $z^n-x^n-y^n$ на множители, которые исследовать будет уже значительно проще, чем исходное выражение. Ну, это так, навскидку. Интерес могут представлять и другие нерешенные задачи теории чисел.

Time писал(а):

Почти уверен, что рассмотрение этих дополнительных финслеровых геометрических инвариантов, связанных с ними преобразований и функций приведет к естественным ограничениям на число независимых измерений алгебр исходных поличисел. Уже есть ряд косвенных признаков, что размерность четыре (над полем вещественных или комплексных чисел) порождает экстремум в разнообразии таких обобщенно аналитических функций, связанной с ними геометрии, а, следовательно, и потенциально стоящей за той физики. Короче, нужно искать экстремум разнообразия свойств. Вряд ли он будет проявляться в больших размерностях или даже при их бесконечном числе.

В физике существует негласно закон малых чисел, мол, все самое существенное и интересное происходит при значимых малых числах. Так что Ваши пространства $H_2, H_3, H_4, H_2^C$ - вполне могут претендовать на значимые конструкции.

Time писал(а):

Однако для подобных исследований нужны средства, причем не малые. Но даже этого не достаточно. Нужны официальные разрешения на проведения исследовательских работ в непривычном для археологии направлениях. Сейчас же ни средств нет (все держится на частных пожертвованиях, а этого катастрофически мало), ни поддержки официальных структур, при помощи которых можно было бы надеяться соответствующие разрешения получить. Никаких особых коммерческих соображений у Андрея нет. Я это знаю совершенно точно, так как мы дружим семьями и живем в двух шагах друг от друга. Тех мизерных средств, что он иногда получает от продажи книг и фильмов только только хватает на весьма скромное проживание его семьи. Ни один из фильмов и ни одна из экспедиций до сих пор не окупились даже на 10 процентов. Какие уж тут коммерческие соображения. :)

Ну, я под коммерческими интересами имел в виду не столько финансовые соображения, сколько желание как можно дольше сохранять интригу, чтобы удержать интерес зрителей и возможно спонсоров. Есть даже такое соображение, что если загадку очень долго не могут разгадать, значит, существуют весьма заинтересованные силы, не желающие этой разгадки. Ибо разгадка может быть, как слишком тривиальной, так и слишком нежелательной. А насчет экспедиций в Египет, хотелось бы услышать про подземные пирамиды, которые, якобы не меньше наземных, плюс про пирамиды в Китае, которые, возможно, самые объемные в мире.

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Да, интересный вариант, только я достаточно далеко от Москвы. Да и по натуре я люблю воспринимать информацию письменно, а не устно. Благо, в МГУ было свободное посещение :) .

Это не проблема. Было бы желание и возможность выкроить хотя бы пару недель (не обязательно слушать все курсы полностью, тем более, что многие из них Вам наверняка знакомы). При необходимости - и проживание, и питание, и информацию можно сделать вообще бесплатными, но даже декларируемый денежный взнос за целый месяц, скорее, символический, чем отражает реальные затраты организаторов. Подумайте.. Посмотрите отчеты двух таких последних мероприятий:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... otchet.pdf
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... chet-3.pdf
Может, все таки, получится приехать..

Что касается восприятия письменной информации.. Личного общения оно все равно не заменит.

Конечно, при желании можно найти время и возможности. Отчеты я посмотрел, естественно, никто не спорит, что общение единомышленников это и интересно и полезно и познавательно. Когда-то, меня, будучи студентом МГУ, приглашали выступить с докладом на базе Института Нефти и Газа АН СССР, в Подмосковье (по вопросам математической оптимизации процессов добычи «черного золота»). Впечатлений хватает до сих пор :) . Так что дело это весьма заманчивое. Но что меня ограничивает. Во-первых, я уже далеко не студент, а во-вторых, если ехать, то с докладом. Для хорошего доклада надо время, чтобы освоить основной круг исследуемых вопросов и попытаться получить какие-то интересные научные результаты. Иначе мне там будет не вполне комфортно. Так что, на время можно будет этот вопрос отложить.

Time писал(а):

И последнее. То, что Вы сейчас больше занимаетесь программированием, а не математикой - в определенной степени даже хорошо. Значит, есть принципиальная возможность компьютерного построения многоменых алгебраических фракталов связанных с обобщенно аналитическими функциями от поличисел. Думаю, это очень интересное и весьма перспективное направление не только для теории функций и геометрии, но и для физики.

Программирование, вещь весьма трудоемкая. На написание хорошей программы времени нужно значительно больше, чем на написание хорошей статьи. Да и не мешает на время изменить род занятий. Не зря видимо говориться, что специалист должен радикально менять род своей деятельности каждые десять лет. Математикой и физикой я не занимался уже очень давно. Поэтому можно вернуться сейчас к этому роду деятельности.

[Time]

Scholium в сообщении #308670 писал(а):

Другой фронт работ, на который я бы обратил внимание, это теория чисел. Поличисла, чуть ли не по определению должны иметь там преимущества по сравнению с обычными числами. Например, может быть при достаточно больших и , числа из пространства смогут разложить трехчлен Ферма на множители, которые исследовать будет уже значительно проще, чем исходное выражение.

Мне подобная перспектива не представляется сколь ни будь значимой хотя бы потому, что формы $X^n=Y^n+Z^n$ и $X^n=Y^n-Z^n$ я воспринимаю как своеобразные финслеровы метрики среди которых наиболее интересны те, в которых имеются бесконечномерные группы конформных или более сложных метрических преобразований. Вот доказать, что такие группы при n>1 могут быть бесконечномерными только при n=2 - это да, наверное имеет смысл. Других зацепок я не вижу..

Scholium в сообщении #308670 писал(а):

Ну, я под коммерческими интересами имел в виду не столько финансовые соображения, сколько желание как можно дольше сохранять интригу, чтобы удержать интерес зрителей и возможно спонсоров. Есть даже такое соображение, что если загадку очень долго не могут разгадать, значит, существуют весьма заинтересованные силы, не желающие этой разгадки. Ибо разгадка может быть, как слишком тривиальной, так и слишком нежелательной.

Ну, интрига на счет пирамид сохраняется уже на протяжении, минимум, 2,5 тысяч лет (со времен Геродота и Страбона, оставивших первые дошедшие до нас письменные источники, касающиеся пирамид) и вряд ли Склярову с компанией (куда и я себя причисляю) удастся ее ликвидировать на своем веку. :)

Scholium в сообщении #308670 писал(а):

Во-первых, я уже далеко не студент, а во-вторых, если ехать, то с докладом. Для хорошего доклада надо время, чтобы освоить основной круг исследуемых вопросов и попытаться получить какие-то интересные научные результаты. Иначе мне там будет не вполне комфортно. Так что, на время можно будет этот вопрос отложить.

Года - не помеха, к нам иногда приезжали и в возрасте за 60. С докладом - всегда пожалуйста, особенно если он будет по теме школы-семинара. Также можно этот вопрос отложить и на следующее лето.

На алгебраические фракталы именно в контексте поличисел прошу обратить особое внимание. Панчелюге, кое что, удалось тут продвинуть в направлении двойных чисел, но гораздо более интересные сюрпризы, уверен, ждут на алгебрах с комплексной в качестве подалгебры..

[Scholium]

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Другой фронт работ, на который я бы обратил внимание, это теория чисел. Поличисла, чуть ли не по определению должны иметь там преимущества по сравнению с обычными числами. Например, может быть при достаточно больших и , числа из пространства смогут разложить трехчлен Ферма на множители, которые исследовать будет уже значительно проще, чем исходное выражение.

Мне подобная перспектива не представляется сколь ни будь значимой хотя бы потому, что формы $X^n=Y^n+Z^n$ и $X^n=Y^n-Z^n$ я воспринимаю как своеобразные финслеровы метрики среди которых наиболее интересны те, в которых имеются бесконечномерные группы конформных или более сложных метрических преобразований. Вот доказать, что такие группы при n>1 могут быть бесконечномерными только при n=2 - это да, наверное имеет смысл. Других зацепок я не вижу..

Мои соображения примерно такие. Пусть существует разложение $n$-формы на линейные множители

$a_1x_1^n+a_2x_2^n+\ldots +a_nx_n^n=(b_{11}x_1+b_{12}x_2+\ldots +b_{1n}x_n)(b_{21}x_1+b_{22}x_2+\ldots +b_{2n}x_n)\ldots (b_{n1}x_1+b_{n2}x_2+\ldots +b_{nn}x_n),$

где $x_i\in\mathbb{N}$, $a_i\in\mathbb{Z}$ – натуральным и целым числам, для всех $i\in \overline{1..n}$, а $b_{ik}\in H_r$ – поличисловому пространству для некоторого $r\in\mathbb{N}$ и для всех $j,k\in \overline{1..n}$.

Раскрывая скобки, получим

$\sum\limits_{i=1}^{n}a_ix_i^n=\sum\limits_{\begin{matrix}1\le j_l\le n \\ 1\le k_l\le n \\ 1\le l\le n\end{matrix}}b_{j_1k_1}b_{j_2k_2}\dots b_{j_nk_n}x_{k_1} x_{k_2}\dots x_{k_n}$

Мы хотим, чтобы выполнялись соотношения:

$b_{j_1k_1}b_{j_2k_2}\dots b_{j_nk_n}=\left\{ \begin{matrix}{a_i,\forall k_1=k_2=\dots=k_n=i; \\ 0, \text{иначе.} \\ \end{matrix} \right\}\text{ (*)}$

Задача состоит в том, чтобы подобрать такое натуральное $r$, для пространства $H_r$, чтобы выполнялось условие (*). Возможно, нужно будет задействовать делители нуля из выбранного пространства поличисел. Данная $n$-форма обобщает трехчлен Ферма, поэтому если будет существовать разложение на линейные множители для $n$-формы, то оно должно существовать и для трехчлена Ферма, хотя не исключено, что порядок числа $r$ придется повысить. Исследовать линейные множители трехчлена Ферма уже значительно проще, чем его самого, несмотря даже на присутствие делителей нуля. Так что эту идею можно пытаться испробовать при доказательстве теоремы Ферма :) .

Time писал(а):

Ну, интрига на счет пирамид сохраняется уже на протяжении, минимум, 2,5 тысяч лет (со времен Геродота и Страбона, оставивших первые дошедшие до нас письменные источники, касающиеся пирамид) и вряд ли Склярову с компанией (куда и я себя причисляю) удастся ее ликвидировать на своем веку. :)

Так не нужно себя настраивать. Существуют сотни гипотез относительно системы пирамид на нашей планете. Вполне возможно, что среди них присутствует более-менее истинная. Нужно хотя бы методом исключения отсеивать явный бред. Кроме того, никто не запрещает генерировать новые предположения. Если объявить конкурс в Интернете, то совместное творчество наверняка выдаст жемчужины в тоннах «словесной руды» :) . А вот четкая собственная позиция А. Склярову вряд ли помешала бы. Хотя он, в общем-то намекает на инопланетян и инопланетные технологии, но как-то нет в его рассуждениях должной убежденности. А инопланетяне если и присутствовали на Земле, то присутствуют и до сих пор.

Time писал(а):

Года - не помеха, к нам иногда приезжали и в возрасте за 60. С докладом - всегда пожалуйста, особенно если он будет по теме школы-семинара. Также можно этот вопрос отложить и на следующее лето.

Вот и договорились. К следующему лету, я что-нибудь придумаю по теме школы-семинара :) .

Time писал(а):

На алгебраические фракталы именно в контексте поличисел прошу обратить особое внимание. Панчелюге, кое что, удалось тут продвинуть в направлении двойных чисел, но гораздо более интересные сюрпризы, уверен, ждут на алгебрах с комплексной в качестве подалгебры..

Я буду иметь это в виду. Но все же мне кажется, что фракталы это средство, а должна быть цель. В принципе, много говориться о фрактальной сущности нашего мира, но сначала интересно было бы разобраться с его законами, выводящими на фракталы, а затем уже будет больше стимула в программировании их. Для разнообразия вывожу одну «фракталку» :) .



В интернете есть любопытная книга «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного» В. И. Елисеева, в электронном виде выложенной на сайте http://www.maths.ru/ . В ней много практических приложений, связанных с обобщенными комплексными числами. Я, правда, еще не успел с ней толком ознакомиться, но Вам одна должна быть известна. Что Вы думаете по ее поводу?

[Time]

Scholium в сообщении #309371 писал(а):

Так что эту идею можно пытаться испробовать при доказательстве теоремы Ферма :) .

То, что идеологию и свойства финслеровых пространств можно использовать для упрощения доказательства теоремы Ферма у меня нет никаких сомнений. Я сомневаюсь в целесообразности такого рода работы. Лучше силы потратить на более конструктивные вещи. Впрочем, может я в этом и ошибаюсь.

Scholium в сообщении #309371 писал(а):

Существуют сотни гипотез относительно системы пирамид на нашей планете. Вполне возможно, что среди них присутствует более-менее истинная. Нужно хотя бы методом исключения отсеивать явный бред. Кроме того, никто не запрещает генерировать новые предположения. Если объявить конкурс в Интернете, то совместное творчество наверняка выдаст жемчужины в тоннах «словесной руды» :)

Мне с лихвой хватает тех гипотез (по большей части совершенно бредовых), что имеется на сайте и форуме Андрея "Лаборатория альтернативной истории". Там даже специальный раздел есть, в котором накапливаются все такие версии. Кажется уже перевалило за сотню.. Думаю, этот путь вряд ли к чему хорошему приведет. Что касается меня, то стараюсь рассматривать такие гипотезы, в которых автор одновременно предлагает и способ их проверки. Таких, как правило, совсем немного..

Scholium в сообщении #309371 писал(а):

буду иметь это в виду. Но все же мне кажется, что фракталы это средство, а должна быть цель. В принципе, много говориться о фрактальной сущности нашего мира, но сначала интересно было бы разобраться с его законами, выводящими на фракталы, а затем уже будет больше стимула в программировании их. Для разнообразия вывожу одну «фракталку» :) .

Мне цель совершенно понятна. При помощи фракталов на многокомпонентных алгебрах поличисел и обобщенно аналитических функций на последних получить объекты, малоотличимые как в пространственном, так и во временном отношении от реальных физических (лучше, вообще неотличимые :)). Что бы такое могло получиться хотя бы теоретически - нужно показать, что непрерывные симметрии, которые самим анализом заложены в алгебру поличисел совпадают с непрерывными симметриями (выраженными в законах сохранения) реального физического мира. С этими симметриями, как мне представляется, и нужно в первую очередь разобраться. При этом не зацикливаться на одних только группах Лоренца, Пуанкаре, 15-параметрической конформной группе пространства Минковского, U(1), SU(2), SU(3) и т.п., а стремиться выйти на бесконечные группы типа тех, что есть у многомерных пространств связанных с поличислами.
За фракталку спасибо. Но это слишком простой фрактал, к тому же двумерный. В качестве ответного шага даю картинки трехмерных сечений четырехмерных фракталов на поличислах Н_4:
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-23.jpg
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-24.jpg
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-25.jpg
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-26.jpg
Картинки не очень контрастные, зато трехмерные (вообще-то, есть еще и четвертая координата времени, то есть, их можно сделать эволюционирующими во времени) и, на мой взгляд, наталкивают на определенные размышления. Особенно мне нравится последняя картинка. Она ничего Вам не напоминает?

Scholium в сообщении #309371 писал(а):

В интернете есть любопытная книга «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного» В. И. Елисеева, в электронном виде выложенной на сайте http://www.maths.ru/ . В ней много практических приложений, связанных с обобщенными комплексными числами. Я, правда, еще не успел с ней толком ознакомиться, но Вам одна должна быть известна. Что Вы думаете по ее поводу?

Конечно известна, как и сам автор, с которым я имел возможность лет десять назад общаться лично. Объединяет его и нашу группу только предмет исследований (так называемые бикомплексные числа, соответствующие прямой сумме C+C). Однако, как он это делает, вызывает, мягко говоря, недоумение. Я думаю, Вы и сами все поймете, если захотите себе дать труд познакомится не мельком, а чуть поближе.. В этой работе, почти несомненно, есть интересные результаты, но труд, который нужно потратить, что бы разыскать их вряд ли этого стОит. Это также мое сугубо личное мнение и Вы, конечно же, должны сами составить свое..

[Scholium]

Time писал(а):

Scholium писал(а):

Так что эту идею можно пытаться испробовать при доказательстве теоремы Ферма :) .

То, что идеологию и свойства финслеровых пространств можно использовать для упрощения доказательства теоремы Ферма у меня нет никаких сомнений. Я сомневаюсь в целесообразности такого рода работы. Лучше силы потратить на более конструктивные вещи. Впрочем, может я в этом и ошибаюсь.

Мне кажется, что отказываться от применения финслеровых пространств в теории чисел вряд ли стоит. Конечно, теория чисел не теоретическая физика и явных практических приложений не имеет, однако, чего лично мне не хватает в теории поличисел, так это их числовых свойств. Вы сами утверждаете, что поличисла это ЧИСЛА. А числа имеют числовые свойства, без знания которых эти объекты выглядят не очень эффектно. У Вас есть сильные алгебраисты, которые, может быть, слишком оторвались от Земли. Почему бы их не попросить исследовать числовые свойства поличисел? И еще, я абсолютно уверен, что достижения финслеровых пространств в теории чисел, безусловно, привлечет массу сторонников к ним. Стоит ли отказываться от этой возможности?

Теорема Ферма в данном случае это красная тряпка для быка. Чтобы привлечь внимание к финслеровым пространствам и начать изучать их числовые свойства. Я вполне допускаю, что разложение (*) может быть не единственным и что делители нуля могут добавить туда свои приколы. Как бы там ни было, но теорию финслеровых (поличисловых) пространств нужно развивать и возможно выделить в одно направление, как математическую дисциплину. Теория аналитических функций должна быть важным, но далеко не единственным направлением в ней.

(Оффтоп)

Time писал(а):

Мне с лихвой хватает тех гипотез (по большей части совершенно бредовых), что имеется на сайте и форуме Андрея "Лаборатория альтернативной истории". Там даже специальный раздел есть, в котором накапливаются все такие версии. Кажется уже перевалило за сотню.. Думаю, этот путь вряд ли к чему хорошему приведет. Что касается меня, то стараюсь рассматривать такие гипотезы, в которых автор одновременно предлагает и способ их проверки. Таких, как правило, совсем немного..

Этот метод отсеивания очень практичный, но не исключает возможности «с водой выплеснуть и ребенка». Для меня более подходит такой критерий. Если бы я был на месте фараона, то строил бы пирамиды? Обычно правители такого уровня заняты повседневными заботами, типа, ведение бесконечных войн, отстраивание государства, строгий контроль за безопасностью, разработка систем вооружений, развитие прикладных наук под это дело. А ресурсам всем всегда не хватает. И тут приходит некий жрец и говорит. Слышь, фараон, а у меня идея. Я тут изобрел антигравитационную транспортную систему, систему лазерной (или какой-нибудь телепатической) резки горных пород, систему проектирования объемных конструкций с учетом наделения их свойствами из астрономических, математических и физических знаний и теорий, систему управления рабами при проведения грандиозных видов работ и т.д. и т.п. Давай, мол, испробуем это все на практике. Однако мне нужна будет туева хуча ресурсов и твоя фараонская власть. А фараон ему отвечает. Ты чё, сдурел? У меня вражеское окружение спит и видит, когда бы выбрать момент, чтобы напасть, народ ропчет от тяжелой жизни, демократии хочет, а также хлеба и зрелищ. За ним нужен глаз да глаз, а ты авантюру предлагаешь, которая меня ослабит в военном положении и в системе безопасности. Нафиг мне твои астрономическо-математические пирамиды? А жрец ему говорит, дурак ты фараон. О тебе будет трындеть вся история, считать тебя крутым и великим. К тому же ты получишь возможность перемещаться во времени в своей пирамиде и после смерти обрести новую жизнь, на своей прародине – звёздной системе Короля Драконов, где ты воплотишься в один из его клонов. Фараон, ну да это прикалывает, но как же мне тогда сохранить свою власть? Ты ведь сможешь тогда меня кинуть. Жрец, не переживай! Вот тебе моя кащеева игла, если тебе что не понравиться, сломаешь ее и мне трындец. А ты опять вернешься на свое место. А за безопасность тоже не переживай, я тут изобрел еще такую систему военной безопасности, что твои враги после этого станут твоими друзьями и подсобят ресурсами так, что последние трусы отдадут. Вот так и договорились Жрец и Фараон. Последний получил свои пирамиды и сейчас обитает где-то в дальних звездных системах. А Жрец и ныне на Земле, тайно управляет планетой. Бред, конечно, полный. Приведен исключительно для того, чтобы показать, отсутствие явных стимулов у фараонов строить эти пирамиды. Можно предположить еще, что приехали инопланетяне, понастроили тут всяких пирамид для своих инопланетянских целей и смотрят на нас из своих летающих тарелок и прикалываются над нами. А фараонов сделали «зиц-председателями». Может быть? Может, но не очень верится. И так с любой идеей относительно строительства пирамид. Вероятность не нулевая, но далекая от единицы.

Time писал(а):

Scholium писал(а):

буду иметь это в виду. Но все же мне кажется, что фракталы это средство, а должна быть цель. В принципе, много говориться о фрактальной сущности нашего мира, но сначала интересно было бы разобраться с его законами, выводящими на фракталы, а затем уже будет больше стимула в программировании их. Для разнообразия вывожу одну «фракталку» :) .

Мне цель совершенно понятна. При помощи фракталов на многокомпонентных алгебрах поличисел и обобщенно аналитических функций на последних получить объекты, малоотличимые как в пространственном, так и во временном отношении от реальных физических (лучше, вообще неотличимые :)). Что бы такое могло получиться хотя бы теоретически - нужно показать, что непрерывные симметрии, которые самим анализом заложены в алгебру поличисел совпадают с непрерывными симметриями (выраженными в законах сохранения) реального физического мира. С этими симметриями, как мне представляется, и нужно в первую очередь разобраться. При этом не зацикливаться на одних только группах Лоренца, Пуанкаре, 15-параметрической конформной группе пространства Минковского, U(1), SU(2), SU(3) и т.п., а стремиться выйти на бесконечные группы типа тех, что есть у многомерных пространств связанных с поличислами.

Ну вот, теория еще не доработана до конца. Чтобы строить фракталы, нужны алгоритмы. А под них завершенные исследования, т.е. готовые формулы для реализации и их теоретический смысл. Кроме того, для меня это еще новое направление в программировании, так как программированием графики я пока не занимался. К тому там есть еще свои нюансы. Вот что пишет по этому поводу http://www.aha.ru/~alexfft/quaternions.html :

« Классические фракталы, полученные Мандельбродом, отображаются на комплексной плоскости и представляют собой квадратичные функции комплексных чисел. Кватернионы - это гиперкомплексные числа - с одной действительной и тремя мнимыми частями. Таким образом, этот объект определен в четырехмерном пространстве. Для того, чтобы его увидеть необходимо выполнить проекцию из 4-ех мерного пространства в трехмерное и затем в двухмерное (на экран).
Обычно эти изображения строятся путем фиксации значений одной из координат (проекция), с последующим вычислением значений в узлах трехмерной решетки и получением изображения методом трассировки лучей (подробней смотри Fract-It-YourSelf ).

Я собираюсь сделать анимацию и морфинг этих объектов. Для этого нужен soft, позволяющий выполнять отрисовку объемов и, главное, акселератор, реализующий его аппаратно. Мой любимый OpenGL этого не может. Известно, что Silicon Graphics анонсировала Volumizer - отрисовщик объемов (на основе OpenGL), но на Windows-платформах его пока нет. Есть RenderMan (Pixar) - который традиционно используется для создания сложных анимаций, но с ним похоже та же проблема. Возможно, что-то можно сделать с расширением OpenGL, реализующим 3D текстуры.»

Т.е. я хочу сказать, что это самостоятельная довольно объемная область исследований. Если заняться фракталами, то на теорию времени уже не останется. А я в теории всегда был более силен, чем в практике. Впрочем время на размышления еще есть.

Time писал(а):

За фракталку спасибо. Но это слишком простой фрактал, к тому же двумерный. В качестве ответного шага даю картинки трехмерных сечений четырехмерных фракталов на поличислах Н_4:
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-23.jpg
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-24.jpg
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-25.jpg
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-26.jpg
Картинки не очень контрастные, зато трехмерные (вообще-то, есть еще и четвертая координата времени, то есть, их можно сделать эволюционирующими во времени) и, на мой взгляд, наталкивают на определенные размышления. Особенно мне нравится последняя картинка. Она ничего Вам не напоминает?

Ну, я показал этот фрактал безо всякой явной цели, просто чтобы добавить «зрелищности» в наши рассуждения :) . Ваши фракталки я с удовольствием посмотрел, действительно, это довольно занятные изображения. Четвертая картинка мне явно ничего не напоминает, но при должной фантазии можно предположить много чего. К самой идее фракталов я отношусь очень хорошо. В интернете на эту тему довольно много информации и программного обеспечения. Есть программы, генерирующие динамические фракталы и даже реалистические пейзажи, близкие к земным и поверхностям фантастических планет. Когда-то давно я обратил внимание на сообщение, где говорилось, что программа, генерирующая земные пейзажи, содержит в качестве исходных данных всего 100-200 килобайт информации. Все остальное делает алгоритм. Приводились также фото самих пейзажей. Были весьма реалистические горные пейзажи, а также пейзажи неба, рек и озер. Растительности не было, но картинки очень впечатляющие, хоть делай с них фотообои. Но, по-моему, тогда речь шла о каком-то достаточно серьезном компьютере. Поэтому, чтобы действовать в том направлении, надо провести тщательный анализ уже достигнутого.

Time писал(а):

Scholium писал(а):

В интернете есть любопытная книга «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного» В. И. Елисеева, в электронном виде выложенной на сайте http://www.maths.ru/ . В ней много практических приложений, связанных с обобщенными комплексными числами. Я, правда, еще не успел с ней толком ознакомиться, но Вам одна должна быть известна. Что Вы думаете по ее поводу?

Конечно известна, как и сам автор, с которым я имел возможность лет десять назад общаться лично. Объединяет его и нашу группу только предмет исследований (так называемые бикомплексные числа, соответствующие прямой сумме C+C). Однако, как он это делает, вызывает, мягко говоря, недоумение. Я думаю, Вы и сами все поймете, если захотите себе дать труд познакомится не мельком, а чуть поближе.. В этой работе, почти несомненно, есть интересные результаты, но труд, который нужно потратить, что бы разыскать их вряд ли этого стОит. Это также мое сугубо личное мнение и Вы, конечно же, должны сами составить свое..

Я не думаю, что относиться к теориям нужно по принципу: «все или ничего». Смотреть всегда нужно глубже. Допустим, автор ошибается по форме. Ну, там необоснованно рассматривает экзотическую систему координат, наделяя ее не присущими ей свойствами. На этом основании, можно отказаться от дальнейшего чтения его труда. Но можно попытаться вникнуть в причину этого. Скажем, Елисеев утверждает, что аналитичность это свойство окрестности точки, а не самой точки, поэтому его координатное многообразие нужно наделить некой дополнительной топологической структурой. Но выражает эту идею в не очень корректной математической форме, что впрочем не мешает ему получать, скажем, трехмерный аналог для подъемной силы движущегося тела в потоке сплошной среды. Если это решение верно, то совершенно не важно, как оно получено, автор его в историю безусловно «влипнет» :) . Например, физики совершенно не приемлят теории эфира по определению. Однако, хорошо известно, что Максвелл выводил свои уравнения электромагнитного поля на базе собственной модели эфира. Про его модель благополучно забыли, а про уравнения хорошо помнят. Другой пример, Никола Тесла. Он писал, что все свои важные изобретения он делал исходя из собственной модели эфира. Понятно, почему не получили развития модели эфира Максвелла и Тесла, они оказались логически противоречивыми, что не помешало им достичь относительных успехов. Так что присмотреться к Елисееву стоит, несмотря на его некоторые формальные ошибки.

[Time]

Scholium в сообщении #309745 писал(а):

Мне кажется, что отказываться от применения финслеровых пространств в теории чисел вряд ли стоит. Конечно, теория чисел не теоретическая физика и явных практических приложений не имеет, однако, чего лично мне не хватает в теории поличисел, так это их числовых свойств. Вы сами утверждаете, что поличисла это ЧИСЛА. А числа имеют числовые свойства, без знания которых эти объекты выглядят не очень эффектно. У Вас есть сильные алгебраисты, которые, может быть, слишком оторвались от Земли. Почему бы их не попросить исследовать числовые свойства поличисел? И еще, я абсолютно уверен, что достижения финслеровых пространств в теории чисел, безусловно, привлечет массу сторонников к ним. Стоит ли отказываться от этой возможности?

В нашей компании есть один человек (кстати, с ним я сотрудничаю дольше всех), который решил для себя и предупредил всех остальных, что перестает заниматься поличислами, а тем более финслеровой геометрией c физикой и сосредотачивается на самих основаниях математики. Причем на таком гипотетическом фундаменте, который несколько глубже даже понятия натурального числа. Вы знакомы с почти философской работой Рашевского "О догмате натурального ряда"? Если нет, почитайте, получите некоторое представление, в каком примерно направлении пошел этот наш коллега. Так что, мы не пренебрегаем развитием теории чисел и даже ее оснований, просто, нас пока слишком мало, что бы охватить даже самые важные направления.

Scholium в сообщении #309745 писал(а):

Как бы там ни было, но теорию финслеровых (поличисловых) пространств нужно развивать и возможно выделить в одно направление, как математическую дисциплину. Теория аналитических функций должна быть важным, но далеко не единственным направлением в ней.

С этим охотно соглашусь.

Scholium в сообщении #309745 писал(а):

Вот что пишет по этому поводу http://www.aha.ru/~alexfft/quaternions.html :

« Классические фракталы, полученные Мандельбродом, отображаются на комплексной плоскости и представляют собой квадратичные функции комплексных чисел. Кватернионы - это гиперкомплексные числа - с одной действительной и тремя мнимыми частями. Таким образом, этот объект определен в четырехмерном пространстве. Для того, чтобы его увидеть необходимо выполнить проекцию из 4-ех мерного пространства в трехмерное и затем в двухмерное (на экран).
Обычно эти изображения строятся путем фиксации значений одной из координат (проекция), с последующим вычислением значений в узлах трехмерной решетки и получением изображения методом трассировки лучей (подробней смотри Fract-It-YourSelf ).

Я собираюсь сделать анимацию и морфинг этих объектов. Для этого нужен soft, позволяющий выполнять отрисовку объемов и, главное, акселератор, реализующий его аппаратно. Мой любимый OpenGL этого не может. Известно, что Silicon Graphics анонсировала Volumizer - отрисовщик объемов (на основе OpenGL), но на Windows-платформах его пока нет. Есть RenderMan (Pixar) - который традиционно используется для создания сложных анимаций, но с ним похоже та же проблема. Возможно, что-то можно сделать с расширением OpenGL, реализующим 3D текстуры.»

Он пишет все правильно, за исключением одного огромного НО. На комплексных числах, квадратичная (или какая-то другая) функция, с которой обычно начинают заниматься алгебраическими фракталами - АНАЛИТИЧЕСКАЯ функция. А на кватернионах она совсем даже НЕАНАЛИТИЧЕСКАЯ. И это не пустяк. Это связь или отсутствие таковой с внутренними симметриями алгебры и соответствующего ей пространства. Фракталы это, все таки, объекты имеющие внутренние нелинейные симметрии, а когда их нет - они только бледные тени тех, что строятся на основе таких симметрий. Именно поэтому я жду хороших, интересных и содержательных фракталов на поличисловых алгебрах, где самых разных нелинейных симметрий просто навалом и совершенно ничего не жду от всяких там кватернионов, а тем более от пространств вообще без соответствий с алгебрами и с куцыми наборами непрерывных симметрий (на которых так часто нечто фрактальное пытаются строить, а потом выясняется, что достаточно красиво, но "правды жизни", все же, не хватает..)

Scholium в сообщении #309745 писал(а):

Т.е. я хочу сказать, что это самостоятельная довольно объемная область исследований. Если заняться фракталами, то на теорию времени уже не останется. А я в теории всегда был более силен, чем в практике. Впрочем время на размышления еще есть.

Полагаю, что заниматься лучше тем, к чему больше лежит душа. Про строительство фракталов я заикнулся лишь на основании того, что Вы сказали о своей нынешней специализации связанной с программированием. Теорией заниматься не менее интересно, а учитывая, что она еще далека от завершенности - к тому же и крайне важно.

Scholium в сообщении #309745 писал(а):

Ваши фракталки я с удовольствием посмотрел, действительно, это довольно занятные изображения. Четвертая картинка мне явно ничего не напоминает, но при должной фантазии можно предположить много чего.

А мне на четвертой картинке видятся основания через алгебраические фракталы на поличислах приблизиться к пониманию разницы между живой и неживой материей. Понятное дело, что изображенное на данном рисунке еще далеко не то, что хотелось бы в идеале, но мне тут видится нечто уже достаточно похожее на "зародыш". Голова, лапки, хвост.. Жаль, когда мы строили этот фрактал еще плохо представляли, что делали и тыкались вслепую, а потом и вовсе так получилось, что занимавшиеся данным направлением люди уехали за границу, а с их уходом работы вообще на некоторое время приостановились. А то можно было бы посмотреть, как данный "зародыш" развивается во времени. Вдруг, во что-то "взрослое" :) Два года назад мы снова взялись за поличисловые фракталы, но уже не экспериментируя вслепую, как раньше, а начав с самых простых двойных чисел. Скоро, надеюсь, с этими все станет более менее ясно, тогда перейдем к трехмерным. А там, глядишь, и к четырехмерным вернемся, но уже понимая, что делаем и что при этом получаем..

Scholium в сообщении #309745 писал(а):

Есть программы, генерирующие динамические фракталы и даже реалистические пейзажи, близкие к земным и поверхностям фантастических планет. Когда-то давно я обратил внимание на сообщение, где говорилось, что программа, генерирующая земные пейзажи, содержит в качестве исходных данных всего 100-200 килобайт информации. Все остальное делает алгоритм. Приводились также фото самих пейзажей. Были весьма реалистические горные пейзажи, а также пейзажи неба, рек и озер. Растительности не было, но картинки очень впечатляющие, хоть делай с них фотообои. Но, по-моему, тогда речь шла о каком-то достаточно серьезном компьютере. Поэтому, чтобы действовать в том направлении, надо провести тщательный анализ уже достигнутого.

Я немного знаком с таким подходом к фракталам и считаю его почти бесперспективным направлением. Да, получается достаточно легко, сердито и даже на что-то реальное похоже. Но, с моей точки зрения, это слепой перебор самых разных возможностей. Уверен, что нужно не просто тыканием пальцем в небо заниматься, постоянно проверяя похоже - непохоже, (хотя даже мы со своими поличисловыми фракталами какое-то время именно этим поразвлекались), а изучать те самые нелинейные симметрии, а также связанные с ними аналитические и обобщенно аналитические функции, что бы в конце концов фрактальные картинки выглядели не просто как почти настоящие, а именно таковыми и были. Причем всегда и автоматически.. Со всем законами физики, а возможно даже биологии и социологии. Последнее, скорее всего, перебор, но ожидать выполнения физических законов от фракталов, связанных с физическими законами сохранения соответствующими группами непрерывных симметрий, на мой взгляд, достаточно реалистичная задача.

Scholium в сообщении #309745 писал(а):

Так что присмотреться к Елисееву стоит, несмотря на его некоторые формальные ошибки.

Принципиально я не против подобной ревизии его работ. Вот только желающих среди нашего маленького круга единомышленников посвятить хотя бы часть своего времени и сил именно этому, пока не нашлось. Ну да может позже появятся.. Вот Вы, похоже, пробуете понять, что у него рационального, а где явно заносит.. Я также пробовал, но руки, в конце концов, опустились. Тем более, что сам автор тогда не шибко был за такое начинание. Хотел, что бы к его труду подходили примерно также как к цитатнику Мао.

[Scholium]

Time писал(а):

В нашей компании есть один человек (кстати, с ним я сотрудничаю дольше всех), который решил для себя и предупредил всех остальных, что перестает заниматься поличислами, а тем более финслеровой геометрией c физикой и сосредотачивается на самих основаниях математики. Причем на таком гипотетическом фундаменте, который несколько глубже даже понятия натурального числа. Вы знакомы с почти философской работой Рашевского "О догмате натурального ряда"? Если нет, почитайте, получите некоторое представление, в каком примерно направлении пошел этот наш коллега. Так что, мы не пренебрегаем развитием теории чисел и даже ее оснований, просто, нас пока слишком мало, что бы охватить даже самые важные направления.

В работе Рашевского речь идет не о теории чисел, а о пересмотре оснований математики. Только математика это не физика (почти как в статье Андрея Паршева «Почему Россия не Америка» :) ). И физики ошибаются, если принимают ее за свою служанку. Соответственно с физическими «уставом» в математический «монастырь» лучше не ходить. В принципе, если он хочет построить еще один математический объект, даже фундаментального порядка, пусть строит. Только никакие новые построения не «отменят» старые. Они будут существовать независимо. А какой математический объект применять в физике, это уже другой вопрос. Математический объект не станет плохим, если его физический прототип не «работает» должным образом. Самое смешное будет, если Рашевский построит свои «реформированные числовые прямые» с «некоторой размытостью своих элементов», которые будут полностью определяться исходным натуральным рядом, т.е. без последнего не будет определенно и первое. В итоге получится не фундаментальная, а вторичная конструкция. Сила натуральных чисел в их простоте. В каком-то смысле простота структуры натурального ряда минимальна для счетного множества объектов. Боюсь, что даже для конечного отрезка натуральных чисел, структура будет более сложной, чем для бесконечного, ибо учитывает дополнительные ограничения. Так что новой фундаментальной числовой сущностью должен быть не математический объект, включающие некие новые, физические свойства (которые могут оказаться и неверными, в более общем смысле), а более простой объект. А что может быть более проще структуры натурального числа? Конструировать одни математические объекты из других – это всегда, пожалуйста. Это могут делать даже не математики.

Time писал(а):

Полагаю, что заниматься лучше тем, к чему больше лежит душа. Про строительство фракталов я заикнулся лишь на основании того, что Вы сказали о своей нынешней специализации связанной с программированием. Теорией заниматься не менее интересно, а учитывая, что она еще далека от завершенности - к тому же и крайне важно.

Я пока еще не определился с кругом своих научных интересов. Нужно будет освежить свои математические и физические знания, хорошо ознакомиться с поличислами, чтобы быть удовлетворенным их теорией. Не зря Руст написал, что сейчас бы многие вещи он переписал бы по-новому. Если проявится интерес к графическому программированию, что не исключено, то и в этой области надо будет освоиться. Так что придется потратить какое-то время по подготовку.

[Time]

Scholium в сообщении #310192 писал(а):

В принципе, если он хочет построить еще один математический объект, даже фундаментального порядка, пусть строит. Только никакие новые построения не «отменят» старые. Они будут существовать независимо. А какой математический объект применять в физике, это уже другой вопрос. Математический объект не станет плохим, если его физический прототип не «работает» должным образом. Самое смешное будет, если Рашевский построит свои «реформированные числовые прямые» с «некоторой размытостью своих элементов», которые будут полностью определяться исходным натуральным рядом, т.е. без последнего не будет определенно и первое. В итоге получится не фундаментальная, а вторичная конструкция. Сила натуральных чисел в их простоте. В каком-то смысле простота структуры натурального ряда минимальна для счетного множества объектов. Боюсь, что даже для конечного отрезка натуральных чисел, структура будет более сложной, чем для бесконечного, ибо учитывает дополнительные ограничения. Так что новой фундаментальной числовой сущностью должен быть не математический объект, включающие некие новые, физические свойства (которые могут оказаться и неверными, в более общем смысле), а более простой объект. А что может быть более проще структуры натурального числа? Конструировать одни математические объекты из других – это всегда, пожалуйста. Это могут делать даже не математики.

Я не хотел бы углубляться в эту несколько стороннюю для меня тему. Скажу только, что строится не параллельный натуральным числам объект, а более глубокий и соответственно более простой. Натуральные числа оказываются просто вытекающими из него как очень частный случай. Достигается это за счет более элементарной операции умножения, чем на натуральных числах. Возможно этой осенью данная работа будет опубликована, тогда и появится смысл ее обсуждения. С идеями Рашевского в ней только отдаленное сходство.

[Виктор Ширшов]

Time в сообщении #310341 писал(а):

Я не хотел бы углубляться в эту несколько стороннюю для меня тему. Скажу только, что строится не параллельный натуральным числам объект, а более глубокий и соответственно более простой. Натуральные числа оказываются просто вытекающими из него как очень частный случай. Достигается это за счет более элементарной операции умножения, чем на натуральных числах.

Как в поговорке: Каждый кулик своё болото хвалит.

[Scholium]

Time писал(а):

Я не хотел бы углубляться в эту несколько стороннюю для меня тему. Скажу только, что строится не параллельный натуральным числам объект, а более глубокий и соответственно более простой. Натуральные числа оказываются просто вытекающими из него как очень частный случай. Достигается это за счет более элементарной операции умножения, чем на натуральных числах. Возможно этой осенью данная работа будет опубликована, тогда и появится смысл ее обсуждения. С идеями Рашевского в ней только отдаленное сходство.

Да, действительно, предмета разговора особого нет. Будет статья, тогда будет повод ее обсудить.

Я сегодня нашел пару интересных статей. Может быть, Вы про них знаете? Это
Д.Д. Ивлев. «О двойных числах и их функциях» и И.М. Яглом. «Комплексные числа и их применение в геометрии» (в сборнике: http://www.math.ru/lib/files/djvu/mp2/mp2-6.djvu ). Ивлева я уже прочел, в принципе нового мало, но все равно интересно. Можно также пройтись по их ссылкам.

P.S. По поводу Вашей статьи отправил e-mail.

[Time]

Scholium в сообщении #310387 писал(а):

Я сегодня нашел пару интересных статей. Может быть, Вы про них знаете? Это
Д.Д. Ивлев. «О двойных числах и их функциях» и И.М. Яглом. «Комплексные числа и их применение в геометрии» (в сборнике: http://www.math.ru/lib/files/djvu/mp2/mp2-6.djvu ). Ивлева я уже прочел, в принципе нового мало, но все равно интересно. Можно также пройтись по их ссылкам.

Спасибо, посмотрел. У меня есть где-то одна из книг Яглома, в которой о двойных числах говорится существенно больше, чем в статье из предоставленного Вами сборника, но все равно катострофически мало, по сравнению с тем, что я бы хотел там увидеть, когда много лет назад она у меня впервые появилась. В сборнике же в статье Яглома о двойных числах буквально две строчки. Что могут использоваться применительно к геометрии Лобачевского и в специальной теории относительности. Иевлева я тоже только что прочел. У него кстати в самом начале ошибка или опечатка. При записи выражения для величины модуля числа в зонах II и IV у него фигурирует сумма квадратов, а должна также разность, только в обратном порядке, чем в квадрантах I и III. Нового у Иевлева действительно мало, но уже хорошо, что он не констатирует тривиального устройства двойных чисел и даже приводит несколько формул из двумерной СТО. Жаль, что он не выбрал единственного подхода к понятию сходимости и производной. Вы, кстати, где-то писали о связи h-аналитических функций с двумя двумя просто дифференцируемыми (не обязательно бесконечное число раз) функциями одной вещественной переменной. Думаю, это путь уводящий сильно "не туда". Целесообразно h-аналитические функции двойной переменной связывать с двумя ТОЛЬКО аналитическими функциями действительной переменной. В этом случае обе функции от одной переменной оказываются бесконечное число раз дифференцируемыми. Только в этом случае можно установить взаимнооднозначную связь с обычными аналитическими функциями комплексной переменной, что очень важно для нашей цели выйти на гиперболический аналог ТФКП.

Раз уж Вы начали поднимать литературу по двойным числам, то можно посмотреть Кантора с Солодовниковым (есть у нас на сайте в разделе Книги), а также Олариу, кажется, называется "Комплексные числа в n измерениях". Она есть в ArXiv'е, естественно, на английском. Есть там у него и про двойные числа. Если захотите, найду ссылку.

Scholium в сообщении #310387 писал(а):

P.S. По поводу Вашей статьи отправил e-mail.

Да, я видел. Спасибо. Обдумываю, что лучше ответить. Постараюсь завтра..

[Scholium]

Time писал(а):

Спасибо, посмотрел. У меня есть где-то одна из книг Яглома, в которой о двойных числах говорится существенно больше, чем в статье из предоставленного Вами сборника, но все равно катострофически мало, по сравнению с тем, что я бы хотел там увидеть, когда много лет назад она у меня впервые появилась. В сборнике же в статье Яглома о двойных числах буквально две строчки. Что могут использоваться применительно к геометрии Лобачевского и в специальной теории относительности. Иевлева я тоже только что прочел. У него кстати в самом начале ошибка или опечатка. При записи выражения для величины модуля числа в зонах II и IV у него фигурирует сумма квадратов, а должна также разность, только в обратном порядке, чем в квадрантах I и III. Нового у Иевлева действительно мало, но уже хорошо, что он не констатирует тривиального устройства двойных чисел и даже приводит несколько формул из двумерной СТО. Жаль, что он не выбрал единственного подхода к понятию сходимости и производной. Вы, кстати, где-то писали о связи h-аналитических функций с двумя двумя просто дифференцируемыми (не обязательно бесконечное число раз) функциями одной вещественной переменной. Думаю, это путь уводящий сильно "не туда". Целесообразно h-аналитические функции двойной переменной связывать с двумя ТОЛЬКО аналитическими функциями действительной переменной. В этом случае обе функции от одной переменной оказываются бесконечное число раз дифференцируемыми. Только в этом случае можно установить взаимнооднозначную связь с обычными аналитическими функциями комплексной переменной, что очень важно для нашей цели выйти на гиперболический аналог ТФКП.

В статье Яглома «Комплексные числа и их применение в геометрии» уделяется также внимание дуальным числам, что может пригодиться в будущем. Однако, достаточно много материала, посвященного двойным числам, я нашел у Б.А. Розенфельд. «Неевклидовы геометрии». 1955 год. ( http://www.vargin.mephi.ru/books/book_m ... enfeld.rar ). Там есть и алгебраические исследования. Однако у меня к Вам будет просьба. Д.Д. Ивлев ссылается на работу:

М.С. Королева, «К алгебре двойных чисел. Ученые записки Орехово-Зуевского пединститута 7, вып. 2, 1957, стр. 113-136».

Хотелось бы ознакомиться с ней. Вы не могли бы найти эту публикацию? Она могла бы быть интересной и Вам.

Насчет опечатки, буду иметь в виду.

Сходимость и производная связана с выбором определенной метрики, нормы или скалярного произведения. Понятно, что возможный выбор здесь неограничен. Какую структуру пространства Вы предпочтете, это уже Вам решать. Но это отдельный разговор. Также как и разговор о бесконечной дифференцируемости $h$-аналитической функции (см. мое письмо на эту тему).

Time писал(а):

Раз уж Вы начали поднимать литературу по двойным числам, то можно посмотреть Кантора с Солодовниковым (есть у нас на сайте в разделе Книги), а также Олариу, кажется, называется "Комплексные числа в n измерениях". Она есть в ArXiv'е, естественно, на английском. Есть там у него и про двойные числа. Если захотите, найду ссылку.

Эти книги у меня уже есть. Но не было еще времени прочесть их. Интересной литературы действительно много :)

[Time]

Scholium в сообщении #310678 писал(а):

Однако, достаточно много материала, посвященного двойным числам, я нашел у Б.А. Розенфельд. «Неевклидовы геометрии». 1955 год.

У меня более позднее издание 1966 и 1969 годов в двух томах. В первом действительно есть кое что о двойных числах. Обратили внимание, что Розенфельд определяет аналитичность (он не использует приставку $h$) функций двойной переменной через две АНАЛИТИЧЕСКИЕ функции одной вещественной переменной, или, что тоже самое через бесконечные степенные ряды? Также он рассматривает эти аналитические функции как конформные преобразования псевдоевклидовой плоскости и даже приводит примеры пары нелинейных функций. Но он также как и Лаврентьев с Шабатом не идет дальше и не рассмартивает бесконечномерную группу конформных симметрий псевдоевклидовой плоскости в связи с ее возможными геометрическими интерпретациями в качестве векторных полей, а также не делает попытки их физической интерпретации. Хотя в других местах он достаточно активно занимается сопоставлением пространств кватернионов и антикватернионов именно в связи с физическими приложениями их алгебраических и геометрических свойств. Заканчивается первый том абзацем, вероятно, очень интересным для Вас, в котором идет речь о предположении разрешения ряда проблем квантовой механики в связи с пересмотром представлений о непрерывности пространства и времени.
Что самое удивительное, ни в одном из двух томов Розенфельд ни звука не говорит о финслеровых пространствах, даже о линейных.
В совсем свежем его издании 2003 года, он чуть-чуть исправил этот недостаток и целый раздел посвятил коммутативно-ассоциативным алгебрам, причем не только двумерным. Он затрагивает алгебры $C+C$ и $H_2+H_2=R+R+R+R$. Но разбирается с ними совсем немного и мне не удалось найти упоминаний о их связи с линейными финслеровыми пространствами или хотя бы выражений для модулей чисел этих алгебр (хотя четверку сопряженных для чисел алгебры $C+C$ приводит). О физических приложениях речь вообще не идет.

Scholium в сообщении #310678 писал(а):

Однако у меня к Вам будет просьба. Д.Д. Ивлев ссылается на работу:

М.С. Королева, «К алгебре двойных чисел. Ученые записки Орехово-Зуевского пединститута 7, вып. 2, 1957, стр. 113-136».

Хотелось бы ознакомиться с ней. Вы не могли бы найти эту публикацию? Она могла бы быть интересной и Вам.

Я попробую, но не уверен. Вероятно, найти ее можно только в "Ленинке", а туда редко кто из наших последнее время захаживает. В любом случае - спрошу..

Scholium в сообщении #310678 писал(а):

Сходимость и производная связана с выбором определенной метрики, нормы или скалярного произведения. Понятно, что возможный выбор здесь неограничен. Какую структуру пространства Вы предпочтете, это уже Вам решать.

Полагаю, что сходимость - во многом ключевой вопрос. Немного позанимавшись им, выяснилось, что удобное определение сходимости ряда чисел на двойной плоскости запросто тянет переопределение сходимости в аналогичном случае на комплексной плоскости. Никогда не обращали внимания, что, определяя сходимость в последнем случае, народ рассматривает лишь сходимость по модулю расстояния между соседними точками и не принимает во внимание изменение аргумента? Что бы между сходимостями на плоскости двойных чисел и комплексной был естественный для них паритет, на последней также нужно отслеживать не только сходимость по модулю, но и по аргументу. То есть, условий сходимости на комплексной плоскости можно ввести, минимум, два (второе можно как ни будь иначе именовать, что бы не запутаться) и второй вариант оказывается родственным тому наиболее удобному и естественному, что имеет смысл вводить на двойной плоскости.

Scholium в сообщении #310678 писал(а):

Также как и разговор о бесконечной дифференцируемости $h$-аналитической функции (см. мое письмо на эту тему).

Выше я упомянул, что Розенфельд придерживается использования именно аналитических (то есть бесконечно дифференцируемых) функций одной вещественной переменной, которые формируют h-аналитическую функцию двойной переменной.

Scholium в сообщении #310678 писал(а):

Эти книги у меня уже есть. Но не было еще времени прочесть их. Интересной литературы действительно много :)

Литературы действительно по коммутативно-ассоциативным алгебрам достаточно много. Однако практически нет такой, в которой те рассматриваются в естественной связи с линейными финслеровыми пространствами (это, на мой взгляд, очень серьезный минус), а в последних бы использовалось естественное обобщение понятия скалярного произведения, являющегося фундаментом обычных квадратичных геометрий.

[Yarkin]

Yarkin в сообщении #307140 писал(а):

Ничего лишнего тут нет, просто в отличие от поля комплексных чисел, в коммутативном кольце двойных уравнение
$x^2=1$
имеет не два корня, а четыре:
$x_1=1; x_2=-1; x_3=j; x_4=-j.$
Геометрически это объясняется наличием четырех несвязных компонент у индикатрисы псевдоевклидовой плоскости, соответствующей алгебре двойных чисел.

Есть ли доказательство этого факта. Эти четыре корня фактически действительные числа. Утверждая их наличие, независимо от того где Вы их рассматриваете, получаете противоречие основной теореме алгебры.