2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Системка дифуров
Сообщение19.04.2010, 01:30 


12/09/08

2262
Допоможите, плиз, с системкой дифуров. В компактном виде выглядят так:

$$\left\{
\begin{aligned}
&((1-x)e^\lambda)''((1+x)e^{-\lambda})^3 = A\\
&((1-x)e^\lambda)^3((1+x)e^{-\lambda})'' = -B
\end{aligned}
\right.$$

$\lambda = \lambda(x)$, штрих — дифференцирование по $x$, $|x|<1$, $A$ и $B$ константы.

Не студент, не халявщик. Just for fun. Просто уже устал медитировать и пробовать то так, то сяк.

Хорошо бы увидеть, как оно сводится к чему-то известному и неразрешимому в элементарных функциях и успокоиться :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Системка дифуров
Сообщение19.04.2010, 10:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
UPD: Враки, куб не написал

 Профиль  
                  
 
 Re: Системка дифуров
Сообщение19.04.2010, 10:35 
Заслуженный участник


11/05/08
31883
А что это вообще за зверь такой -- система из двух уравнений для одной функции?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Системка дифуров
Сообщение19.04.2010, 11:14 
Заслуженный участник


09/01/06
799
Если продифференцировать первое уравнение и сократить на квадрат, потом сделать аналогичную операцию со вторым, а потом еще и сложить полученные выражения, то получится
$(1-x^2)e^{2\lambda(x)}=C_0+C_1x+C_2x^2$.
Дальше можно подставить $e^{\lambda}$ в оба уравнения и найти, существуют ли такие $C_i$ или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системка дифуров
Сообщение19.04.2010, 13:41 


12/09/08

2262
V.V. в сообщении #311140 писал(а):
Если продифференцировать первое уравнение и сократить на квадрат, потом сделать аналогичную операцию со вторым, а потом еще и сложить полученные выражения, то получится
Нет, к сожалению не получится. Чтобы получить полную третью производную надо сократить не только на квадраты, но и на экспоненты. Этим я уже игрался.

$f=(1-x)e^\lambda$, $g=(1+x)e^{-\lambda}$

$\dfrac{(f''g^3)'}{g^2} + \dfrac{(g''f^3)'}{f^2} = (fg)'''$, т.е. получается $(1-x^2)''' = 0$, что и так понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системка дифуров
Сообщение20.04.2010, 06:14 
Заслуженный участник


09/01/06
799
Зачем экспоненты сокращать?

У Вас выражение $Y''Z^3=A$. Продифференцируем: $Y'''Z^3+3Y''Z'Z^2=0$, сократим на $Z^2$, получим $Y'''Z+3Y''Z'=0$, из второго аналогично получим $3Y'Z''+YZ'''=0$, сложим...

 Профиль  
                  
 
 Re: Системка дифуров
Сообщение20.04.2010, 07:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
V.V. в сообщении #311287 писал(а):
Продифференцируем: $Y'''Z^3+3Y''Z'Z^2=0$, сократим на $Z^2$, получим $Y'''Z+3Y''Z'=0$, из второго аналогично получим $3Y'Z''+YZ'''=0$, сложим...

вздымщик Цыпа в сообщении #311165 писал(а):
получается $(1-x^2)''' = 0$, что и так понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системка дифуров
Сообщение20.04.2010, 13:23 


12/09/08

2262
Нашел (угадал, подобрал) по одному однопараметрическому семейству частных решений каждого из уравнений:

$\lambda_1(x) = -\ln\left(\sqrt{\dfrac{A}{2(C_1^2 - 1)}}\ \dfrac{1-C_1x}{1+x}\right)$

$\lambda_2(x) = \ln\left(\sqrt{\dfrac{B}{2(1-C_2^2)}}\ \dfrac{1+C_2x}{1-x}\right)$

Первое ч.р. при подстановке во второе уравнение дает $0$ при любом $C_1$. Аналогично, второе ч.р. при подстановке в первое уравнение.

Понятное дело, никто не гарантирует, что при любых $A$ и $B$ система совместна. Однако, чтоб убедиться в том, что общих решений нет при $AB\ne 0$, однопараметрических семейств ч.р. мало.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group