Проектор в банаховом пространстве

[ShMaxG]

Дано банахово пространство с базисом $\[\left\{ {{e_m}} \right\}_{m = 1}^\infty \]$. Проектор $\[{S_N}\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^N {{x_m}{e_m}} \] $.

Правда ли, что $\[\left\| {{S_N} - I} \right\| \to 0,N \to \infty \]$ (т.е. сходимость последовательности проекторов по операторной норме к тождественному оператору).

Вот поточечная сходимость очевидна по определению. А такая - не понятно, ибо не понятно каким вообще может быть базис и координаты векторов в нем.

А может в общем случае это не так, но при каких-то доп. условиях это верно? Подскажите пожалуйста.

[Полосин]

$x_N=e_{N+1}$.

[ewert]

Возьмите ортопроекторы в гильбертовом пространстве. Их нормы равны единице. А их дополнения до единичного оператора -- это тоже ортопроекторы.

[ShMaxG]

В общем, как я понял, операторная сходимость проекторов к тождественному в банаховых пространствах не имеет места. Как и в гильбертовых что ли?

Генерально, мне интересно bounded approximation property.
Говорим, что банахово пространство обладает этим свойством, если существует множество операторов $S_n$, которое удовлетворяет двум свойствам:

1)$\[{S_n} \to I\]$ по сильной операторной топологии.

2)$\[\exists R \,\,\forall n: \,\, \left\| {{S_n}} \right\| < R\]$

В статье Энфло, который занимался проблемой существования базиса в сепарабельных рефлексивных пространствах, сказано, что банаховы пространства с базисом Шаудера обладают свойством b.a.p., и что за $S_n$ можно выбрать проекторы. Ссылка: http://www.springerlink.com/content/g124318rp4588310/.

Доказательство пункта 2 я имею. А док-во первого - нет.

Может я чего-то не так понимаю?

[ewert]

ShMaxG в сообщении #311336 писал(а):

В общем, как я понял, операторная сходимость проекторов к тождественному в банаховых пространствах не имеет места. Как и в гильбертовых что ли?

Ну, раз в гильбертовых не имеет -- то с чего будет иметь в банаховых как обобщении гильбертовых?...

[id]

ShMaxG
Strong-operator topology - это не нормовая топология.

[ShMaxG]

Ошибку понял, спасибо. Пойду читать.

-- Вт апр 20, 2010 11:30:53 --

В книге Рида по функану написано, что в этой топологии направленность операторов $T_{\alpha}$ сходится к оператору $T$, тогда и только тогда, когда $\[\forall x \in X\]$ $\[\left\| {{T_\alpha }x - Tx} \right\| \to 0\] $.

Это, как я понимаю, обобщение на случай произвольного множества индексов. А сходимость фактически - поточечная, так?