Турнир любителей математики памяти Чуя (Ярославль, 2006)

[V.V.]

Турнир прошел весной (сразу после областной олимпиады) в ярославской школе №33. В нем приняли участие школьники из различных школ Ярославля и Переславля-Залесского.

8 класс

1. Тест состоит из 51 вопроса. За правильный ответ дают 11 очков, а за неправильный отнимают 6 очков. Экзаменуемый ответил на все вопросы. На сколько вопросов он ответил правильно, если сумма полученных очков равна нулю?

2. В выражении $4\cdot\overline{\mbox{\rm ДУБЛОМ}}=3\cdot\overline{\mbox{\rm ЛОМДУБ}}$ каждая буква поставлена вместо десятичной цифры (своей для каждой буквы) шестизначного числа. Определите, какую цифру изображает каждая буква.

3. Кресла в театре Юного Зрителя расставлены в виде прямоугольника. На спектакле "Приключения Буратино" в каждом вертикальном ряду сидело 6 мальчиков, а в каждом горозонтальном - 8 девочек, и 33 кресла были свободны. Сколько в зале вертикальных и горизонтальных рядов, если всего место в зале не больше 260?

4. В треугольнике ABC точки D и E - середины сторон AB и AC соответственно. Сторона BC равна трети периметра. Докажите, что точка пересечения биссектрис углов BDE и СED лежит на BC.

5. В наборе из 2005 гирек любые 1003 гирек тяжелее любых 1002 гирек. Верно ли, что любые k гирек тяжелее любых k-1 гирек, где $k\leqslant 1002$ (гирьки имеют положительный вес)?

9 класс

1. Корни уравнения $x^2+px+q=0$ - целые числа и 3p+q=4. Найдите эти корни.

2. Числа a, b - положительные и ab=1. Докажите неравенство $\frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}\leqslant\frac{1}{2}$.

3. Имеется 33 палочки длины 1, 2, 3, ..., 33. Двое по очереди удаляют из набора по одной палочке, пока не останутся три палочки. Если из них можно сложить треугольник, то выигрывает второй, а если нельзя, то первый. Кто может выиграть независимо от игры соперника?

4. Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Центры $O_1$ и $O_2$ описанных окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ треугольников APB и CPD лежат на описанной окружности $\omega$ четырехугольника ABCD. Найдите угол APD.

5. Найдите хоть одно решение в натуральных числах уравнения $a^3+b^5+c^7=d^{11}$.

10 класс

1. Найдите соотношения между коэффициентами a, b, c при выполнении которых система уравнений

$$ \left\{ \begin{array}{c} a\cos{2x}+b\cos{x}+c=0,\\ b\cos{2x}+c\cos{x}+a=0,\\ c\cos{2x}+a\cos{x}+b=0\\ \end{array} \right. $$

имеет решение.

2. Найдите среднее по величине из трех положительных чисел x, y, z, если xyz=1 и $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$.

3. Назовем множество натуральных чисел суперпростым, если сумма любого нечетного числа его элементов - простое число. Какое максимальное число элементов может быть в суперпростом множестве?

4. Докажите, что если в треугольнике перпендикуляры, восстановленные из оснований биссектрис к стороне, пересекаются в одной точке, то треугольник - равнобедренный.

5. В школе учатся n учеников. Некоторые из них ходят в кружки по интересам, причем каждые два кружка имеют общего участника, а каждые три кружка общего участника не имеют. Какое максимальное число кружков в школе?

11 класс

1. Решите систему

$$ \left\{ \begin{array}{c} x+y+z=0,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0. \end{array} \right. $$

2. Существует ли такое x, что значения выражений $\tg x+\sqrt{5}=p$ и
$\ctg x+\sqrt{5}=q$ - рациональные числа?

3. В треугольнике со сторонами a, b, c прямая, соединяющая точку пересечения медиан с центром вписанной окружности, перпендикулярна биссектрисе угла, противолежащего стороне c. Докажите, что среднее арифметическое чисел a, b, c равно среднему гармоническому чисел a, b, т.е. $\frac{a+b+c}{3}=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$.

4. Сеть дорог в некоторой стране устроена таким образом, что каждые два города соединяет не более одной дороги с двусторонним движением, и какой бы набор городов (в том числе набор, состоящий из всех дорог страны) не взять, то в этом наборе всегда найдется город, из которого выходит не более 2k+1 дорог в города из этого набора. Докажите, что страну можно разбить на не более чем k+1 частей, в каждой из которых не существует кольцевого маршрута из дорог, в котором все дороги разные.

5. Пусть p=4k+3 - простое число. Докажите, что если для целых чисел x, y выполняется равенство $(p-1)x^2+x=py^2+y$, то x-y и (p-1)x+(p-1)y+1 - квадраты целых чисел.