Разобраться в готовом решении!

[Zidan98]

Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-1;1]$ и для всех $x$ из него выполнено $f(x)$$>=$$f(1-2*x^2)$ Доказать, что функция постоянна.
Имеется готовое решение. Но не хватает мозга с ним разделаться .Вот его начало.

[Maslov]

Zidan98 в сообщении #309806 писал(а):

Вот его начало.

Так где его начало-то?

[Zidan98]

Докажем,что выполнено для всех x из $[-1;1]$ следующее неравенство:
$f(x)$$>=$$max$$f(x)$из интервала (Никто не знает как набирать знак "принадлежит" ?) Ну и заменяем икс на $cos t$и получаем неравенство $f(cost)>=$$f(cos(-2t))$$>=$$f(cos4t)$$>=$$...$$>=$$f((-1)^n cos(2^n t))$.
Далее подставим $x=\zeta$ и т.к. f-непрерывная функция от t, то получаем, что для любого $\epsilon$$>$0
найдется такой $\delta$>0, что из $|\zeta-t|<\delta$следует? что $|f(x)-f(cost)|<\epsilon$. Все это понятно очень даже..
Далее идет такое: для достаточно больших $n$ интервал $I_\epsilon=(\zeta-\delta;\zeta+\delta)$имеет длину больше, чем два в степени (-n+1), умноженное на $\pi$(Извините пожалуйста, первый день, не смог набрать!!!) Тогда интервал $2^n$$\I_\epsilon$имеет длину больше, чем $2\pi$ и $cost$ принимает на нем все значения из $[-1;1]$.
Применяя доказанное неравенство (не пойму какое ) к каждой точке $I_\epsilon$. учитывая что левая часть не превосходит $f(x)+\epsilon$, получаем $f(x)+\epsilon>maxf(x)$, и дальше очевидно...

-- Чт апр 15, 2010 17:35:52 --

Вообще не понятно, где использовано, что косинус принимает на нем все значения ? (Не разобрался как цитировать )

-- Чт апр 15, 2010 17:39:53 --

Звездочка в условии-это я так умножение обозначал..
Помогите разобраться-все понятно до ттого места, где этот косинус..

-- Чт апр 15, 2010 17:48:16 --

Maslov. Вы может еще что-нибудь напишете?

[Maslov]

На данный момент могу только с TeX помочь:

$\in$ \in
$\subset$ \subset
$\subseteq$ \subseteq
$\forall$ \forall
$\exists$ \exists
$2^{(-n+1)\pi}$ 2^{(-n+1)\pi}
$\to$ \to
$\Rightarrow$ \Rightarrow
$\varepsilon$ \varepsilon
$\cos$ \cos
$\cdot$ (умножение) \cdot

[TOTAL]

Предполагаем, что $f(\cos(t))$ не постоянна. Без ограничения общности можно считать, что в каком-то интервале длины $\delta$ она отрицательна, а в какой-то точке положительна. При достаточно большом $k$ имеем $4^k\delta >2 \pi$. Тогда не для всех $t$ выполняется неравенство $f(\cos(t)) \ge f(cos(4^kt))$ (ведь левая часть отрицательна на упомянутом интервале, а правая пробегает все значения).

[kahey]

Zidan98 в сообщении #309806 писал(а):

Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-1;1]$ и для всех $x$ из него выполнено $f(x)$$>=$$f(1-2*x^2)$ Доказать, что функция постоянна.
Имеется готовое решение. Но не хватает мозга с ним разделаться .Вот его начало.

1)$x=1-2*x^2$
Два корня x=-1, x=0.5
2) Возьмём производную в точке 0.5
Должно быть:
$f'(0.5)>=-2*f'(0.5)$
Рассмотрим окрестность.
$f'(x)$
$-4x*f'(1-2x^2)$
Функция f(x) до точки 0.5 будет убывать, а после возрастать.

-- Чт апр 15, 2010 20:44:36 --

Если начертить график, то станет понятно, что в точке x=-1 функция f(x) должна возрастать быстрее, чем функция $f(1-2x^2$
Это не так покрайне мере для некоторой окрестности.

[id]

TOTAL
Тут, видимо, использовалась плотность $\{ \cos 4^k t \}_k$ в $(-1,1)$ для некоторых $t \in (-1,1)$, которые тоже всюду плотны на этом интервале?

[ewert]

По-видимому, в оригинальном доказательстве имелось в виду примерно следующее.

Предположим, что функция не постоянна. Выберем точку $t_0$ так, что $f(\cos t_0)<f_{\max}$. Тогда по непрерывности (периодической) функции $f(\cos t)$ выполнено неравенство $f(\cos t)<f_{\max}$ для любого $t\in[t_0-d;\,t_0+d]$, т.е. на некотором отрезке ненулевой ширины $2d$. Однако при этом аргумент $2^nt$ пробегает отрезок $t\in[2^n(t_0-d);\,2^n(t_0+d)]$ ширины $2^{n+1}d$, включающий в себя при достаточно большом $n$ хотя бы один период косинуса. Образ последнего отрезка (для косинуса) содержит в себе весь отрезок $[-1;1]$, поэтому из условия $f(\cos t)\geqslant f\left((-1)^n\cos(2^nt)\right)\ (\forall t\in[t_0-d;\,t_0+d])$ следует существование точки $t_1\in[t_0-d;\,t_0+d]$, в которой $f(\cos t_1)\geqslant f_{\max}$ (это одна из тех точек, в которых достигается максимум функции $f\left((-1)^n\cos(2^nt)\right)$). А это противоречит неравенству $f(\cos t)<f_{\max}\ (\forall t\in[t_0-d;\,t_0+d])$.

[kahey]

Я бы предложил следующее:
$cos(t)>=...>=cos(2^nt)$
Покажем, что с заданной наперёд точностью можно решить уравнение:
$cos(2^nt)=cos(t)$
$2^nt=t+2k\pi$
$(2^n+1)\frac{t}{2\pi}=k$
Задача состоит в том, чтобы подобрать достаточно близкое число к числу
$\frac{t}{2\pi}$
Взяв достаточно большое n (чем больше точность, тем больше n), это равенство можно будет упростить:
$2^n\frac{t}{2\pi}=k$
Далее, число $\frac{t}{2\pi}$ надо представить с достаточной точностью в двоичной системе счисления. При этом, если взять достаточно большое n, то k будет целым.
Таким образом получаем:
$cos(t)=-cos(2t)=cos(4t)=...=cos(2^nt)$
Точно также можно показать, т.е. найти нужные n и k, что
$cos(t_1)=cos(t_2)$ при любых $t_1, t_2$

[Zidan98]

А как цитировать кого-либо?

-- Сб апр 17, 2010 16:23:05 --

Maslov
$2^{(-n+1)\pi$-я не это имел в виду...
Я имел в виду $2^{-n+1}\cdot\pi$ при достаточно больших $n$.
Это нераенство очевидно.. Вот только как оно дальше используется ???
О плотности я имею самое расплывчатое представление...

-- Сб апр 17, 2010 16:26:14 --

kahey $f(cost)>=...>=f((-1)^n*cost) $ и по-видимому от -1 не избавиться....

-- Сб апр 17, 2010 16:26:59 --

И все-таки, как цитировать??

-- Сб апр 17, 2010 16:37:01 --

$2^{-n+1}\cdot\pi$$>|I_\varepsilon|$ при достаточно больших $n$

-- Сб апр 17, 2010 16:39:24 --

Тут столько всего написано.... Постараюсь разобраться со всем...
Но кто-нибудь может разобраться именно с этим решением???

[worm2]

Zidan98 в сообщении #310511 писал(а):

А как цитировать кого-либо?

Выделяете цитируемый текст мышой, нажимаете на кнопку "Вставка" внизу сообщения, и как по мановению волшебной палочки нужный код вставляется в сообщение. Я, например, только что Вас так процитировал.

[ewert]

Zidan98 в сообщении #310511 писал(а):

Но кто-нибудь может разобраться именно с этим решением???

Вряд ли -- там всё очень невнятно. Начиная с

Zidan98 в сообщении #309822 писал(а):

Далее подставим $x=\zeta$

(что такое $\zeta$?...) и т.д.. Попытку реконструкции см. выше.

[Zidan98]

worm2 в сообщении #310532 писал(а):

Выделяете цитируемый текст мышой, нажимаете на кнопку "Вставка" внизу сообщения,

[
Спасибо, разобрался... Говорите, невнятно?

worm2 в сообщении #310532 писал(а):

(что такое ?...)

[ewert]

Zidan98 в сообщении #311159 писал(а):

worm2 в сообщении #310532 писал(а):

(что такое ?...)

Во-первых, промахнулись мимо автора. А во-вторых, таким способом цитируется только обычный текст, но не формулы (и не греческие буквы, как частный случай формул).