Гамма-функция и интегралы

[vanja]

Вот начал пытаться изучать гамма-функцию и возникли некоторые проблемы, хочется их разрешить и внести ясность, если начать с элементарных заданий, нужно вычислить с помощью гамма-функции интегралы:
1)$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \tg^{\alpha}x dx$,$|\alpha|<1$;
2)$\int\limits_0^{+\infty}\frac{x^{a-1}}{1+x^b}dx$,$(0<a<b)$;
3)$\int\limits_0^{+\infty}\frac{x^a dx}{(1+x^2)^3}$,$(-1<a<5)$;
4)$\int\limits_0^{+\infty}\frac{x^{e-1}}{(1+x^2)^2}dx$.
ну вот вообщем-то во втором я предполагаю, что можно применить формулу дополнения, а вот с остальными идей нет

[Полосин]

1) $t=\tg x$;
2) $t=x^b$;
3, 4) $t=x^2$, затем интегрируйте по частям.
Воспользуйтесь формулой $\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{x^{p-1}dx}{1+x}=\dfrac{\pi}{\sin(\pi p)}, 0<Re p<1$.

[vanja]

К сожалению, ненадолго оставил это занятие, но буквально сегодня все-таки решил возобновить попытки)
дак вот назрел вопрос, если допустим брать первый пример,то производя подсказанную вами замену, получаем
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tg^{\alpha}(x)dx=\left[t=\tg x,dt=\frac{1}{\cos^2(x)dx}\right]=\int_{?}^{?}$ от чего до чего будет интеграл? буду благодарен за любую помощь

[Профессор Снэйп]

vanja в сообщении #294810 писал(а):

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\tg^{\alpha}(x)dx=\left[t=\tg x,dt=\frac{1}{\cos^2(x)dx}\right]=\int_{?}^{?}$ от чего до чего будет интеграл? буду благодарен за любую помощь

Там не $dt$, а $dx$ считать надо и потом подставлять.

$$dx = \frac{d(\arctg t)}{dt} dt = \ldots$$

Интеграл будет от $0$ до $+\infty$.

[vanja]

а откуда мы получаем это промежуток то?

[Профессор Снэйп]

vanja в сообщении #294823 писал(а):

а откуда мы получаем это промежуток то?

Когда $x$ меняется от $0$ до $\pi/2$, значение $t = \tg x$ меняется от $0$ до $+\infty$. Нарисуйте график тангенса и всё поймёте

[meduza]

vanja, советую вам для начала поучиться интегрированию (неопределённому и определённому) на простых примерах.

[vanja]

meduza в сообщении #294832 писал(а):

vanja, советую вам для начала поучиться интегрированию (неопределённому и определённому) на простых примерах.

постараюсь всё это сегодня вспомнить и реализовать на этом примере)

[vanja]

1)$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \tg^{\alpha}x dx$,$|\alpha|<1$
$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \tg^{\alpha}x dx=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{\alpha}x\cos^{-\alpha}xdx=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{\alpha-1}x\cos^{-\alpha-1}x 2\cos x\sin x dx$
далее делаем замену $t=\sin^2x ; dt=2\sin x\cos x dx $ и получаем:
$\frac{1}{2}\int\limits_0^1 t^{\frac{\alpha-1}{2}}(1-t)^{\frac{-\alpha-1}{2}}dt= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 t^{\frac{\alpha+1}{2}-1}(1-t)^{\frac{1-\alpha}{2}-1}dt$
и что делать дальше, не подскажете?)

[ИСН]

Дальше надо постичь тайны бета-функции.

[vanja]

дак, до этой тайны все верно?)

-- Пн апр 19, 2010 00:01:31 --

$B\left(\frac{\alpha}{2}+1)(1-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{G(\frac{\alpha}{2}+1)G(1-\frac{\alpha}{2})}{G(2)}$ ?

[vanja]

что-то я запутался

[ИСН]

Ещё раз, медленно: бета от чего?

[vanja]

ну если брать B(x,y)=$\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$, то вроде все также, нет? только в начале вроде забыл $\frac{1}{2}$

[ИСН]

Спасибо за определение. Теперь ещё раз, пожалуйста: Ваш интеграл равен...