Неподвижная точка коммутирующих отображений

[kol]

Здравствуйте!

В книге Зорича "математический анализ" т.1. Есть такая задача: "если два непрерывных отображения $f$ и $g$ отрезка в себя коммутируют, т.е. $f \circ g = g \circ f$, то они имеют общую неподвижную точку".

До меня никак не доходит, как её получить.
Помогите, пожалуйста.
Спасибо.

-- Вс апр 18, 2010 20:20:42 --

Брр, не туда написал

Брр, опять переезжать... /АКМ

[kol]

Ну а всё-таки.

Есть $f,g,h=f\circ g$. У каждой есть неподвижная точка. $f(x_f)=x_f, g(x_g)=x_g, h(x_h)=x_h$. Выполняются различные соотношения: $f(x_g)=h(x_g), g(x_f)=h(x_f)$. Но что это даёт? Или я не в том направлении думаю?

[Ales]

До конца не решил, но может быть так:
$f \circ g (x_g) = g \circ f (x_g)$, отсюда $f(x_g) = g ( f (x_g))$.
Получается что если точка $x$ неподвижная для $g$, то $f(x)$ тоже неподвижная.
Рассмотрим последовательность $x, f(x),f(f(x)),.... $.
Какие у нее свойства, может тогда и докажем.

-- Пн апр 19, 2010 10:22:44 --

Или так: пусть $X_g$ - замкнутое множество точек неподвижных для $g$.
Тогда $....\subset f(f(X_g)) \subset f(X_g) \subset X_g$.
Пересечение вложенной цепочки замкнутых - замкнуто и непусто.
Может в пересечении - искомая точка?

[Ales]

Если бы одна из них была монотонно возрастающей, тогда бы я доказал.

[maxal]

см. topic27859.html