как решать такое уравнение (уравнения мат. физики)

[district-09]

Помогите.
$U_{tt}=a^{2}U_{xx}+sin\frac{2\pi\\x}{3}$
$0\le x\le 3, t>0$
$U|_{x=0}=p_h$
$U|_{x=3}=p_k$
$U|_{t=0}=p_h+\frac{p_k-p_h}{3}x+ sin\frac{5\pi\\x}{3}$
$U_t|_{t=0}=sin\frac{4\pi\\x}{3}$
Как называется такое уравнение, и как его нужно решать? Или хотя бы скажите, где можно прочитать, как его решать.
Спасибо.

[Alexey1]

Это волновое уравнение заданное на отрезке $x\in [0;3]$ с граничными условиями Дирихле. Сначала приведите к однородным граничным условиям сделав замену. Решается методом разделения переменных.

[district-09]

А можно хоть чуточку поподробнее? Пытался найти пример решения такой задачи - не вышло.
Во всей литературе, которую я находил примеры решения волнового уравнения методом разделения переменных приводятся толко для однородных граничных условий. Примеры решения данной задачи встретил только численные.
Alexey1, если можно, мне бы хоть первый шаг. То есть:

Цитата:

Сначала приведите к однородным граничным условиям сделав замену.

Собственно что сие означает и как это делается?
Лучше конечно ссылочку, где можно посмотреть как решаются подобные задачи.
Спасибо.

[ewert]

district-09 в сообщении #310960 писал(а):

Собственно что сие означает и как это делается?

Вычесть из искомой функции линейную по иксам, удовлетворяющую только граничным условиям.

Собственно, Вам в первом начальном условии ровно на это и намекается.

[district-09]

ewert в сообщении #310965 писал(а):

Вычесть из искомой функции линейную по иксам, удовлетворяющую только граничным условиям.

Отлично. Только что это значит?
Можете первый шаг подробно расписать?

[Alexey1]

district-09 в сообщении #310973 писал(а):

Отлично. Только что это значит?
Можете первый шаг подробно расписать?

Найдите линейную функцию $y=kx+b$, которая проходит через точки $(0;p_h), (3;p_k)$, и затем сделайте замену $V=U-y$, чтобы получить однородные граничные условия.

[district-09]

Alexey1 в сообщении #310983 писал(а):

district-09 в сообщении #310973 писал(а):

Отлично. Только что это значит?
Можете первый шаг подробно расписать?

Найдите линейную функцию $y=kx+b$, которая проходит через точки $(0;p_h), (3;p_k)$, и затем сделайте замену $V=U-y$, чтобы получить однородные граничные условия.

Получится:
$U=V+\frac{p_k-p_h}{3}x$
соответственно:
$U|_{x=0}=V|_{x=0}=p_h$
$U|_{x=3}=V|_{x=3}+p_k-p_h=p_k$ => $U|_{x=3}=V|_{x=3}-p_h$ => $V|_{x=3}=p_h$
$U|_{t=0}=V|_{t=0}+\frac{p_k-p_h}{3}x = p_k+\frac{p_k-p_h}{3}x+sin\frac{5\pi\\x}{3}$ => $V|_{t=0}=p_k+sin\frac{5\pi\\x}{3}$
$U_t|_{t=0}=V_t|_{t=0}=sin\frac{4\pi\\x}{3}$
Правильно?

[Alexey1]

district-09 в сообщении #311033 писал(а):

Получится:
$U=V+\frac{p_k-p_h}{3}x$
соответственно:
$U|_{x=0}=V|_{x=0}=p_h$
$U|_{x=3}=V|_{x=3}+p_k-p_h=p_k$ => $U|_{x=3}=V|_{x=3}-p_h$ => $V|_{x=3}=p_h$
$U|_{t=0}=V|_{t=0}+\frac{p_k-p_h}{3}x = p_k+\frac{p_k-p_h}{3}x+sin\frac{5\pi\\x}{3}$ => $V|_{t=0}=p_k+sin\frac{5\pi\\x}{3}$
$U_t|_{t=0}=V_t|_{t=0}=sin\frac{4\pi\\x}{3}$
Правильно?

Вы неправильно нашли линейную функцию. Разве она проходит через указанные точки?

[district-09]

Да. Ошибочка вышла.
Линейная функция получится такая:
$y=\frac{p_k-p_h}{3}+\frac{p_h}{3}$
Тогда
$U=V+\frac{p_k-p_h}{3}+\frac{p_h}{3}$

Но идею я правильно понял?
Соответственно далше надо выразить начальные и граничные условия через V?

[Alexey1]

district-09 в сообщении #311039 писал(а):

Да. Ошибочка вышла.
Линейная функция получится такая:
$y=\frac{p_k-p_h}{3}+\frac{p_h}{3}$
Тогда
$U=V+\frac{p_k-p_h}{3}+\frac{p_h}{3}$

Но идею я правильно понял?
Соответственно далше надо выразить начальные и граничные условия через V?

Опять неправильно, но уже ближе. Как только появиться у Вас новый кандидат на линейную функцию проверьте проходит ли она через точки $(0;p_h),(3;p_k)$. Если проходит, то подходящая линейная функция. Если нет пробуйте дальше.

[district-09]

К ночи бдительность теряю...
$y=\frac{p_k-p_h}{3}x+p_k$
$U=V+\frac{p_k-p_h}{3}x+p_k$
Дальше я правильно понимаю, что надо делать? Выражать начальные и граничные условия через V?

[Alexey1]

district-09 в сообщении #311048 писал(а):

Дальше я правильно понимаю, что надо делать? Выражать начальные и граничные условия через V?

Да, теперь формулируйте задачу для $V$ и решайте её. Только функцию опять неправильно нашли, у Вас перепутаны $p_k,p_h$.